考研高等数学强化讲义(第七章)全

1、第七章 多元函数积分学§7.1 二重积分 （甲）内容要点 一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 口诀（40）：多重积分的计算，累次积分最关键。 模型I：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续，则 模型II：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续 则 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域2 / 32如果既不符合模型I中关于的要求，又不符合模型II中关于的要求，那么就需要把分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积

2、分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域，然后根据再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。口诀（41）：交换积分的顺序，先要化为重积分。 二、在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域的不同类型，也有几种常用的模型。 模型I 设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续。 则 模型II 设有界闭区域 其中在上连续， 在上连续。 则 （乙）典型例题 一、二重积分的计算 例

3、1计算，其中由，和轴所围区域 解：如果 那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。 这时先对积分，当作常数处理就可以了。 原式 例2计算 解：原式 = = 例3求 解一： （对称性） 解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知 原式= = = 二、交换积分的顺序 例1交换的积分顺序 解：原式= 其中D由和以及所围的区域 由 因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得 原式= 例2设连续，证明 证明：交换积分次序 令，则， 例3计算解： 三、二重积分在几何上的应用 1求空间物体的体积（数学一） 例1求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积 解：设两正交圆柱面的方程为和，它们

4、所围立体在第一卦限中的那部分体积 其中为， 因此 而整个立体体积由对称性可知 例2求球面和圆柱面 所围（包含原点那一部分）的体积 解： 其中为平面上与轴所围平面区域用极坐标系进行计算 2求曲面的面积（数学一）§7.2 三重积分（数学一） （甲）内容要点 一、三重积分的计算方法 1直角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设是空间的有界闭区域 其中是平面上的有界闭区域，在上连续函数在上连续，则 （2）设 其中为竖坐标为的平面上的有界闭区域，则 2柱坐标系中三重积分的计算 相当于把化为极坐标而保持不变 3球坐标系中三重积分的计算 （乙）典型例题 一、有关三重积分的计算 例1计算，其中由曲面

5、，所围的区域 解： 例2计算，其中由曲面所围的区域 解：令，（广义球坐标） 则 例3计算，其中由曲面所围的区域 解：用球坐标（的球坐标方程化简为） 例4计算，其中由曲面，所围的区域 解： 二、在物理上的应用 例1求椭圆锥面和平面围成物体的重心（设密度均匀恒为1） 解：设重心坐标物体所占空间区域为 由对称性可知， 由锥体体积公式可知 令， 而 因此，重心坐标， 例2设有一半径为的球体，是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离平方成正比（比例系数），求球体重心的位置 解一：设球面方程为，为，球体的重心坐标为由对称性可知， 由区域的对称性和函数的奇偶性，则有 于是 因此，重心坐标为 解

6、二：设球面坐标，重心坐标 由对称性可知， 于是，重心坐标§7.3 曲线积分（数学一） （甲）内容要点 一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分） 参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设空间曲线的参数方程， 则 （假设和，皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算 二、第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分） 参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似） 设空间有向曲线的参数方程，起点对应参数为，终点对应参数为（注意：现在和的大小不一定）如果，皆连续，又，也都连续，则 这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类

7、曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。 三、两类曲线积分之间的关系 空间情形：设为空间一条逐段光滑有定向的曲线，在上连续，则 其中，为曲线孤上上点处沿定向到方向的切线的方向余弦。 四、格林公式 关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。 定理1（单连通区域情形） 设平面上有界闭区域由一条逐段光滑闭曲线所围的单连通区域，当沿正定向移动时区域在的左边，函数，在上有连续的一阶偏导数，则有 五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件 设，在单连通区域内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1任意曲线在内与路径无关 2内任意逐段光滑闭

8、曲线，都有 3成立 4内处处有 （乙）典型例题 一、用参数公式直接计算 例计算曲线积分 其中是曲线，从轴正向往负向看的方向是顺时针方向。 解：曲线是圆柱面和平面的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是唯一的选法）最简单可取，根据题意规定的定向，则从变到，于是 二、用格林公式等性质来计算曲线积分 例1求，其中，为正的常数，为从点沿曲线到点的弧 解一：用格林公式，但不是封闭曲线，故补上一段，它为从沿到的有向直线。这样构成封闭曲线，为逆时针方向 于是 ， 令 ，根据格林公式 这里为由和围成的上半圆区域。 另外，在上，故 于是 解二：我们把所给曲线积分拆成两项 在中，由于，故积分与路径无关 又看出 因

