全国高考数学试题

1、一九九四年全国高考数学试题理科试题一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题3分，第（11）-（15）题每小题4分.共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。（1）极坐标方程所表示的曲线是 （ D ）（A）双曲线 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）圆（2）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ D ）（A）（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1）(3) （ B ）（A）0 （B） （C）1 （D）2（4）设是第二象限的角，则必有 （ A ）（A）（B）（C）（D）（5）若直线x+ay+2=

2、0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= （ A ）（A） （B） （C） （D）（6）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 （ B ）（A）511个 （B）512个 （C）1023个 （D）1024个（7）在下列函数中，以为周期的函数是 （ D ）（A） （B）（C） （D）（8）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 （ B ）（A） （B） （C） （D）（9）使是纯虚数的最小自然数n= （ A ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6（10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担。从10人中选

3、派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ）（A）1260种 （B）2025种 （C）2520种 （D）5040种（11）对于直线和平面的一个充分条件是 （ C ）（A） （B）（C） （D）（12）设函数则函数的图象（A） Y （B） Y （C） Y 1 （D） Y （ B ） 1 1 1 -1 O X O X O 1 X O X -1 -1 （13）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 （ D ）（A） （B） （C） （D）（14）函数的值是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（15）定义在（-，+）上的任意函数f(x

4、)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果，x（-，+）,那么 （ C ）（A）（B）（C）（D）二填空题：本大题共5小题;每小题3分，共15分。把答案填在题中横线上。（16）抛物线的准线方程是_答：x=3（17）在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，则m=_答：1（18）若的值是_答：（19）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_答：（20）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到共n个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其它近似值比较，与各数

5、据的差的平方和最小。依此规定，从推出的=_答：三解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（21）（本小题满分8分）已知z=1+i（）设求的三角形式;（）如果求实数的值。解：（）由z=1+i，有（）由z=1+i，有（22）（本小题满分10分）已知函数若，证明：证明：即（23）（本小题满分10分）如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点。（）证明：AB1平面DBC1; A1 A D C1 C F E G B1 B （）假设AB1BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数。（）证明：A1B1C1-ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1

6、是矩形。连结B1C交BC1于E，则B1E=EC。连结DE，在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1（）解：作DFBC，垂足为F，则DF面B1BCC1。连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1上的射影。AB1BC1，由（）知AB1DE，DEBC1，从而EFBC1，DEF是二面角的平面角。设AC=1，则DC=，ABC是正三角形，在RtDEF中，取BC的中点G，EB=EC，EGBC在RtBEF中，EF2=BF·GF，又BF=BC-FC=，GF=，EF2=，即EF=DEF=450故二面角=450。（24）（本小题满分10分）已知直角坐标

7、平面上一点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和。求动点M的轨迹 Y M N O Q X方程，说明它表示什么曲线，并画出草图。解：如图设MN切圆于N，又圆的半径|ON|=1，所以|OM|2=|MN|2+|ON|2=|MN|2+1，依题意，动点M组成的集合为P=M|MN|=|MQ|+1=M|设点M的坐标为（x,y)，则经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程所求方程可化为它所表示的曲线是以点为中心，实轴在x轴上的双曲线的右支，顶点坐标为。如图所示。（25）（本小题满分12分）设是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所

8、有的自然数n,与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。（）写出数列的前3项;（）求数列的通项公式（写出推证过程）解：（）由题意，当n=1时有 故该数列的前3项为2，6，10。（）解法一：由（）猜想数列有通项公式下面用数学归纳法给予证明当n=1时，因为又在（）中求出所以上述结论成立。假设n=k时结论成立，即有由题意，有将代入上式，得解得由题意，有这就是说,n=k+1时，上述结论成立。根据，上述结论对所有自然数n成立。解法二：由题意，有整理得由此得即数列为等差数列，其中，公差d=4文科试题一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题3分，第（11）-（15）题每小题4分.共50分。在每小题

9、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后括号内。（1）点（0，5）到直线y=2x的距离是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（2）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ D ）（A）（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1）(3) （ B ）（A）0 （B） （C）1 （D）2（4）设是第二象限的角，则必有 （ A ）（A）（B）（C）（D）（5）若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= （ A ）（A） （B） （C） （D）（6）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3小

