概率论与数理统计练习题-概率论与数理统计试题及答案

概率论与数理统计练习题一、填空题1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8，则P(A+B)=__0.7__。2、的两个无偏估计量，若，则称比有效。3、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6，则P()=_0.3__。4.设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)=4/3。5.设随机变量X的概率密度是：，且，则=0.6。6.已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(Y)=3/4。7.若随机变量X～N(1，4)，Y～N(2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z～N(2,13)。8.设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则0.6。9.设随机变量X~N(1,4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则0.6247。10.随机变量X的概率密度函数，则E(X)= 1。11.已知随机向量（X，Y）的联合密度函数，则E(X)=4/3。12.设A，B为随机事件，且P(A)=0.6,P(AB)=P(),则P(B)=0.4。13.设随机变量，其密度函数，则=2。14.设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令，则DY=1。15.随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X－2Y)＝44。16.三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为，则目标能被击中的概率是3/5。17.设随机变量X～N(2，)，且P{2<X<4}＝0.3，则P{X<0}＝0.2。18.设随机变量的概率分布为，则的期望EX=2.3。19.设(X,Y)的联合概率分布列为YX－104－21/91/32/911/18ab若X、Y相互独立，则a=1/6，b=1/9。20.设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则1/2。21.设随机变量X～N(1，4)，则＝0.3753。（已知(0.5)=0.6915，(1.5)=0.9332）22.若随机变量X～N(0，4)，Y～N(－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z～N(－4，9)。23.设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则=6。24.设随机变量X的概率分布为X－1012P0.10.30.20.4则=0.7。25.设随机变量X的概率密度函数，则= 26.某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是27.设随机变量X的密度函数，且，则c=-2。28.随机变量，则N(0,1)。29.设随机变量X～N(2，9)，且P{Xa}=P{Xa}，则a＝2。30.称统计量的无偏估计量，如果=θ二、选择题1．设随机事件与互不相容，且，则（D）。Ａ.B.Ｃ.Ｄ.2．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。A.B.C.D.3．设随机变量，满足，是的分布函数，则对任意实数有（B）。A.B.C.D.4．设，为随机事件，，，则必有（A）。A.B.C.D.注：答案应该为A,因B不严谨，A和B可以相等。5．设是来自总体的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是(A)。A.B.C.D.6．、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。A. B. C.A+B+C D.ABC7．是二维随机向量，与不等价的是（D）A.B.C.D.和相互独立 8．设总体，其中未知，为来自总体的样本，样本均值为，样本方差为，则下列各式中不是统计量的是（C）。A. B. C. D.9．若随机事件与相互独立，则＝（B）。A. B.C. D.10．若A与B对立事件，则下列错误的为（A）。A.B.C. D.11．设随机事件A、B互不相容，，则＝（C）。A.B. C. D.12．设是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。A.B.C.D.13．设随机变量X～N(μ，9)，Y～N(μ，25)，记，则（B）。A.p1<p2B.p1＝p2C.p1>p2D.p1与p2的关系无法确定14．若事件两两独立，则下列结论成立的是（B）。A.相互独立 B.两两独立C. D.相互独立15．设随机变量XN(4,9)，则（）（A）（B）（C）（D）以上都不是三、计算题1．已知连续型随机变量X的概率密度为求（1）a；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(X>0.25)。解：(3)P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/82．已知连续型随机变量X的分布函数为求（1）A，B；（2）密度函数f(x)；（3）P(1<X<2)。解：(3)P（1<X<2）=F(2)—F(1)=3．设随机向量（X，Y）联合密度为f(x,y)= （1）求系数A；（2）判断X，Y是否独立，并说明理由；（3）求P{0≤X≤2，0≤Y≤1}。解：（1）由1＝＝可得A＝6。（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为fX(x)＝和fY(y)＝，则对于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y)，所以X与Y独立。（3）P{0≤X≤2，0≤Y≤1}＝＝4．某车间生产滚珠，其直径X～N(,0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米）：14.615.114.914.815.215.114.815.014.7若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为0.95的置信区间。解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以所以的置信区间为：经计算的置信度为0.95的置信区间为即(14.765，15.057)5．工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布,现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:14.614.715.114.914.815.015.115.214.7已知零件口径X的标准差，求的置信度为0.95的置信区间。