四边形知识点和题型归纳

1、四边形知识与题型总结一.本章知识要求和结构（1）演变关系图:1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、边梯形的概念，了解它们之间的内在关系.（2）从属关系（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表 一种图形）2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算性角质线平行四边形的四边形是平行四边形矩形菱形正方形的平行四边形是矩形的平行四边形是菱形的平行四边形是正方形边判角定对角线13.(1)平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积如图 1, Sab

2、cd =bc- ae=cd bf ADBE图1图2正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方；等于两条对角线的乘积的一半（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2,S ABCD = S BCFE4. 三角形中位线定理定义：叫做三角形中位线（与中线的区分）；定理：作用:可以证明两条直线平行；线段的相等或倍分.拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和一（4）直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线 5. 正方形：（1）对角线：若正方形的边长为 a,则对

3、角线的长为 2a ;周长相等的四边形中，正方形的面积最大6.梯形的中位线（1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半（3）梯形的面积S=2 x（上底+下底）X高=中位线X高7.几种特殊四边形的对角线矩形对角线交角为60等边三角形和含30 角直角三角形图） 菱形有一个角为60 时，可得:含30 角的四个全等直角三角形角形（正方形中可得：四大四小等腰直角三（图）对角线互相垂直的梯形梯形平移腰可得：双垂图（图）对角线互相垂直的等腰等腰直角三角形 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是 顺次连

4、结菱形各边中点构成的四边形是 顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是 二.典型题型归纳（一）概念题1. Q ABCD中，/A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则Q ABCD的周长为.（图）（图）8.中点四边形：（顶点为各边的中点，需讨论对角线 &中位线）（1）顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是 （2）顺次连结对角线相等的四边形的各边中点，构成的四边形是(1)则/ EDF=;/yA(2)如图，若 AE=4 CF=7EB则Q ABCD周长=；2. 在Q ABCD 中，/ C=6G0,DE丄 AB于DE，DF丄 BC于 F. 若AE=3 C

5、F=7请作出对应图形，并求 Q ABCD周长.（3）顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是3. (1)在平行四边形 ABC冲，若/ C二/ B+Z D,则/ A= .(2) 已知在 Q ABCD, Z A比Z B小200,则Z C的度数是(3) 在Q ABCD 中，周长为 100cm AB-BC=20cm 则 AB= , BC= .（4）在Q ABCD中，周长为30cm且：BC=：2,则 AB cm.（5）（2007河北省）如图，若口ABCD!B EBC关于BC所在直线对称，CFZAB圧 90°，则Z FC. 等腰梯形的两条对角线相等D. 等腰三角形底边上的中点到两腰

6、的距离相等5. （2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（）A. 组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形6. （2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是（）A.平行四边形 B .菱形 C .矩形 D .正方形7. （2007四川眉山）下列命题中的假命题是（）A .一组邻边相等的平行四边形是菱形B .一组邻边相等的矩形是正方形C . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形f4. （2007福建福州）下列命题中，错误的是（）A.矩形的对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直的

7、四边形是菱形DCD. 组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8. （2007四川成都）下列命题中，真命题是（A.两条对角线相等的四边形是矩形E.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形9. （2007浙江嘉兴）如图，在菱形 ABC呼，不一定成立的（）A. QABCD B. ACLBD C.等边 ABD D.Z CAB=Z CAD（二）图形的性质和判定方法10. 如图，已知四边形 ABCD是正方形，分别过 A C两点作 ，作BML <2于M DNL !：2于N,直线MB ND分别交fi、£ 2于Q P

8、,试判断四边形PQM的形状.12.如图，在矩形ABCD中E是CD边上一点,AE=AB AB=2AD 求/ EBC的度数AC11. 如图，在正方形 ABCD中E、F、G H分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH求证：四边形 EFGH为正方形.(三)转化的思想一一将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题.如图所示：13.填空(1)等腰梯形上底长为腰长是，高是，面积是.(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰长 5cm上底长3cm,另一腰与下底 的夹角为30o，则另一腰长为 ，下底长为 .(4) 等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6,则高为,面积为.(5) 已知在梯形 A

9、BCDK AD/BC,若两底AD BC的长分别为2、8,两条对角线BD=6 AC=8则梯形的面积为 .(四)推理论证的进一步巩固14. (2007恩施自治州)如图，平行四边形 ABCD勺对角线AG BD相交 于点0,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF求证：四边形BFDE 是平行四边形.3cm腰长为4cm,其中锐角等于60o ,则下底长是 .(2)等腰梯形一个底角是60o，它的上、下底分别是8和18,则这梯形的四边形AECF是平行四边形.17 .求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形.16.平行四边形ABC冲，点E、F分别在BC AD上，且AF=CE ,求证:ACE15.

