定积分应用 二重积分 三重积分doc

1、积分的应用定积分的应用平面图形面积1、图形由,及围成：.2、 图形由,及围成：, 其中：.3曲线由参数方程给出时，在上所围图形的面积公式为4曲边扇形的面积由曲线及矢径所围成的曲边扇形的面积公式为例1求由,所围成的图形的面积.解：由 得 或 .例2 计算由曲线和直线所围成图形的面积解：解之得. 则 平面曲线的弧长光滑（即连续可微分的）曲线在区间，上的弧长公式为.曲线由参数方程给出，则在区间，上的弧长为.曲线由极坐标方程给出，则曲线上弧的长为.例 计算曲线的弧长（如图75所示）解法1 （对的积分）得，弧微分 解法2 （对的积分）从0到，则由0变到，而.由上可得弧长为旋转体的侧面积1函数在上绕轴旋转

2、的旋转体的侧面积公式为.2曲线绕轴旋转所成曲面的表面积公式.例1 计算圆在上的弧段绕轴旋转一周所形成的球面的表面积解对曲线,应用公式得当时，则得半径为球的表面积公式如果平面曲线由参数方程给出，那么由它绕轴旋转所得旋转体的侧面积公式为.例2 计算由星形线绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。解 由曲线的对称性及公式得例3 求抛物线绕轴、轴旋转所成曲面的表面积解（1）绕轴旋转所成曲面的表面积（2）绕轴旋转所成曲面的表面积 旋转体的体积1、立体由绕轴旋转一周及,围成,其体积.2、若曲线=在上绕轴旋转所成的旋转体的体积为.例1 求由绕轴旋转一周所成环体的体积解：本旋转体是由曲线及在区间上所围成图形绕轴旋

3、转而成的旋转体之差。即 例2 求摆线的一拱，绕轴旋转所产生的旋转体的体积。解 摆线的一拱，则 平面截面积已知的立体体积立体在中每一点处的截面积为,其体积.例1 一平面过半径为的园柱底中心，并与底面成夹角.计算平面截圆柱体所得立体的体积解: . .物理学上的应用1平面的重心:由曲线,和直线,所围成平面，且，设平面的密度是均匀的，而该平面的重心坐标为，则 ， .2.变力所作的功:设有一变力，其方向平行于轴，大小为.则在微小区间上变力对质点所作的微小功的近似值是则就是的功“元素”。所以在力的作用下，将质点从轴上的点移至点所作的功为 3.液体的压力:如果垂直面积是由曲线与轴及两直线所围成的曲边梯形，则

4、取距液面为，高度为，宽为的矩形横条上所受的压力为压力元素为.于是整个垂直面积所受压力为 例1 求抛物线所围成图形面积的重心，面密度为常数解 由重心横坐标公式得因图形关于对称，故重心必在对称轴上，即，所以重心为例 2 半径为米的圆板垂直浸入水中，圆板中心在水面下米处。试求板面所受的压力.解 沿水面作轴，过圆板中心垂直向下为轴，建立坐标系，则圆板的周界方程为或。注意到=1及图形的对称性，则全板上所受的压力为（吨）微分法在几何上的应用:二重积分1二重积分的运算（1）直角坐标下二重积分的运算1） 若为型区域，即，则2） 若为型区域，即，则（2） 极坐标下二重积分的计算若，则 2曲面面积：设曲面S的方程

5、：曲面S的面积公式 例1 求圆锥在圆柱体内那一部分的面积. 解：由题意即求曲面，的面积，由面积计算公式3平面薄板的重心：密度分布为的平面薄板D的重心坐标为 .例1 设薄片所占的闭区域为介于两个圆,()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。解 由的对称性可知: 所以 4平面薄板的转动惯量：密度分布为的平面薄板D对坐标轴的转动惯量为；为点到的距离函数一般转动轴的转动惯量为. 例1求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面的中心轴的转动惯量.解：设，密度为，则.例2求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量.解：设圆盘为，密度为，对y轴的转动惯量为.例3 求密度均匀的圆环对于垂直于圆环面而过圆环的中

6、心的轴的转动惯量为圆环的质量.解 设圆环为，密度为,则，5平面薄片对质点的引力:设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点 处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。在闭区域上任取一个小的闭区域,是内的任一点,他的质量近似等于,于是薄片对质点的引力近似值为,引力的方向于向量一致,其中,为引力常数.于是三重积分1三重积分的计算（1）直角坐标下三重积分的计算法：若，则（2）柱面坐标系下三重积分的计算法：若，则 （3）球面坐标系下三重积分的计算法：若，则 2重心：设是密度为的空间物体，在上连续，因的质量为，对平面的静力矩为，由重心坐标的概念有，以分别表示的重心的各个坐标

7、，应有，所以，。例3 求密度均匀的上半椭球体的重心解 设椭球体由式，表示由对称性知=0，由前节的例5的结果，可得=.3转动惯量：质点对轴的转动惯量是质点的质量和到转动轴的距离的平方的乘积，即. 当讨论空间物体的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体的密度函数为，它对轴的转动惯量为 =，=，=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对平面的转动惯量为=，对原点的转动惯量为=.例1设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量解 设球体由式表示，密度函数为，则它对切平面的转动惯量为 =.4对质点的引力:求密度为的立体对立体外一质量为1的质点的引力设的坐标为，中点的坐标用表示。我们用微元法来求对的引力，中质量微元对的引力在坐标轴上的投影为，其中为引力系数，是到的距离。于是力在三个坐标轴上的投影分别为，所