解：由于零件的口径服从正态分布,所以所以的置信区间为：经计算 的置信度为0.95的置信区间为即(14.802,14.998)6．设总体X服从参数为的指数分布，是一组样本值，求参数的最大似然估计。解：7．已知，求。已知，求。解：-8．设总体的概率分布为0123其中是未知参数，利用总体的如下样本值：，求的矩估计值和极大似然估计值.（1） 令,可得的矩估计量为根据给定的样本观察值计算，因此的矩估计值；-------4分（2）对于给定的样本值似然函数为-------6分 令 可得的极大似然估计值-------10分9．(10分)设总体的概率密度为(为未知的参数)，而为总体的一个样本。试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量。解：(1)令………5分（2）似然函数为：………10分说明：以书为本，认真复习，要熟悉公式及应用。练习题的目的只是让大家熟悉题型，与本习题集中完全相同的题在期末试卷中不会出现。数学贵在理解后运用，不可取巧！考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分题号一二三四总分得分123456一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（A）。(A)1/3(B)2/3(C)1/6(D)3/62．设随机变量的概率密度，则K=（B）。(A)1/2(B)1(C)-1(D)3/23．对于任意随机变量，若，则（B）。(A)（B）(C)一定独立（D）不独立5．设，且，，则P{-2<<4}=（A）。(A)0.8543(B)0.1457(C)0.3541(D)0.2543二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．设A、B为互不相容的随机事件则（0.9）。2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（1/10）。3．设随机变量X的概率密度则（8/10）。4．设D()=9,D()=16,，则D()=（13）。*5．设，则（N(0,1)）。三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式2．设连续型随机变量的密度为(1)确定常数A(2)求(3)求分布函数F(x).（2）①故A=5。②（3分）③当x<0时,F(x)=0;（1分）当时，（2分）故.（1分）3．设二维随机变量（）的分布密度求关于和关于的边缘密度函数。（3）4．设连续型随即变量的概率密度，求E(x),D(x)（4）（4分）（3分）（3分）四．证明题（本大题共2小题，总计10分）2．设是独立随机变量序列，且，试证服从大数定理。(2)由切比雪夫大数定理可知服从大数定理。 （1分）考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．设为两随机事件，且，则下列式子正确的是＿＿A＿＿A．B．Ｃ.Ｄ．2.设那么当增大时，CA．增大B．减少C．不变D．增减不定3．设＿A＿Ａ．1B.2C．3D．0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分1.设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C至少有一个发生”;2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是0.13．设随机变量X与Y相互独立，则随机变量的概率密度函数;4．已知则1.16三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）１．设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。解.设为“取得的报名表为女生的”,为“考生的报名表是第i个地区的”,i=1,2,3由全概率公式2分3分3分1分即先取到一份报名表为女生的概率为.1分２．设随机变量X的概率密度为，求=1\*GB3①A值；=2\*GB3②X的分布函数；=3\*GB3③(1)，2分(2)1分3分1分(3)3分３．设二维随机变量有密度函数：求：（1）常数；（2）落在区域D的概率，其中3.，5分5分4.设足球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为，试求平均需比赛几场才能分出胜负？4.设为需要比赛的场数，1分则，，，，4分所以4分答：平均需比赛6场才能分出胜负1分２．设为相互独立的随机变量序列,证明服从大数定律。2．1分1分令则2分，由切比雪夫不等式知1分故有，即服从大数定律。1分1．对于事件，下列命题正确的是＿＿D＿＿A．若互不相容，则B．若相容，则Ｃ．若互不相容，则Ｄ．若那么2.假设随机变量Ｘ的分布函数为，密度函数为．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿C＿＿A．＝；B．＝；C．＝；D．＝；３.若，，那么的联合分布为＿＿C＿＿Ａ.二维正态，且；Ｂ.二维正态，且不定；Ｃ.未必是二维正态；Ｄ.以上都不对．４.设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则是Ｘ和Ｙ的＿＿C＿＿A.不相关的充分条件，但不是必要条件；B.独立的必要条件，但不是充分条件；C.不相关的充分必要条件；D.独立充分必要条件．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分1.设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一个发生”;2.设离散型随机变量X分布律为则A=1/53.用的联合分布函数表示=;4．已知且则7.4三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）１．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为0.5，0.3，0.2，又设他在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01，0.02，0.1。求目标被命中的概率。1.由全概率公式2分7分目标被命中的概率为.1分２．设随机变量的概率密度为，求=1\*GB3①值；=2\*GB3②的分布函数；=3\*GB3③求落在区间内的概率。2.(1)，2分(2)1分4分(3)3分３．设二维随机变量的密度函数：求：求关于与关于的边缘分布密度；3.当时，3分于是2分同理5分4.设随机变量具有密度函数，求及。4.5分5分四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）２．设，是独立随机变量序列，证明服从大数定律。2．由切比雪夫大数定理可知服从大数定理。 （1分）一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1.设为随机事件,,,,则2/32．设10把钥匙中有2把能打开门,现任意取两把,能打开门的概率是17/453．设~~,且与相互独立,则354．设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为____5/6_____5.