平面向量的线性运算

1、教师姓名李老师学生姓名年级初三上课时间2014/05/1810:00-12:00学科中考数学课题名称平面向量的线性运算（向量的分解分向量）教学目标理解平面向量的分解规则（即分向量），掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示的方法。教学重难点重点：掌握如何通过三角形法则和平行四边形法则将平面内任一向量用两个不平行向量表示。主要包含以下几点：1.向量加、减法的定义、运算（交换律、结合律）及其几何意义；2.实数与向量积的意义及运算律；3.通过三角形法则和平行四边形法则将平面内任一向量分解成两个不平行的向量；4.零向量、相等向量、相反向量、单位向量、共线向量（平行向量）、共起点向量、共终点向量的

2、概念及理解；5.两个向量共线的等价条件及其运用；6.向量的模的概念及运用.难点：理解平面向量的分解的唯一性知识精解1、向量的加法：如图3,已知非零向量，在平面内任取一点A,彳AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+BC=AC0a7加图立2、向量加法的三角形法则：首尾相接：第二个向量要以第一个向量的终点为起点，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量，如上图3。（向量减法的三角形法则类似）3、向量加法的平行四边形法则：如图4,以同一点。为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以。为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的

3、方法叫做向量加法的平行四边形法则。（向量减法的平行四边形法则类似）4、向量的减法:5、相关概念:(1)零向量:性质：A、零向量的相反向量是零向量;B、零向量与任意向量都平行(2)单位向量：规定长度为1的向量(3)(4)相反向量：方向相反，长度相等(5)共线向量(平行向量)：如果 a6、实数与向量的积:实数人与向量a的积是个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a,它的长度与方向规定如下:(1)1入a|二l入冏；(aw0)与b共线，那么有且只有一个实数入，使得b=Xa0(2)当人0时，入a的方向与实数与向量的积的运算律:入、以为实数，那么a的方向相同；当入0时，入a的方向与a的方向相反。(1)入(

4、Ia)=(入n)a;(2)(入+世)a=入a+na;(3)入(a+b尸入a+入b.7、向量的模：向量的长度8、向量的分解:（用到的知识点包括平行四边形法则和三角形法则，实数与向量的积，共线向量，模）例1.已知向量OA,OB和p,q求作：（1）向量p分别在OA,OB方向上的分向量。PBOA2交DC于点GDHCQOMABEFAEGBCDPQ与AB平行，分另1J交3、在三角形ABC中设AE=a,AP=b。分别求平行四边形ABCD点E,F在边AB上，AE=EF=FB点P是边AD的中点FH,B*点AB=a,BC=b,G是重心，请写出（2）向量q分别在OA,OB方向上的分向量。AD平行，分别9、运算法则:

5、(1)交换律:如图5,作AB=a,AD=b,以为邻边作OlABCQ则BC=b,DC=ao因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a(2)结合律：如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c)。经典例题1、化简：(1) BC+AB(2) DB+CD+BC(3) AB+DF+CD+BC+FA2、已知正方形ABCtJ勺边长为1,AB=a,AC=c,BC=b,则|a+b+c|为()。B.3C,亚v，23、设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量，

6、则下列结论中正确的为()a/b；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|。A.B.C.D.图h4、如图7,DE、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF-DB等于（）。A.FDB.FCC.FED.BE5、下列式子中不能化简为AD的是（）。A.（AB+CD）+BCB.（AD+MB）+（BC+CM）C.MBADBMOCOA+CD6、设两非零向量el、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为（）。B.-1C.l7、如图17所示，已知正方体ABCD-ABCD,设AB=a,AD=b,AAi=c,则ACi=。（用a、b、c表示）图第24题图8、平行

7、四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,设BAa,BCc（1）用a、c的线性组合表示BD；（2）用a、c的线性组合表示AO9、在梯形ABCD中，ADBC,OD:OB1:4,设OBb,0Cc(1)用b、c的线性组合表示求BC；(2)用b、c的线性组合表示求AD第2题图1、已知ABC勺重心为G, O为坐标原点,1OA=a, OB =b, OC =c,求证：0G =3（a+b+c）课堂练习12、在AABCAE=5AB,EF/BC,EF交AC于F,设aB=a,AC=b,则bF用a、b表示的形式是3、下面给出四个命题：对于实数m和向量a、b恒有：m(ab)mamb对于实数m、n和向量a,恒有(mn)

8、amana若mamb(mR),则有ab若mana(m,nR,a0),则mn其中正确命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)44、若a与b的方向相反，且|a|b,则a+b的方向与a的方向;此时ab|a|b|.5、已知口E、F分别是ABC勺边BCCAAB的中点，且ICa,CAb,aBc,则下列各式：EFcb;226、在ABCD中，ABmN。（用a、b表示）3NC,M为BC的中点，则0.其中正确的等式的序号为（Db7、如图，在ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，AN、BM交于点G,设ABaACc（1）分别用向量a、c表示AM,MN;（2）用向量a、c的线性组合表示AN.课后作业1、已知：在

