工程数学知识点(简版)

1、工程数学知识点第一篇线性代数第章行列式1 二阶、三阶行列式 的计算 22 行列式的性质（转置， 换行，数乘，求和，数乘求和） 3， 4，P52 3（ 2）3 行列式展开（ 代数余子式 ） 74 利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法）5 字母型行列式计算（爪型）53 5（ 2）6矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别7矩阵的运算（ 加减 20、数乘 21、乘法 22、转置 26、方阵的幂 、乘法不满足交换律 和消去律）n（ kD nkD ）8特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（ E）、三角形矩阵）9 矩阵的初等变换（三种） 、行阶梯形、行最简形10逆矩阵的定义、运算性质11伴

2、随矩阵 3812利用初等变换求逆矩阵P44 例 31（两阶更简单）13矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩第章线性方程组1线性方程组的求解 （分非齐次的和齐次的） P65 例 3、例 4第章特征值的求解（特征向量不作要求）89例 1第二篇概率论第 4章概率的基本概念及计算、基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、古典（等频率、概率、概率的可加性 （互不相容）、概率的加法公式 （相容）、可能）概型 P130、放回抽样方式、 不放回抽样方式

3、P132例 13、事件相互独立、 条件概率 135 引例、基本公式：n概率的可加性（互不相容） P A1 A2AnP Aii1概率的加法公式（相容）PABPAPBPAB击落飞机问题概率的乘法公式 PABPBPAB逆事件的概率PA1PA事件A和B独立，则有 P ABP A P B、基本结论：当事件 A 和 B 相互独立时，我们可以证明，事件A, B; A, B; A, B 亦相互独立。第 5章随机变量、基本概念： 随机变量、 离散型和连续型随机变量、 离散型随机变量的概率分布律、概率分布函数（ F ( x) PXx ,x）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数（(x(),，P

4、 xXx1）xP Xx)F xft d tP X158、 161例 20、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（ P192定理）、基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数服从正态分布的随机变量的概率计算例、例2516523、基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即 P X x0第 6章随机变量的数字特征、几个极限定理、基本概念： 离散型和连续型随机变量的 数学期望 190、方差 198 及其性质、随机变量函数的数学期望 195例 12、k 阶（原点）矩、 k 阶中心矩、基本公式：（ 1） 数学期望（平均值、期望值、均值） ：） E(X)xi P X xixi pi ， E (X )xf

5、 (x)dxi 1i 1）Yg ( X ), E(Y )E (g( X )g(xi ) pi , E(Y)E( g ( X )g ( x) f (x)dxi 1E(C)C, E(CX )CE(X ), E(XY)E(X)E(Y ), E( XY)E( X ) E(Y（)X , Y独立）（ 2） 方差：）D(X)E XE( X )2xiE( X ) 2 pi xE (X )2f ( x)dxi1）D(X)E(X2)E(X)2D(C)0, D(CX )C2D( X ), D(XY)D( X )D(Y（) X , Y独立）（ 3） 标准差（均方差）： （X）D( X ) （与随机变量有相同的量纲）、

6、基本结论：（ 1） （ ）分布：（151表格形式）PX kk(1 p)1 k, k 0,101 ppE(X)p ， D ( X )pqp(1p)（ ）n重贝努里试验、二项分布（）：2b(n,p)P XkCnk pk (1p)nk , k0,1,2, n 153例 10E(X)np ， D ( X )npqnp (1 p)（ 3）泊松公布（ Poissonek, k0,1,2,( )）：PX kk !E(X)，D(X)* 在实际计算中，当 n10, p0.1时，我们有如下的泊松近似公式Cnk pk (1 p) n k ek,npk !（ 4）指数分布（ E(),0 ）： f ( x)exx0 ，

7、 F ( x)1exx00x00x0E(X)11， D(X)210xaaxb ， F ( x)xa（ 5）均匀分布（ U ( a, b) ）： f ( x) baaxb0其它ba1xbE(X)a b ， D ( X )(b a)22121( x)2（ 6）正态分布（ N (,2 ) ）： f ( x)e22,x2E(X)，D(X)2, (X)1x2（ 7）标准正态分布（N (0,1) ）： (x)e 2,x，( x)(x) 12（ 8） n 个相互独立的正态随机变量的线性函数还是服从正态分布（202）第三篇数理统计第 7章数理统计的基本概念、基本概念：总体（母体） 、个体、样本（子样）、样本观