10、时，这种细菌由1个可繁殖成 （ B ）（A）511个 （B）512个 （C）1023个 （D）1024个（7）在下列函数中，以为周期的函数是 （ D ）（A） （B）（C） （D）（8）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 （ B ）（A） （B） （C） （D）（9）使是纯虚数的最小自然数n= （ A ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6（10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担。从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ）（A）1260种 （B）2025种 （C）2520种 （D）5040种（11）对于直线和平面的一个充分条件是

11、 （ C ）（A） （B）（C） （D）（12）设函数则函数的图象（A） Y （B） Y （C） Y 1 （D） Y （ B ） 1 1 1 -1 O X O X O 1 X O X -1 -1 （13）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 （ D ）（A） （B） （C） （D）（14）如果函数的图象关于直线对称，那么（A） （B）- （C）1 （D）-1 （ D ）（15）定义在（-，+）上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果，x（-，+）,那么 （ C ）（A）（B）（C）（D）二填空

12、题：本大题共5小题;每小题3分，共15分。把答案填在题中横线上。（16）抛物线的准线方程是_答：x=3（17）在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，则m=_答：1（18）若的值是_答：（19）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_答：（20）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到共n个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其它近似值比较，与各数据的差的平方和最小。依此规定，从推出的=_答：三解答题：本大题共5小题;共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

13、（21）（本小题满分8分）求函数的最小值。解：因为（22）（本小题满分10分）已知函数若，判断：的大小，并加以证明。证明：即（23）（本小题满分10分）如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点。（）证明：AB1平面DBC1;（）假设AB1BC1，BC=2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。 A1 A D C1 C E F B1 B （）证明：A1B1C1-ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形。连结B1C交BC1于E，则B1E=EC。连结DE，在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1（）解：作AFBC，垂足为F，

14、则面ABC面B1BCC1。AF面B1BCC1。连结B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1上的射影。BC1AB1，BC1B1F四边形B1BCC1是矩形。B1BF=BCC1=900，又FB1B=C1BC，B1BFBCC1.又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B1B2=BF·BC=1×2=2，于是B1F2=B1B2+BF2=3，B1F=即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为。（24）（本小题满分10分）已知直角坐标平面上一点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于。求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。解：如图设MN切圆于N， Y M

15、 N O Q X则动点M组成的集合为P=M|MN|=|MQ|因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1设点M的坐标为（x,y)，则经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程所求方程可化为知它表示一个圆，圆心坐标为（4，0），半径为。（25）（本小题满分12分）设数列的前n项和Sn，若对所有自然数n，都有证明：是等差数列。证法一：令下用数学归纳法证明：当n=1时上述等式为恒等式当n=2时等式成立假设当n=k（k2）时命题成立，由题设，有由，等式对所有自然数n成立。从而是等差数列。证法二：当n2时，由题设，所以一九九四年(32）（理科

16、）第卷（选择题共65分）一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分.共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设全集I=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，3，集合B=2，3，4，则 （ C ）（A）0 （B）0，1） （C）0，1，4 （D）0，1，2，3，4（2）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ D ）（A）（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1）（3）极坐标方程所表示的曲线是 （ D ）（A）双曲线 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）圆（4）设是第二象限的角，则

17、必有 （ A ）（A）（B）（C）（D）（5）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 （ B ）（A）511个 （B）512个 （C）1023个 （D）1024个（6）在下列函数中，以为周期的函数是 （ D ）（A） （B）（C） （D）（7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 （ B ）（A） （B） （C） （D）（8）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足F1PF2=900，则F1PF2的面积是 （ A ）（A）1 （B） （C）2 （D）（9）如果复数z满足，那么的最小值（A ）（A）1 （B

18、） （C）2 （D）（10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担。从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ）（A）1260种 （B）2025种 （C）2520种 （D）5040种（11）对于直线和平面的一个充分条件是 （ C ）（A） （B）（C） （D）（12）设函数则函数的图象（A） Y （B） Y （C） Y 1 （D） Y （ B ） 1 1 1 -1 O X O X O 1 X O X -1 -1 （13）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 （ D ）（A） （B） （C） （D）（14

19、）函数的值是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（15）定义在（-，+）上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果，x（-，+）,那么 （ C ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题共85分）二填空题：本大题共5小题，共6个空格;每空格4分，共24分。把答案填在题中横线上。（16）在的展开式中，的系数_（数字作答）答：-189（17）抛物线的准线方程是_圆心在该抛物线顶点且与其准线相切的圆的方程是_答：x=3,（18）已知求的值_答：（19）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积

