完全平方公式解

1、完全平方公式讲解第一部分 概念导入1问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （m+2）2=_；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （m-2）2=_；2学生计算3得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+44分析推广：结果中有两个

2、数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。 推广：计算（a+b）2=_ _ （a-b）2=_ _ 【2】 得到公式，分析公式 （1）结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号若这两项同号，则2ab取“”，若这两项异号，则2ab的符号为“”（3）公式中字母可代表的含义

3、公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式（4）几何解释图15图15中最大正方形的面积可用两种形式表示：（ab）2 a22abb2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（ab）2a22abb2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性【学习方法指导】例1计算（1）（3a2b）2 （2）（mnn2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候同时应注意公式中2ab的符号解：（1）（3a2b）2（3a）22·（3a）·（2b）（2b）29a212ab4b2注意：（

4、2）中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”例2计算（1）（mn）2 （2）（5a2）（5a2）点拨：（1）可直接用完全平方公式由于m与n是同号，所以公式中的2ab取“”（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算解：（1）（mn）2（m）22·（m）（n）（n）2m22mnn2（2）（5a2）（5a2）（5a2）（5a2）（5a2）2（25a220a4）25a220a4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公

5、式进行计算例3计算（1）（x2y）2（xy）（xy）（2）（mn）（m2n2）（mn）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简（2）可先利用平方差公式将mn与mn相乘，再将所得结果m2n2与中间括号里的m2n2相乘，可利用完全平方公式解：（1）（x2y）2（xy）（xy）（x24xy4y2）（x2y2）x24xy4y2x2y24xy5y2（2）（mn）（m2n2）（mn）（mn）（mn）（m2n2）（m2n2）（m2n2）（m2）22·m2·n2（n2）2m42m2n2n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到

6、，用多乘多也可例4计算：（x）2（x）2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2b2（ab）（ab），将此题转化为平方差公式进行计算解法一：（x）2（x）2（x2xy）（x2xy）x2xyx2xy2xy解法二：例5计算：（a2b1）（a2b1）点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（ab）（ab）的形式，利用平方差公式进行简化运算关键：此题最重要一步就是由到的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！随堂练习一、选择题1下列运算中，正确的是（ ）

7、 A3a+2b=5ab B（a1）2=a22a+1 Ca6÷a3=a2 D（a4）5=a92下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ） A（x+y）2=x2+y2 B（xy）2=x2y2 C（x+y）2=x22xy+y2 D（xy）2=x22xy+y23下列各式计算结果为2xyx2y2的是（ ） A（xy）2 B（xy）2 C（x+y）2 D（xy）24若等式（x4）2=x28x+m2成立，则m的值是（ ） A16 B4 C4 D4或4二、填空题5（x2y）2=_6若（3x+4y）2=（3x4y）2+B，则B=_7若ab=3，ab=2，则a2+b2=_8（_y）2=x2xy+_；

8、（_）2=a26ab+_三、解答题9利用完全平方公式计算：（1）20082； （2）78210 先化简，再求值：（2x1）（x+2）（x2）2（x+2）2，其中x=11.利用公式计算：196212.某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？13. 已知x+y=1，求x2+xy+y2的值14.已知a+=5，分别求a2+，（a）2的值15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长16.小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案你知道他是怎么做的吗？17已知

9、：ab5，ab6，求a2b218. 利用公式计算：992119. 计算 （1）； （2）； （3）102； （4）99. （5）；（6）.20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加39,这个正方形的边长是多少?21.当的值22. 求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数23.观察下列等式：，请用含自然数n的等式表示这种规律为：_.24. 已知是一个完全平方式,求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005天的后一天是星期几?答案一、1B2C 点拨：（x+y）2=x2+2xy+y2，所以A不正确；（xy2=x22xy+y2，所以B不正确；（x+y）2=（x）2+

10、2（x）·y+y2=x22xy+y2，所以C正确；（xy）2=（x+y）2=x2+2xy+y2，所以D也不正确，故选C3D4D 点拨：因为（x4）2=28x+16，所以若（x4）2=x28x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D二、5x2+4xy+4y2 点拨：（x2y）2=（x+2y） 2=（x+2y）2=x2+4xy+4y2648xy 点拨：B=（3x+4y）2（3x4y）2=9x2+24xy+16y2（9x224xy+16y2）=9x2+24xy+16y292+24xy16y2=48xy713 点拨：因为ab=3，ab=2，所以a2+b2=（ab）2+2ab

11、=32+2×2=9+4=138x；y2；a4b；16b2三、9解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（802）2=8022×80×2+22=6400320+4=608410解：（2x1）（x+2）（x2）2（x+2）2=2x2+4xx2（x24x+4）（x2+4x+4）=2x2+3x2x2+4x4x24x4=3x10当x=时，原式=3×（）10=110=1111.思路：196接近整数200，故1962004，则此题可化为（2004）

12、2，利用完全平方公式计算解：1962（2004）220022×200×4424000016001638416说明：可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大小”即可得出所求计算的关键在完全平方式的展开解：原正方形面积：a2现正方形面积：（a3）2面积减少了a2（a3）2a2（a26a9）a2a26a9（6a9）（cm2）答：面积减少了（6a9） cm213.解：因为x+y=1，所以（x+y）2=1，即x2+2xy+y2=1所以x2+xy+y2=（

13、x2+2xy+y2）=×1= 点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值14.因为a+=5，所以a2+=（a+）22·a·=522=23，所以（a）2=a2+2·a·=232=21 点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab，（a+b）2=（ab）2+4ab，（ab）2=（a+b）24ab等等15.解：设这个正方形花坛的边长为x米，依题意列方程得，（x+3）2x2=39，即x2+6x+9x2=39，6x=30，x=5答：这个正方形花坛的边长为5米 点拨：适当引进未知数，根据题

14、中的相等关系得到方程，解方程即可16解：知道，做法如下：= 点拨：由200920072=（200920081）2，200920092=（20092008+1）2，运用完全平方公式化简即可17.点拨：同时存在ab，ab，a2b2的公式为完全平方公式（ab）2a22abb2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可注意：不要分别求出a和b，运算繁琐若已知ab（或ab），ab，a2b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者解：a2b2（ab）22ab当ab5，ab6时原式（5）22×（6）25123718.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案19.【点拨】（1）

15、符合平方差公式的特征，只要将ab看成是a，1看成是b来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为,然后运用平方差公式计算.（3）可将102改写为,利用两数和的平方公式进行简便运算.（4）可将99改写为，利用两数差的平方公式进行简便运算.解：（1）=；（2）= =；（3）102= =；（4）99=. 【点拨】（5,6）两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式计算，本题可将看作是一项.先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算.解：（5）=；（6）=.【点评】1.在运用平方差公式时,应分清两个因式中是不是有一项完全相同,有一项互为相

16、反数,这样才可以用平方差公式，否则不能用；2.完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍，在计算时不要发生：或这样的错误；3.当因式中含有三项或三项以上时,要适当的分组,看成是两项,用平方差公式或完全平方公式.20.【点拨】如果设原正方形的边长为xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解.解：设原正方形的边长为xcm,则即，解得 x=5.答:这个正方形的边长是5.21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将a、b的值代入计算出结果.解：=；当 =8（-1）=-4.22.【点拨】运用完全平方公式将化简，看所得的结果是否是8整数倍.证明:=，又n为整数,8n也为整数且是8的倍数.23.【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真