9、此 而在中，取的参数方程，从0到 于是 因此， 例2计算曲线积分，其中是以为圆心，为半径的圆周，取逆时针方向。 解：令， 当时，成立 因此，不能在的内部区域用格林公式 设法用曲线在的内部又包含原点在的内部，这样在与围成的二连通区域内可以用格林公式 今取曲线： 从到0为顺时针方向 令与围成区域为（二连通区域） 根据格林公式 （逆时针） （顺时针） 于是 （顺时针） （逆时针） 用的参数公式代入后，得 注：这里取为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取为，的圆周，那么最后的积分就比较复杂 例3设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。 （I）证明：对右半平面内

10、的任意分段光滑简单闭曲线，有 ； （II）求函数的表达式。 （I）证如图， 设是半平面内的任一分段光滑简单闭曲线，在上任意取定两点，作围绕原点的闭曲线，同时得到另一围绕原点的闭曲线。 根据题设可知 根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得 （II）解：设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数。 由（I）知，曲线积分在该区域与路径无关，故当时，总有。 ， ， 比较、两式的右端，得 由得 ，将代入得 ， 所以，从而 三、应用 例在变力的作用下一质点由原点沿直线到椭球面上第一卦限的点问取何值时，作功最大，并求。 解：设线段的参数方程，则在上作功 用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数 （1） （2） （3）

11、 （4） 得 （5） 由（1）得代入（5）得，则， 同理得， 故原点到作功最大，最大功为§7.4 曲面积分 （数学一） （甲）内容要点 一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 基本计算公式 设曲面的方程， 在上有连续偏导数，在上连续，则 这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算 二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 基本计算公式 如果曲面的方程， 在上连续，在上连续，则 若曲面指定一侧的法向量与轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。 三、两类曲面积分之间的关系 其中 为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦 令，

12、 四、高斯公式 定理 设是由分块光滑曲面围成的单连通有界闭区域，在上有连续的一阶偏导数，则 其中为在点处的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式 定理：设是逐段光滑有向闭曲线，是以为边界的分块光滑有向曲面，的正向与的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数在包含的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有 也可用第一类曲面积分 六、梯度、散度和旋度 1梯度 设，则 称为的梯度，令是算子 则 2散度 设 则 称为的散度 高斯公式可写成 （外侧） 其中为外侧单位法向量 3、旋度 设 称为的旋度。 斯托克斯公式可写成 其中， （乙）典型例题 一、用基本公式直接计算曲面积分 例1设为椭球面的上半部分，点，为在点

13、处的切平面，为原点到的距离，求 解： 先求出，设为上任一点，则的方程为 即 由的方程，于是 这样 区域 所以 原式 二、用高斯公式计算曲面积分 例1计算（常数） 其中上侧（） 解： 令曲面下侧 于是为闭下半球面的内侧 设其内部区域为，令为平面上圆域 则 例2计算其中是不通过点的球面的外侧 解： 设通过计算可知 （1）当的内部不包含点时，根据高斯公式可知 （2）当的内部包含点时，作曲面 内侧 选充分大，使在的内部，于是和是二连通区域的边界曲面，现在 根据高斯公式（二连通区域） 于是 在（外侧）上，故积分可以化简 令是以（外侧）为边界的空间区域再用高斯公式 例3设对内任意光滑有向闭曲面都有 其中在

14、内有一阶连续导数，且，求 解： 设为由曲面包围的空间区域，由题设和高斯公式得 由于的任意性，可知时 即微分方程： 得出通解 由 则 得， 则 三、用斯托克斯公式 例1设，曲面为的上半部，求 解：根据斯托克斯公式，其中为的边界曲线 （逆时针方向） 取的参数方程，由到 则 例2计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。 解：记为平面上所围成部分的上侧，为在坐标平面上的投影，由斯托克斯公式得 四、曲面积分的应用 例设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数），问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需