10、如图，在平行四边形ABCD中, E、F分别是直线AB CD的中点，AF、DE相交于点G, CE BF交于点H.求证：四边形GEHF是平行四边形19. （2007浙江金华）国家级历史文化名城一- 华，风光秀丽，花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫F C6种颜色的花.如果有AB / EF / DC ,BC / GH / AD，那么下列说法中错误的是（ ）A. 红花、绿花种植面积一定相等B. 紫花、橙花种植面积一定相等18.已知点E、F在正方形ABCD勺边BG CD上，（1）若 BE=CF 如图 13（1）.求证：AE=BF并且 AE! BF;C.红花

11、、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等20. （06盐城）已知Q ABCD的面积为4,对角线交于O,21. 若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个22. 平行四边形一边长为10, 条对角线长为6,则它的另一条对角线a（2）若E、F分别是BC EF的中点，如图13（2），求证：GD=AD的取值范围是（）a<20D.8<a<32A.4<a<16B.4<a<26C. 12<23.平行四边形中一边长为10cm,那么两条对角线的长度可以是A. 4cm和 6cmB6cm和

12、8cmC. 8cm和 12cmD20cm和 30cm25.如图已知 ABC,过顶点A作/ B、/ C的平分线的垂线，ADL BD于 D, AEL CE于 E.求证:FC24. （07北京市23）如图，已知 ABC .（1）请你在BC边上分别取两点D, E （ BC的中点除外），连结AD, AE , 写出使此图中只.存.在两.对.面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； 请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE .26 .如图，已知 BD CE是/ ABC的两条高M N分别是BC DE的中点.求证：(1) EM=DM(2) MNL DE BANDM27. (1)如

13、图27(1)，正方形ABCD E、DL分别为BC CD边上一点.若/ EAF=40 .求证：EF=BE+DFE若/ AEF绕A点旋转，保持/ EAF=4bA问/CEF的周长是否随/ AEF位置的变化而变化？(2)如图27(2)，已知正方形ABCD勺边长BC CD上各有一点E、F,如果/ CEF的周求/ EAF的度数.C2.E(五)知识的联系与综合28 .已知Q ABCD 的顶点 A B、C 的坐标为(-2,3),(-5,-4),(1,-4):则D点坐标为29.如图，已知Q ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的D第30题图原点，点A的坐标为(-2,3)，则点C的坐标为()题图、(2

14、,-3)第3230 .如图，两平面镜：-的夹角为入射光线AO平行于一：入射到，那么q ABCD勺周长是，面积是两次反射后的光线O'B平行于：，则角，等于35.如图，在矩形ABCD中,过BD上一点K分别作矩形两边的平行线 MN31.已知矩形的对角线长为13,周长为34,则这个矩形的面积为 和PQ那么图中矩形AMK啲面积Si与矩形QCNK勺面积S的大小关系32. （05,潍坊）如图，在直角坐标系中，将长方形OABC沿OB对折，使点A 落在Ai处，已知OA= 3 ,AB=1,则点Ai的坐标是（）是 S匚 2 （填“”“二”或“ <”）A.（莞）B.（知）C.（幕）D.GW)2 2（六）

15、面积的问题：各种四边形面积的求法和等积变换33.如图，E为Q ABCD边CD上一点，Q ABCD的面积为 5,则厶ABE第35题图的面积为（）A、SB、-S2DEACAb第33题图第34题图34 .如图，在 QABCD中, ADL BD / A=- / ABC 如果 AD=2236.如图，在 Q ABCD中，点P在BC上, PQ/ BD交CD与 Q 则图中和 ABP面积相等的三角形有个，它们分别是：.37 .如图，E是平行四边形ABCD勺边AB延长线上一点，DE交 BC于 F.求证：S .abf 二 S. efcb F c（七）运动变换的思想在本章中的应用.39.（希望杯第9届初二第二试）已知

16、Q ABCD勺周长为52,自顶点D作DEI AB, DF丄 BG E、F 为垂足，若 DE=5 DF=8 求 BE+BF的值.38 .如图，点E、F分别在 Q ABCD的边DG CB上,且 AE=AF DGL AF, BHL AE G H 是垂足.求证：DG=BHAFOE第40题图F41. (1)如图 41(1)(2),已知/ ABD,/ BCE,/ ACF是等边三角形,求证：四边形ADEF是平行四边形. 如图41(3)，已知/ ABC以AB AC为边分别作等边三角形/ACF再以AD AF为邻边作平行四边形 形BCE是等边三角形.ABD,/三角(3)如图41(4)，已知/ ABD,/ BCE是

17、等边三角形，A,F是CE EB上一点，且CA=EB求证：四边形ADFC是平行四边形.42、(2007浙江台州)把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到 正方形AEFG，边FG与BC交于点H (如图).试问线段HG与线段HBF43、如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG ,边EF与CD交于点0 .(1)以图中已标字母的点为端点连结两条线段 (正方形的对角线除外)， 要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的44 .四边形ABCDDEF斷是正方形，连接 AE CGG理由;(1)求证：AE=CG(2)若正方形的边长为2cm，重叠部分(四边形B(2)观察图