9、任意四边形ABC,E、F分别是ADDC的中点.求证：EF1/一(ABBC)22、已知ABC,DEF分别是ARBC，CA的中点，设NBa,aCb,则DE或是（1 K ,(A) a b2；(B)11(C)ab；(D)ab.223、若向量x、y满足2x3ya,3x2yb,a、b为已知向量，则x=4、2a3bc3a2bc=5、当向量a与单位向量e方向相反，长度为2时，a6、若 a b c, a 2b3c（c零向量），则a_b（填“平行于”或“不平行于”）7、对非零向量a与b,下列命题中假命题是B.D.|b|，则a8、如图，已知向量a、b、,那么下列结论正确的是(A)(B)(C)9、若向量b与单位向量e

10、的方向相同，且|b|11|,则b=2.（用e表本）、选择题（每小题4分，满分24分）1、下列命题:对角线相等的四边形是矩形；圆是轴对称图形，直径是它的对称轴；同角的余角相等；全等三角形对应边上的中线相等。其中正确命题的个数是（）个个个2、卜列各二次根式中，与2v/3是同类根式的是（）A.V32B.V18C.V24V12/53.下列方程中有实数解的方程是A.（1-2/+2=04、投一枚硬币两次，第一次正面朝上，第二次正面朝下的概率是（A、1/2B、1/3C、2/3D、1/45、)（第6期u如图,O。和05外切于点P,过点P的直线分别交0o.于点且0O和。的面积之比为3,那么APB. 6：1D.

11、73： 1在等4A.9：1C3：I那IJLJZJ.J6：已知ABC的三边分别为，一两圆的半径口士明尸产力，圆心距d=那么这两个圆的位音关系是（）A-相交B,相交或相切C.外切或内切D.不能确定，需翟讨论二、填空题（每小题4分，满分48分）7.43的平方根是._18,计算型一（即J_.,.9.分解因式:，+31-1=-m函数人工）=2工.1的定义域是工+工+1U.在四边形AfiCD中.如果前二比，那么与争相等的向量是,:每分钟降价254鲁鬻普竟睨R益激烈，某通讯公司的手机话费收元（用含收费标准是每分钟“元，则原收费标准是mE的代数式表不上13.在白:危坐标平面内，已知r- （用e表示）4，。），

12、8（0.2）1（23）.记向量不加=；,那么5, （XM第18题N14.矩形ABCD中,AB=I,NABD=60沿对南线BD翻折建项点C落在。处挪么线段ACi的长为一.15.等腰三角形的底边长为8m,其外接圆半径为5m,则腰长等于16一已知统段AB二Xm,则与八点距离为16,与点距离6PA为2cm的直线共有条,I17、一辆汽车在行驶过程中，路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示。当0三x三1时，y关于x的函数解析式为y=60x,那么当1三x三2时，y关于x的函数解析式为MPN 90 , PM=3 PN=4,那18、如图，将矩形纸片ABC所叠，B、C两点恰好重合落在AD边上点P处，

13、已知么矩形纸片ABCD勺面积为.三、解答题（本大题巽写公（本题满分】。分）解不等式组产293优分10分）如图，A为短歌灌23）,E为加的中点，EO的延长线与。相交于c,cM人E.8。的延长线与0O相交于F,与CM相交于Q.（1）求证:ecj_cd；（2）当EO：OC=1：3,CD=4时,求（）o的半径21.（本题满分10分）卜图是根据某乡2011年第一季度“家电下乡产品的的买情况绘制的两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息，解答F列问题：（第21题）（1）第一季度购买的“家电下乡”产品的总台数为22（2）把两幅统计图补充完整向右平移4个单位后得现的函数解析式轴于点H赛苗（善用图（第25题）1

14、8.（本题满分12分） 抛物线C2.W写出抛物线（的面积恰好为 ECW 4FDA的面积之和时AE=2 EF=1,贝妆!形ABCD勺面积为如果拗物线C士交工轴于点儿口（点a FH,求线段PB的长；然一手与抛物线G不同的抛物线G,它经过点瓦顶点为Q,对称轴与工 轴交于点）.且以Q）、3为顶点的三角形与以fob为顶点的二角席全 等，请求出满足条件的顶点Q的坐标.为取总的一相形全（本题满分14分）如图，已知N2Q=6CT,点人在边op上，且a=2.操作:把二角尺60,的顶点与A点重合，将三角尺边再g从与边AO重合的位置开 始按逆时针方向旋转，并且三角尺的两边与边oq相交于BC两点二B C两点在 边8

15、上同时以不同的速度向右平行移动.（1）当三角尺旋转前，即/04“=30）时，求点C移动的距离；（2）求证:人u2=00比；13）设00 =工，。7 = （了1学0）,求了与工之间的函数关系式及自变最E为矩形ABCD4 BC上自B向C移动的一个动点，EF AE交CD边于F,联结AF,当 ABE1、如图，在RtzXABC中，ABAG四边形DEF劭正方形，点DE分别在边ABAC上，GF点在边BC上，联结AGAF,分别交DE于MN,求证MI2=DM-ENN2、如图，在梯形ABCLfr,ADBP=MN求BO的长。汇满?1。分）四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1、2、3、4,现将标黑嘉抽黑戛在桌子上，从中随机抽取一张（不放回）再从桌子上剩榜3（1）