8、测值（实现）、简单随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断 218、统计量的观测值、抽样分布、基本公式：（ 1） 样本平均值： X1nX in i1（ 2） 样本方差： S21nX )21 (n22( XiX inX)n 1 i1n1i 1（ 3） 样本标准差： SS2（ 4） 样本 k 阶原点矩： Ak1nX ik ,k1,2,n i1（ 5） 样本 k 阶中心矩： B1n( XiX ) k, k1,2,kn i1、基本结论：（1） 定理 2：设 XN(0,1),X1, X2 ,X n ,为X的一个样本，它们的平方各也是一个随机变量，记2X12X22,X n2 , 则 22 (n)设X

9、 N(,2 ),和2已知， X1, X2 ,X n , 为 X的一个样本，例（ ）22n2211于是 XiXi2 ( n).N (0,1), i1,2,n,则有()i1（3）若22 (n)，则 E( 2 ) n, D ( 2 ) 2n2 分布的可加性：若Y12，2，且与独立，（ 4）(n1 ) Y2( n2 )Y1Y22 (n1则Y1 Y2n2 )（5） 定理 3：若XN (0,1), Y2 (n), 且 X 与 Y独立，则Xt(n)Y / n（6） 定理 4：若X2(m),Y2( n),且X与 独立，则FX / MF (m, n)YY / n（7） 定理 5：若X1, X2,X n为总体 N

10、 ( ,2 )的一个样本 ,则样本均值 XN(,2n)若 X1 , X 2 , X n为正态总体 N ( , 2 )的一个样本 ,则对于样本均值 X和样本方差 S2 有（ 8） 定理 6：（1）X和 S2相互独立(n 1)S22(n1)（ 2）2（3）E(S2 )2,D(S2)2 2n1若X1,X2,X n为正态总体 N ( ,2 )的一个样本 ,则（9） 定理 7：Xt (n1)Sn若X1,X2,X n 和 Y1 ,Y2 ,Yn 分别为总体 N (1, 12)和N(2 ,22 )的12（ 10）定理 8： 相互独立的样本,样本均值分别为X和 ，样本方差分别为2和2YS1S222XY12则 (

11、1)XYN (,12或12n1n2) U12 n122 n2(2) 当2,222XY12未知，但12时, T1 n1Sw其中Sw2( n1 1)S12(n2 1)S22n1n2 2设 X1 , X 2 , X n1和 Y1 ,Y2 , Yn2 分别为总体 N (（ 11）定理 9：相互独立的样本 , 样本方差分别为 S12和 S22 ,22则S12F (n11,n21)22S211x2（ 12） Z 分布： ( x)e 2x2Z 的上侧分位点 Z： P Ybf ( y)dy, bbZ 的下侧分位点 Z1：P Y aa, 或 P Y af ( y)dy 1f ( y)dya0Z 的双侧分位点 Z

12、/2， Z1/ 2 ：b,a Z1 /2Z / 2 , bP a Y bf ( y)dy 1a12t( n1n22)1 n21, 12 )和N( 2,22)的Z, aZ1Z/2（ 13）2 (n) 分布：2 (n) 的上侧分位点2 (n) ： P Ybbf ( y)dy, b2 ( n)2 (n) 的下侧分位点21 (n) ：a12 ( n)P Y af ( y)dy, 或 P Y aaf ( y)dy 1, a02 (n) 的双侧分位点2(n) ，2：1 / 2/ 2 (n)b22P a Y bf ( y)dy 1,a/2 (n), b/2 (n)1a当 n 充分大（ >45）时，有2

13、 (n)1(Z2n 1)2 （费歇）2（ 14） t (n) 分布：t( n) 的上侧分位点 t(n) ： P Tbbf (t )dt, bt(n)t( n) 的下侧分位点 t1( n) ： PTaf (t)dt1,at1 (n)at( n) 的双侧分位点 t1/ 2 (n) ， t/ 2 (n) ：b, a t1/ 2 (n)t / 2 (n), b t / 2 (n)P a T bf (t)dt 1a当 n>30 时， t( n) 分布和标准正态分布就很接近了，由此当n 较大时，就可以用标准正态分布的分位点取代t (n) 分布的分位点。（ 15） F (n1 , n2 ) 分布：F

