(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习-第十章-解析几何初步-第59课-直线与圆的综合问题-文(共22页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第59课 直线与圆的综合问题(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P105习题23改编)若方程x2+y2-2mx+(2m-2)y+2m2=0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，则实数m的取值范围为.【答案】【解析】将圆的方程化为(x-m)2+y+(m-1)2=1-2m，则1-2m0，所以m.又圆心(m，1-m)在第一象限，所以0m1.综上，0m0，当MN=N时，实数r的取值范围是.【答案】(0，2-【解析】集合M表示以原点为圆心、2为半径的圆面，集合N表示以(1，1)为圆心、r为半径的圆面.因为MN=N，所以点集N全部含在M中，作图可知当且仅当圆x2

2、+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切时，r最大，此时r=2-，所以r(0，2-.3.(必修2P100习题9改编)已知圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2：x2+y2+ax+by+c=0关于直线x-y+3=0对称，那么a=，b=.【答案】16-84.(必修2P117练习23改编)若直线y=x+b与曲线x=恰有一个交点，则实数b的取值范围是 .【答案】b|-1b1或b=-【解析】利用数形结合的方法，曲线x=表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y=x+b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b=-1时直线y=x+b与曲线x=有两个交点及b=-时直线y=x+b与

3、曲线x=相切，所以实数b的取值范围是b|-1b1或b=-.1.与圆有关的最值和范围的讨论常用以下方法：(1)结合圆的方程的特点确定几何量之间的大小关系；(2)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；(3)利用不等式，若能将问题能转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解.2.定点问题的求解步骤：(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量(当涉及到的参变量较多时，也可以选择多个参变量)；(2)求动直线(曲线)方程：求出值含上述参变量的动直线(曲线

4、)方程，并由其他条件减少参变量的个数，最终使方程中只含一个参变量；(3)定点：求出定点坐标.不妨设方程中所含参变量为，把方程写为形如f(x，y)+g(x，y)=0的形式，然后解关于x，y的方程组得到定点坐标.【要点导学】要点导学各个击破最值、范围问题例1如图，设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则线段AB长的最小值为.(例1)【思维引导】直线与圆中有关长度的问题主要包括弦长、切线长及直线被坐标轴截得的长度等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.【答案】2【解析】方法一：设切点为D，OAB=，连接OD，则ODAB，从而得到AD=，BD=.所以线段AB=+=(0

5、)，则线段AB长度的最小值为2.方法二：设A(a，0)，B(0，b)，则直线AB：+=1，又直线AB与圆相切，故d=1，即+=1，又AB2=a2+b2=(a2+b2)=2+2+2=4，当且仅当a=b时取等号，所以AB长的最小值为2.【精要点评】本题方法一在建立函数时，没有选择用点D的坐标建立函数，而是选择OAB为自变量来建立函数，这种方法对于二元函数来说，有利于求解.变式1(2015南京调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-6x+5=0，点A，B在圆C上，且AB=2，则|+|的最大值是.【答案】8【解析】设弦AB的中点为M，则+=2.又圆C：(x-3)2+y2=4，AB=2，从

6、而CM=1，因此|max=3+1=4，所以|+|max=8.变式2若直线ax+by=1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心、OA长为半径的圆的面积的最小值是.【答案】【解析】依题意，由直线ax+by=1过点A(b，a)，得2ab=1ab=，从而OA2=a2+b22ab=1，所以S=OA2，当且仅当a=b=时取等号.定点问题例2已知tR，圆C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程.(2)圆C是否过定点?如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.【思维引导】根据圆心在直线上，构造关于t的方程，然后求t；对于圆的定点问题，把

7、圆的方程化成关于t的恒等式形式，构造关于x，y的方程，求定点.若有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.【解答】(1)由原方程配方得(x-t)2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4，其圆心为C(t，t2).依题意知t-t2+2=0，所以t=-1或2.即圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圆C的方程为(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)t2=0，令所以圆C过定点(2，0).【精要点评】判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标.若方程组

8、有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.变式如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=1.设动圆C同时平分圆C1，圆C2的周长.(变式)(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动.(2)动圆C是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.【解答】(1)设圆心C(x，y)，由题意，得CC1=CC2，即=，化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.(2)圆C过定点.设C(m，3-m)，则动圆C的半径为=.于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2.整理，得x2+y2-

