人教版高二数学暑期课程 理 正弦定理和余弦定理 无答案

1、第三讲 正弦定理和余弦定理适用学科数学适用年级高二（理）适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1、正弦定理和正弦定理的推导2、应用正弦定理解三角形和边角转换3、余弦定理和余弦定理的推导4、应用余弦定理解三角形学习目标1、掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形（度量）变量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.学习重点正弦定理、余弦定理的推导与应用学习难点正弦定理、余弦定理的推导与应用学习过程一、知识讲解考点/易错点1（一） 正弦定理1.正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即：在ABC中，若角A、B、C、所对的边长分别为

2、a、b、c，则：（其中R为ABC外接圆的半径）.2. 正弦定理的证明:如图一：在中，所以，即：，如图二：内接与，取的中点，连结 则 即，同理可得：， 综上所述：3.定理的拓展与变形（1）的面积公式：(两边及其夹角的正弦值乘积的一半).（2）定理的变形:边化角：，角化边：，大边对大角，4.正弦定理的应用（1） 已知三角形的任意两角与一边求其他两边和一角，则选取正弦定理解三角形；（2） 已知三角形的两边与其中一边的对角，求另一边的对角，选取正弦定理解三角形；（3） 已知条件给出的边角关系中，边关系是一次的或出现角的正弦值，选取正弦定理进行边角代换，整理成关于边的式子或关于角的式子；（4） 利用正弦

3、定理判断三角形的形状，求三角形的面积，周长.5.解斜三角形的几类问题A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解注：当时，无解.考点/易错点2（二）余弦定理1.余弦定理:在中，、的对边分别为、，则2. 余弦定理的证明如图，在中，,则有： 在中， 即： 即： 同理可证：3.余弦定理的变形:(1), ,；(2)在中，是钝角， 是直角， 是锐角；4.余弦定理的应用（1）已知三边的长，求各角，选取余弦定理；（2）已知三角形的两边和一个角，求第三条边和各角，选取余弦定理；（3）已知给出的边角关系中，边是以二次形式给出的，选取余弦定理；（4）利用余弦定理判断三角形的形状；（5）.5.三角形

4、内的常考结论:（1）（2）（3）中，角成等差数列的充要条件是，.6.角平分线定理的证明： 如图,在中，为的角平分线，求证：. 解：如图，由正弦线定理，在中，有；则.在中,有，则.又因为是角平分线，即.所以,取倒数即得到.考点/易错点3应用正弦定理解三角形的多解问题 在已知三角形的两边一角（）应用正弦定理解三角形时，注意多解问题，可以根据与的大小关系来判断：为锐角，时，有一解；时，有两解；时，有一解.为钝角或直角，时，有一解；时，无解.也可以根据三角形中大边对大角来判断.例：在中，所对的边分别为，已知，求.解：由正弦定理得：,即：， ，又，则必有， 或考点/易错点4应用正弦定理进行边角转换在应用

5、正弦定理进行边角转换，是根据：边化角：，角化边：，进行转化.只有保证等式的两边或分式的分子和分母是齐次时，才能直接进行边角转换.例：（1），等号左右两边是齐次式，所以可以直接进行边角转化得：. （2），等号两边不是齐次式，所以不能直接进行边角转换.二、例题精析【例题1】【题干】 在中，角所对的边分别为，.已知.（1）求角的大小；（2）设，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，本题利用余弦定理“边转角”后，根据三角函数关系进行恒等变形，求出角B，根据三角形内角和

6、定理得出角A与角C的关系，代入后进行减元，化为关于角A的三角函数式，借助辅助角公式化为的形式，根据角A的范围，求出T的范围.试题解析：（1）在ABC中，因为，所以，所以， 因为，所以，因为，所以 （2）因为，所以，故，因此，所以 . 【例题2】【题干】在中，已知, 试判断的形状.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】由已知的，由正弦定理得，代入化简得等腰三角形或直角三角形【例题3】【题干】在中对应的角分别为，已知，（1）求周长；（2）求的值.【答案】（1） （2）【解析】（1） 的周长为 （2） 故为锐角【例题4】【题干】在中对应的角分别为，且 （1）求的大小；（2）若求的面积.【答案】（1）

7、 （2）【解析】（1）由余弦定理知： 将上式代入 ，得 （2）因为，所以 即 又 将，三、课堂运用【例题1】【题干】在ABC中,若a=8,B=60°，C=75°则 .【答案】【解析】由正弦定理得【例题2】【题干】在ABC中，若求.【答案】【解析】由正弦定理得 又【例题3】【题干】在中，已知，求这三角形最大角的度数.【答案】【解析】，为最大角 由余弦定理得 又 即这三角形最大角为.【例题4】【题干】在中，已知，不解三角形判断三角形的形状.【答案】钝角三角形【解析】则边最长，最大 由余弦定理得，为钝角三角形【例题5】【题干】在所对应的角分别为且，试判断的形状.【答案】等边三角形

8、【解析】由正弦定理得，代入 中得： 则为等边三角形【例题6】【题干】在中，判断三角形形状.【答案】等腰或直角三角形【解析】 化简得： 代入化简：或 为等腰或直角三角形【例题7】【题干】在ABC中，对应的角分别为若求：（1）的值； （2）的值.【答案】（1） （2）【解析】（1）由余弦定理得故.（2）由正弦定理和（）的结论得故.【例题8】【题干】在中，已知且，试三角形判断三角形的形状.【答案】等边三角形【解析】 又由余弦定理得所以三角形为等边三角形. 【例题9】【题干】在中对应的角分别为，已知（1）求的值；（2）若 ，的周长为，求的长. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，设则所以即

9、，化简可得又，所以因此（2）由得由余弦定得及得所以又从而因此b=2.【例题10】【题干】在ABC中，对应的角分别为，且(1) 求角A的大小；（2）求和的值.【答案】（1） （2）【解析】（1），由得即（2）由余弦定理知，又或四、课后作业【例题1】【题干】已知ABC中，的对边分别为若且，则 ( )A.2 B4 C4 D【答案】A【解析】由可知,所以,由正弦定理得,故选A.【例题2】【题干】在ABC中对应的角分别为，若，求和.【答案】【解析】【例题3】【题干】在中，若判断三角形的形状.【答案】直角三角形或等腰三角形【解析】由正弦定理 又或 当时，此时为直角三角形 当时，此时为直角三角形【例题4】【

10、题干】在是ABC的三边，若求和.【答案】， 或，【解析】且有两个解由正弦定理得则为或【例题5】【题干】在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （1）求A的大小；（2）求的最大值. 【答案】（1） （2）时，取得最大值1【解析】（1）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ， （2）由（）得：故当时，取得最大值1. 【例题6】【题干】在ABC中，角所对的边分别为，且满足， （1）求的面积； （2）若，求的值【答案】（1） 2 （2） 【解析】（1）因为，又由得， （2）对于，又，或，由余弦定理得，【例题7】【题干】在中，角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求ABC的面积S.【答案】（1） 2 （2）【解析】（1）有正弦定理，设，则,所以.即，化简可得.又，所以.因此. （2）由得，由余弦定理，及，得.解得，从而.又因为，且.所以.因此.【例题8】【题干】在A