18、形，猜想AE与 CG之间的位置关系第44题图C并证明你的猜想.AEOD )的面积为 2 cm2，求旋转的角度n3CB第45题图45. （2007 淄博）已知：如图，在 ABC中, AB=AQ ADL BC, 垂足为点D,ABC外角/ CAM勺平分线，CEL AN垂足为点E,（1）求证：四边形ADC为矩形；（2） 当厶ABC满足什么条件时，四边形b46. （05,青岛）如图，在等腰梯形 ABC中, AD/ BC M N分别为ADBC的中点，E、F分别是BM CM勺中点.求证： ABM2A DCM;四边形MEN是什么图形？请证明你的结论；若四边形MENF是正方形，贝卩梯形的高与底边BC有何数量关系

19、？并请说明理由.ADC是一个正方形？并给出证明.47. (2007四川资阳)如图47(1)，已知P为正方形ABCD勺对角线AC 上一点(不与A C重合)，PEL BC于点E, PF丄CD于点F.第47题图1第47题图2(1) 求证：BF=DP如图47(2)，若四边形PECF绕点C旋转，在旋转过程 中是否总有BP=DR若是，请 证明之；若不是，请举出反例;试选取正方形ABC啲两个顶点，分别与四边形PECF勺两个顶点连(八) 函数的思想在本章中的运用48、(2007南充改编)等腰梯形 ABCDK AB= 15, AD= 20, / C= 30o. M、N同时以相同速度分别从点 A、点D开始在AB

20、AD(包括端点)上运动.(1) 设ND为X,用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围.(2) 设t=10- X,用t表示 AMN勺面积.(3) 求厶AMN勺面积的最大值，并判断取最大值时 AMN勺形状.D结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系，若满足，请证明之;若不满足，写出你认为正确的函数关系式.49. (2006泰州)将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C 在 x 轴上，OA=6 OC=10.(1) 如图1,在OA上取一点丘，将4 EOC沿 EC折叠，使O点落在AB 边上的D点，求E点的坐标；(2) 如图2,在O

21、A、OC边上选取适当的点 E'、卩,将4 E OF沿E F 折叠，使O点落在A' B '边上的D'点，过D'作DG/A ' O交E F 于T点，交OC '于G点，求证：TG=A ' E'.(3) 在(2)的条件下，设T (x, y),探求：y与x之间的函数关系式. 并指出变量x的取值范围.(4) 如图3,如果将矩形OABC变为平行四边形 OA B" O,使00 =10, 0C边上的高等于6,其他条件均不变，探求：这时T (x, y)的坐标yyy4A'IDE'G F C'(2)TB'

22、x50. （08 通州 22 改编）如图，在 q ABCD 中，AB=8 cm AD=6 cm / DAB=60，点 M是边AD上一点，且 DM=2 cm点E、F分别是边 AB BC上的点，EM CD的延长线交于 G, GF交AD于O,设AE=CF=x试用含x的代数式表示 CGF的面积；当GFL AD时，求AE的值.（九）翻折问题（特殊四边形的折叠问题）51. 沿特殊四边形的对角线折叠（06.浙江嘉兴）如图，矩形纸片 ABCD AB=2 / ADB=30，沿对角线BD折叠（使 ABCffiA EBD落在同一平面内），则A E两点间的距离为第50题图FAE B(EEFBA第51题图第52题图52

23、. 沿特殊四边形的对称轴折叠如图，已知矩形 ABCD勺边AB=2 AB BC矩形ABCD勺面积为S,沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为53. 使特殊四边形的对角顶点重合折叠（05,山东威海）如图，梯形纸片ABCD / B=60°, AD/ BC AB=AD=2BC=6将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE则CE=.54. 使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠如图，折叠矩形的一边 CD使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cmBC=8cm贝卩EC的长为.55. 使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠（崇文）如图，在梯形 ABCD中DC/ AB,将梯形对折，

24、使点 D C分别落在AB上的D、C处，折痕为EF,若CD=3cm EF=4cm贝SAD +BC =cm.56. 使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（1）如图，已知EF为正方形ABCD勺对称轴，将/ A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点处，则/ DKG二.EAB第54题图第56题图第53题图第57题则/ CBD勺度数为（）57. 使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（2）A.大于90° B. 等于90° C.小于90° D.不能确定如图，有一块面积为1的正方形ABCD M N分别为AD BC边的中点,将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ连结PQ.

25、（1）求MP勺长度；求证：以PQ为边长的正方形的面积等于4 .59. 三次不同方式的折叠（03,山西）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步:先把矩形ABCD寸折，折痕为MN如图；第二步:再把B点叠在折痕MN上，折痕为AE点B在MN上的对应点为B',得Rt AB E,如图；第三步:沿EB'线折叠得折痕EF,如图.利用展开图探究：（】） AEF是什么三角形？证明你的结论；MNDENA CENBEN(4) 对于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？并证明之.58. 两次不同方式的折叠（06.淄博市）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠,BG BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上，61. （05枣庄,9分）如图1,四边形ABCD是等腰梯形,AB/ DC,由四个这 样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形.（1）求出梯形ABCD四个内角的度数；（2）试探究梯形ABCE四条边之间存在的等量关系，并证明之；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？图2（十）动手操作实践60. （