14、(n1, n2 ) 的上侧分位点 F ( n1 , n2 ) ：P Fbbf ( x)dx,bF (n1 ,n2 )F (n1, n2 ) 的下侧分位点 F1( n1 , n2 ) ：P F af ( x)dx 1, a F1 (n1, n2 )aF (n1, n2 ) 的双侧分位点 F1 /2 (n1, n2 ) ， F/2 (n1 ,n2 ) ：b1P a F bf (x)dx 1, a F1 / 2 (n1, n2 ),b F / 2 (n1 ,n2 )aF / 2 ( n2 , n1 )第 8章参数估计、基本概念：矩估计法、无偏估计（E( )）、有效性（方差较小）、置信区间（置信度）、

15、基本公式：（ 1） 矩估计法：01（p）分布 PXk pk (1p)1 k , k0,1 ： pX (无偏估计 )二项分布（ b(m,p)）：p 1 X A2 / X 1 X1 nX i2 / X ,m X 2 /( X S* 2 )n i 1均匀分布（ U (0,) ）：2 X（无偏估计）指数分布（ E( ),0） f ( x)exx0 ：1/ X0x01( x)2正态分布（ N ( ,2 ) ） f (x)e22,x：221nX )2X (无偏估计 )( X in i 1、基本结论：（ 1） 矩估计法：样本矩作为总体矩的估计； 总体未知参数的估计由矩的估计得到；同一参数利用不同的矩，得到的

16、估计量是不同的。（ 2） 对于任意一个总体， 样本均值 X 和样本方差 S2 是总体均值 E( X ) 和总体方差 D( X ) 的无偏估计， S*2是总体方差D ( X ) 的渐近无偏估计（ n 50）。（ 3） 若给定的 a1 , a2 , , an ,满足nnai1,则ai Xi 是总体 E( X )期望的无偏估计，i 1i1即同一参数的无偏估计并不唯一。若总体 X N( , 2)，置信度 1,2已知，则未知参数的置信区间为 ( XZ /2n, XZ /2)n（ 4） CONFIDENCE ( , n) Z /2n2未知，则未知参数的置信区间为 ( XSt/ 2 ( n1), XS t

17、/ 2 (n1)nn未知，则未知参数2(n 1)S2,( n 1)S2)的置信区间为 (22/2 (n/2 (n1)11) 241例 18，例 20（ 5） 当 n 固定时，随着置信度的降低， 区间长度随之减小； 如果既要具有较小的区间长度，又要保持较高的置信度，必须增大样本容量n。若两个正态总体 XiN (i ,i2 )， i1,2, 置信度 1,i2已知，则未知参数12的置信区间为2222(X Y) Z /212,(X Y) Z /212 )n1n2n1n2（ 6）2未知，但22则未知参数1的置信区间为i122(X Y) S11 t(n n2),( X Y) S11 t(n n2)w n1

18、n2/212wn1n2/ 2 12i2未知，则未知参数12 /22的置信区间为(S121,S121)21,n22F1/ 2 ( n11,n21)S2 F / 2 ( n11)S2第 9章假设检验、基本概念：参数检验与非参数检验、随机误差与系统误差、原（零）假设与备选假设、临界值、接受域、拒绝域、显著性水平、第一类错误（弃真） 、第二类错误（取伪）、双边假设检验、单边假设检验（ >右边； <左边）、分布拟合检验、基本公式：、基本结论：（ 1） 小概率事件在一次试验中几乎不可能发生（实际推断原理） 。（ 2） 单个正态总体的参数假设检验：若总体 XN (,2 )，显著性水平,的双边假设

19、检验，2已知，则 X的接受域为 ( 0 Z/ 2,0Z/2)nn）或者UX0N (0,1)，则 U的接受域为 ( Z / 2, Z / 2 ) U 检验n若总体 XN (,2 )，显著性水平,的单边假设检验，2已知，则0的接受域为 UZ ,则0的接受域为 UZ 251例 1,例 3若总体XN (,2，显著性水平,的双边假设检验，)2未知，则TX0t(n，Sn1)） H 0的接受域为 (t /2 (n 1),t/2 (n1) T检验若总体XN (,2，显著性水平,的单边假设检验，)2未知，则0的接受域为 Tt (n1),则0的接受域为 Tt ( n1).若总体 XN (,2 )，显著性水平, 的