9、6y-2-2m(x-y+1)=0.联立方程组解得或所以动圆C过定点，定点的坐标为和.定值问题例3如图，已知圆C：x2+(y-3)2=4，一动直线l过点A(-1，0)与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N.(例3)(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.(2)当PQ=2时，求直线l的方程.(3)探索是否与直线l的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【思维引导】问题(1)中直线m与直线AC垂直；问题(2)构造常规的勾股关系，即可求得直线的斜率；问题(3)先将，然后再求其值.【解答】(1)因为l与m垂直，且km=-，所以kl=3.又kAC=3，

10、所以当l与m垂直时，l的方程为y=3(x+1)，l必过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x=-1，符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0.因为PQ=2 ，所以CM=1，则由CM=1，得k=，所以直线l：4x-3y+4=0.从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(3)因为CMMN，所以=(+)=+= .当l与x轴垂直时，易得N(-1，-)，则=.又=(1，3)，所以=-5；当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，则由得N，则=.所以=+=-5.综上，与直线l的斜率无关，且=-5.【精要点评】一般地，涉及到圆的切线或

11、考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.变式已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1，0).(1)若l1与圆相切，求直线l1的方程.(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AMAN是否为定值?若是，则求出定值；若不是，请说明理由.【解答】(1)若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即=2，解得k=.所以所求直线方

12、程为x=1或3x-4y-3=0.(2)方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.又因为直线CM与l1垂直，由得M.所以AMAN=6为定值.故AMAN是定值，且为6.方法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0.所以x1+x2=，得M.以下同方法一.(变式)方法三：(几何法)连接CA并延长交l2于点B，由题知kAC=2，=-，所以CBl2.如图，AMCABN，所以=，可得AMAN=ACAB=2=6，是定值.存在性问题例4如图，在平面直角坐标系x

13、Oy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M，N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1=13；圆弧C2过点A(29，0).(例4)(1)求圆弧C2所在圆的方程.(2)曲线C上是否存在点P，满足PA=PO?若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由.【思维引导】对于(1)，先求得圆C1的方程，再求得点M，N的坐标，结合圆弧C2过点点A(29，0)，设其一般方程并求解.对于(2)，先假设满足条件的点存在，然后由条件PA=PO可得一个圆的方程，最后分别联立两个圆的方程，求解方程组.【解答】(1)由题意得圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169.令x=5，解得M(

14、5，12)，N(5，-12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2+y2-28x-29=0.(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA=PO，得(x-29)2+y2=30(x2+y2)，即x2+y2+2x-29=0.当-13x5时，由解得x=-70(舍去)；当5x29时，由解得x=0(舍去).所以这样的点P不存在.【精要点评】对于存在性问题，可先假设满足条件的点或其他量是存在的，然后把其存在性作为条件构造关系式，然后求解关系式中的量来确定其存在性.变式如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2

15、x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.(变式)(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.【解答】(1)由得圆心C为(3，2)，因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.由题知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0.所以=1，所以|3k+1|=，所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3，即y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，所以设圆心C为(a，2

16、a-4)，则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为MA=2MO，所以设点M(x，y)，则=2，整理得x2+(y+1)2=4，设为圆D.所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点.所以|2-1|2+1|，由5a2-12a+80得aR；由5a2-12a0，得0a.终上所述，实数a的取值范围为0，.1.圆x2+y2-6x-4y+12=0上一点到直线3x+4y-2=0的距离的最小值为.【答案】2【解析】圆心坐标为(3，2)，半径为1.因为圆心到直线的距离为3，所以圆上的点到直线的最小距离为3-1=2.2.(2015苏锡常镇、宿迁一调)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2

17、+(y-3)2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是.【答案】【解析】设PCA=，所以PQ=2sin .又cos =，AC3，+)，所以cos ，所以cos2，sin2=1-cos2，所以sin ，所以PQ.3.已知点P(10，0)，Q为圆x2+y2=16上一动点，当点Q在圆上运动时，PQ的中点M的轨迹方程是.【答案】(x-5)2+y2=4【解析】设点M(x，y)为所求轨迹上任意一点，Q(x0，y0).因为M为PQ的中点，所以即又因为点Q在圆x2+y2=16上，所以(2x-10)2+(2y)2=16，故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.4