20、为_答：（20）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到共n个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其它近似值比较，与各数据的差的平方和最小。依此规定，从推出的=_答：三解答题：本大题共5小题;共61分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（21）（本小题满分11分）已知z=1+i（）设求的三角形式;（）如果求实数的值。解：（）由z=1+i，有（）由z=1+i，有（22）（本小题满分12分）已知函数若，证明：证明：即（23）（本小题满分12分）如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点。（）证明：AB1平面DBC1;（）假设AB1B

21、C1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数。 A1 A D C1 C F E G B1 B （）证明：A1B1C1-ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形。连结B1C交BC1于E，则B1E=EC。连结DE，在AB1C中，AD=DC，DEAB1，又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC1（）解：作DFBC，垂足为F，则DF面B1BCC1。连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1上的射影。AB1BC1，由（）知AB1DE，DEBC1，从而EFBC1，DEF是二面角的平面角。设AC=1，则DC=，ABC是正三角形，在RtDEF中，取BC的中点G，EB=EC，EGB

22、C在RtBEF中，EF2=BF·GF，又BF=BC-FC=，GF=，EF2=，即EF=DEF=450故二面角=450。（24）（本小题满分12分）已知直线过坐标原点，抛物线C的顶点在原点。焦点在x轴正半轴。若点A（-1，0）和B（0，8）关于的对称点都在C上，求直线和抛物线C的方程。解一：设抛物线C的方程为且x轴与y轴不是所求直线又过原点，因而可设的方程为 （1）又设A、B分别是A、B关于的对称点，因而直线AA的方程为 （2）由（1），（2）联立方程组解得的交点坐标又A、B均在抛物线上，由（3）得同理由（4）得由（5）、（6）得这与A在抛物线上矛盾，故舍去设解法二：（视直角平面为复平

23、面）设A、B分别是A、B关于的对称点，由对称性知设抛物线C的方程为再由A、A两点坐标易求的方程：（25）（本小题满分12分）设是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n,与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。（）写出数列的前3项;（）求数列的通项公式（写出推证过程）（）解：（）由题意，当n=1时有 故该数列的前3项为2，6，10。（）解法一：由（）猜想数列有通项公式下面用数学归纳法给予证明当n=1时，因为又在（）中求出所以上述结论成立。假设n=k时结论成立，即有由题意，有将代入上式，得解得由题意，有这就是说,n=k+1时，上述结论成立。根据，上述结论对所有自然数n成立。（）解：

24、一九九四年(32）（文科）第卷（选择题共65分）一选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分.共65分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设全集I=0，1，2，3，4，集合A=0，1，2，3，集合B=2，3，4，则 （ C ）（A）0 （B）0，1） （C）0，1，4 （D）0，1，2，3，4（2）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ D ）（A）（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1）（3）点（0，5）到直线y=2x的距离是 （ B ）（A） （B） （C） （D）（4）设是

25、第二象限的角，则必有 （ A ）（A）（B）（C）（D）（5）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 （ B ）（A）511个 （B）512个 （C）1023个 （D）1024个（6）在下列函数中，以为周期的函数是 （ D ）（A） （B）（C） （D）（7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 （ B ）（A） （B） （C） （D）（8）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足F1PF2=900，则F1PF2的面积是 （ A ）（A）1 （B） （C）2 （D）（9）如果复数z满足，那么的最小值（A

26、）（A）1 （B） （C）2 （D）（10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担。从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ）（A）1260种 （B）2025种 （C）2520种 （D）5040种（11）对于直线和平面的一个充分条件是 （ C ）（A） （B）（C） （D）（12）设函数则函数的图象（A） Y （B） Y （C） Y 1 （D） Y （ B ） 1 1 1 -1 O X O X O 1 X O X -1 -1 （13）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 （ D ）（A） （B） （C

27、） （D）（14）如果函数的图象关于直线对称，那么（A） （B）- （C）1 （D）-1 （ D ）（15）定义在（-，+）上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果，x（-，+）,那么 （ C ）（A）（B）（C）（D）第卷（共85分）二填空题：本大题共5小题，共6个空格;每空格4分，共24分。把答案填在题中横线上。（16）在的展开式中，的系数_（数字作答）答：-189（17）抛物线的准线方程是_圆心在该抛物线顶点且与其准线相切的圆的方程是_答：x=3,（18）已知求的值_答：（19）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_答：（20）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到共n个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其它近似值比较，与各数据的差的平方和最小。依此规定，从推出的=_答：三解答题：本大题共5小题;共61分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。（21