20、双边假设检验，2(n1)S22未知，则2(n 1)，0H 0的接受域为 (12/2 (n1),2/ 2 (n1)2检验） 若总体 XN (,2 )，显著性水平, 的单边假设检验，n0 )22( X i2已知，i 12(n)，0则0的接受域为 T2 (n),则0的接受域 为 T12 (n).（ 3） 两个独立正态总体的参数假设检验：若两个正态总体XiN ( i ,2，i1,2,显著性水平,i)1 2的双边假设检验，2已知，X Y12XYU，i22 n212 n1N (0,1)12 n122 n2则U的接受域为 ( Z /2,Z /2);12的右边假设检验，i2未知，但 1XY12X Y2，Tt

21、(n1 n2 2)，Sw 1 n1 1 n2Sw 1 n1 1 n2则 T的接受域为 Tt (n1 n22);1 2的双边假设检验，222i未知，FS12S1F (n1，2221,n2 1)S21S2则 F的接受域为 ( F1/2 (n1 1,n21),F / 2 (n1 1,n2 1).（ 4） 基于成对数据的假设检验：作数据对的差di xi yi ,i 1,2 n若正态总体 di N (0, 2 )， i 1,2, , n, 显著性水平,0 0的双边假设检验， d和 S2分别表示样本均值和方差，2未知， Td0dt (n1)，SnSn则 T的接受域为 ( t/ 2 (n1), t / 2

22、( n1).（ 5） 大样本下总体参数的假设检验（非正态总体或未知总体分布）：由中心极限定理，总体方差已知：X E(X) X E(X)（ ，）UN 0 1D ( X )D( X ) / n总体方差未知， S2为样本方差：XE(X)UN（01，）S2 / n（ 6） 分布拟合检验：显著性水平， n50, npi5, F0 ( x)的形式和参数已知，2k(ninpi )22(k1),npii1当 22 (k 1)时，接受假设，即总体分布可以认为是F0 ( x)显著性水平， n50, npi5, F0 ( x)中有 r 个未知参数，2k(ninpi )22(kr 1),npii 1当 22 (kr

23、1)时，接受假设，即总体分布可以认为是F0 ( x)第 10章方差分析和回归分析、基本概念： 方差分析、试验指标、 因素、水平、单因素不等（等）重复试验、双因素无（有）重复实验、方差分析及基本假定（正态性方差齐性线性性）、随机误差、系统误差、均方（ 271、275）相关关系、理论回归方程、回归函数（一元（多元）线性（非线性）回归） 、相关分析、样本回归方程、散点图、回归值、最小二乘法、最小二乘估计、正规方程、样本相关系数、基本公式：（ 1） 单因素方差分析：1 rnj1 rn j1 r）总均值：E( X ij )n j 1 i 1jn j jn j 1 i 1n j 1）样本总平均：x1nrn

24、jxijj1 i 11n j）水平 Aj 下样本均值： x jxijn i 1）单因素方差分析的数学模型：Xijjij , ijN (0,2 )ij 相互独立， i 1,2,nj， j1,2,r，其中 ,j 及2都是未知参数 ,H0： 12r05）单因素样本总偏差平方和：r njrnjr n jST( xij x)2( xij x j ) 2( x j x) 2j 1 i 1j 1 i 1j 1 i 1r n jr(xij x j )2n j ( x j x) 2SESAj 1 i 1j 1rnj1rnj2实际应用中，为方便计算： STxij2j 1 i 1nxij，j1 i 16）n j2r

25、11SAn j i 1xijj 1nr2n jxij ， SE ST SAj 1i 1（ 2） 双因素无重复试验的方差分析：）双因素无重复试验方差分析的数学模型：xijijij , ijN(0, 2)，ij相互独立，i1,2,r，j 1,2,，srs其中 ,i ,j 及2都是未知参数 , 并且有i 0，j0i1j 1H01： 12rH02： 12s00）双因素无重复试验样本总偏差平方和：ST( xijx)2( xijxi x jx)2(xix) 2( x jx)2ijijijijSESASBST( xijx)2xij2 ( xix jx) 21 T 2ijijrsSA( xix)2s ( xix)21Ti 21 T 2ijisirs3） SB( xx)2r ( xx)21212jjT jTrrsijjjSESTSASB其中Tixij (行总和 ，xij (列总和 ，T jTi总和) T j) T(jijixiTi/