18、.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x+b(xR)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.(1)求圆C的方程；(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论.【解答】(1)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b；令x=0，得y2+Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1，所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(2)圆C必过定点(0，1)，(-2，1).理由如下：原方程转化为(x2+y2+2x-y)+b(1-y)=0，即解得或【融会贯通】

19、融会贯通能力提升(2015苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD.(1)若AC=4，求直线CD的方程；(2)求证：OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).【思维引导】(1)(2)方法一：方法二：方法三：【规范解答】(1)因为A(-3，4)，所以OA=5.1分又因为AC=4，所以OC=1，所以C3分由BD=4，得D(5，0)，4分所以直线CD的斜率k=-，5分所以直线CD的方程为y=-(x-5)，即x+7y-5=06分(2)方法一：设C(-3m，4m)(0m1)，则OC=5m7分所以AC=OA-OC=5

20、-5m.因为AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，所以点D的坐标为(5m+4，0)8分又设OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有12分解得D=-(5m+4)，F=0，E=-10m-3，所以OCD的外接圆的方程为x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0，14分整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圆恒过定点(2，-1)16分方法二：设C(-3m，4m)(0m1)，则OC=5m7分所以AC=OA-OC=5-5m.因为AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，所以点D的坐标为(5m+4，0)8分因为OC的中点为，直线O

21、C的斜率kOC=-，所以线段OC的垂直平分线方程为y-2m=，即y=x+m.又因为线段OD的垂直平分线方程为x=，联立解得12分所以OCD外接圆的圆心为，则半径r= ，从而OCD外接圆的标准方程为+=+，14分整理得x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0.即x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圆恒过定点(2，-1)16分方法三：设OC=t(0t5)，则AC=BD=5-t，7分因为A(-3，4)，B(9，0)，所以C，D(t+4，0)，8分又设OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有12分解得所以OCD的外接圆的方程为x2+y

22、2-(t+4)x-(2t+3)y=014分整理得x2+y2-4x-3y-t(x+2y)=0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圆恒过定点(2，-1)16分【精要点评】在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆的方程形式.解题时要注意运用圆的相关性质及数形结合思想.对于定点问题，要考虑构建恒等式，继而求解方程组.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第117118页.【检测与评估】第59课直线与圆的综合问题一、 填空题1.过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是.2.过圆x2+y2

23、-4x+my=0上一点P(1，1)的圆的切线方程为.3.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a-b的取值范围是.4.若圆O：x2+y2=5与圆O1：(x-m)2+y2=20(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是.5.若过点P(1，1)的直线将圆形区域(x，y)|x2+y24分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为.6.(2015盐城三模)动直线y=k(x-)与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取得最大值时，k的值为.7.已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么

24、的最小值为.8.已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为.二、 解答题 9.已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的两个交点，且此圆面积有最小值，求此圆的方程.10.已知直线l经过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，求直线l的方程.11.已知圆C：x2+y2=9，点A(-5，0)，直线l：x-2y=0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.三、 选做

25、题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2014湖北卷)已知直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=.13.(2014江西模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+1=0，那么的最大值为.【检测与评估答案】第59课直线与圆的综合问题1.()【解析】设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30，则PO=2.由 可得 2.x-2y+1=0【解析】由P(1，1)是圆x2+y2-4x+my=0上一点，得m=2，则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5.设切线方程为y-1=k(x-1)，由题意得=，解得k=，所以切线方

26、程为x-2y+1=0.3.(-，4)【解析】圆x2+y2-2x+6y+5a=0转化成(x-1)2+(y+3)2=10-5a，则圆心坐标为(1，-3)，且a2.由于圆关于直线y=x+2b对称，故b=-2，从而a-b=a+24.4.4【解析】依题意得OO1=5，且OO1A是直角三角形，=OO1=OAAO1，因此AB=4.5.x+y-2=0【解析】当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与点P连线的斜率k=1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线方程为x+y-2=0.6.-【解析】因为y=表示半圆x2+y2=1(y0)，而SAOB=12sinAOB，所以(SAOB)max=，此时AOB为等腰直角三角形，从而点O到AB的距离为=，解得k=(正值不合题意，舍去).7.-3+2【解析】设APB=2，|=x，则=|cos 2=cos 2=(|2-1)(1-2sin2)=(x2-1)=x2-2-1+-3+2，当且仅当x2=，即x=时取等号.8.5【解析】设圆心O到AC，BD的距离分别为d1，d2，垂