设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得4/5.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）1．设事件相互独立,且,,，则有B(A);(B);(C);(D)2.设~,那么概率D(A)随增加而变大;(B)随增加而减小；(C)随增加而不变;(D)随增加而减小3.设,,则C(A);(B);(C);(D)4．设相互独立，服从上的均匀分布，的概率密度函数为，则＿＿D＿＿(A);(B);(C);(D)三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％，10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求:(1)顾客买下该箱产品的概率；(2)在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.解:设表示“顾客买下该箱产品”，分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件”则80％，10％10％，，1，，，(3分)由全概率公式得：448/475，(7分)由贝叶斯公式得：95/112(10分)2．已知随机变量的密度为,且,求:(1)常数的值;(2)随机变量的分布函数解:(1)由,解得(4分)(2),当时,，当时,,当时,，所以(10分)3．设二维随机变量有密度函数：（1）求边缘概率密度；（2）求条件密度；（3）求概率.解:（1）(4分)(2)当时,=当时,(8分)(3)(10分)4.设随机变量独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设,,求随机变量与的相关系数4.解:,,,,,(8分)=3/5(10分)四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1.设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立1.证明：由于事件相互独立，所以，，，，(2分)所以即,所以事件与也相互独立(5分)一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1.设是两个随机事件,,,则事件“同时发生”的对立事件的概率为0.62．设有40件产品，其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的为次品的概率是0.13．设随机变量与相互独立,~~则随机变量的方差为244．设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得,则10二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）1．设总体~,是取自总体的一个样本,则为参数的无偏估计量的是(A)(A);(B);(C);(D)2.设~,则满足的参数(C)(A)0;(B)1;(C)2;(D)33．设,,则(C)(A);(B);(C);(D)三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1．两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球，第二箱中6个白球，4个红球，现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，(1)求从第二箱中取的球为白球的概率；(2)若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率 1．解:设表示“从第二箱中取的球为白球”，分别表示“从第一箱中取的2个球都为白球,1白1红，2个球都为红球”，则=2/15，=8/15，=1/3，2/3，7/12，1/2，(4分)由全概率公式得：17/30，由贝叶斯公式得：8/51(10分)2．设随机变量与同分布，的概率密度为，事件与事件相互独立，且，求常数的值。2．解:由于事件相互独立，所以，所以，解得或（舍去），(5分)所以，得(10分)3．设二维随机变量有密度函数：（1）求常数；（2）求边缘概率密度；（3）是否相互独立。3．解：（1），(4分)（2）(8分)（3），所以相互独立。(10分)4.设随机变量~，~，相关系数，设求：(1)随机变量的期望与方差；(2)随机变量与的相关系数 4.解：(1)~，~，所以，，，，，所以，(5分)(2)由于，所以(10分)四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1.设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立.1.证明：由于事件相互独立，所以，，，，所以即,所以事件与也相互独立。(5分)一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1.设为随机事件,,,则2/32．10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为2/93．设随机变量在区间上服从均匀分布,则的数学期望为4．设~为二项分布,且,,则___8___0.25.设随机变量在区间上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得1/12.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）1．设为事件,且,则下列式子一定正确的是(B)(A);(B);(C);(D)2.设随机变量的分布率为,,则(D)(A);(B);(C);(D)3.设,概率密度为,分布函数为,则有(A)(A);(B);(C),;(D),4.设,,则(A)(A);(B);(C);(D)5.设随机变量满足方差,则必有(B)(A)与独立;(B)与不相关;(C)与不独立;(D)或三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）1．有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球.(1)求此球是白球的概率；(2)若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率. 解:设表示“取得的为白球”，分别表示“取得的为第一，二，三盒的球”则，，，，(2分)由全概率公式得：1/2，(6分)由贝叶斯公式得：4/9(10分)2．已知连续型随机变量的分布函数为,其中为常数。求:(1)常数的值;(2)随机变量的密度函数;(3)解:(1)由右连续性,，得，，解得(6分)(2),(8分)(3)=1/3(10分)3．设随机变量在区间上服从均匀分布,求概率密度。3．解:的概率密度为，，，反函数导数，，，所以的概率密度为(10分)4．设二维随机变量的密度函数：（1）求常数的值；（2）求边缘概率密度；（3）和是否独立?4．解:（1）由，得(3分)(2)(6分)(9分)(3)，不独立(10分)5.设二维随机变量的概率密度函数：求（1）数学期望与；（2）与的协方差5.解:,(2分),(4分)(6分)，所以=9/40(10分)四、证明题（本大题共1小题，