221直线的参数方程

1、2.2.1直线的参数方程(1)主备：冯宗明 喻浩 徐洪燕 审核：牟必继有计划就去做，不要总找借口一、教学目标一、教学目标：知识与技能：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：三、教学方法：启发、诱导发现教学.（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标

2、标x 、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并且对于并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的的每一个允许值，由上述方程组所确定的点点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的做这条曲线的参数方程参数方程 ，联系，联系x、y之间关系的变数之间关系的变数叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。参数方程的参数可以是有。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。变数。( )( )xf tyg t（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲相对于参数方程来

3、说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。1、参数方程的概念、参数方程的概念一、复习回顾一、复习回顾注意：注意：(1)、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。之间的关系。(2)、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难或不可直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。能体现时，通过参数建立间接的联系。(3)同一曲线选取参数不同同一曲

4、线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样;(4)在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围.2、求曲线的参数方程一般步骤、求曲线的参数方程一般步骤: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为 (x,y) ；（2）选取适当的参数）选取适当的参数t;（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式;（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程;请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程

5、都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByCk 2121yyxxtan3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？4、向量的数量是怎样的？、向量的数量是怎样的？2、直线的参数方程有许多形式，但我们主要学习、直线的参数方程有许多形式，但我们主要学习其中的两种基本的形式：其中的两种基本的形式：二、新课讲解：二、新课讲解：1、引出问题引出问题:直线的参数方程是怎样的？今天我们直线的参数方程是怎样的？今天我们来研究来研究直线的参数方程直线的参数方程，t （1 1）一条直线）一条直线L L的倾斜角是的倾斜角

6、是30300 0，并且经过点，并且经过点P（2，3），如何描述直线），如何描述直线L上任意点的位置呢？上任意点的位置呢？3 3、教师引导学生推导直线的参数方程：、教师引导学生推导直线的参数方程：OxylP00 x=2+tcos30y=3+tsin30所求直线的参数方程为：所求直线的参数方程为：(t为参数为参数)M(x,y)是直线上的是直线上的任意任意一点一点.其中其中参数参数t的几何意义的几何意义是是丛点丛点P到到M的位移的位移,可以用有向线段可以用有向线段PM=t的数量表示。的数量表示。 M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)QPM=t 3 3、教师引导学生推导直线的参数方程：、

7、教师引导学生推导直线的参数方程：所求直线的参数方程为：所求直线的参数方程为：如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(1，1),P(4，3),那么又如何描述直线那么又如何描述直线L上任意点的位置呢？上任意点的位置呢？OxylPQ1+4x=1+1+3y=1+其中参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有向线段QP的数量比。的数量比。t( 为参数为参数) M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)BNAQMQM= =，MPMP令令0(1)(2)leeMM如何利用倾斜角写出直线 的单位方向向量 ？如何用 和的坐标表示直线上任意一点的坐标？)sin,(cos)1(

8、e),(),(),()2(00000yyxxyxyxMM eMM/0又又etMMRt 0，使使得得存存在在惟惟一一实实数数抽象概括一般的直线的参数方程：抽象概括一般的直线的参数方程：23t注:(1)直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ （ ）参数 的取值范围是什么？ （ ）该参数方程形式上有什么特点？00000.tttMMM MetM MetMMt 直线的参数方程中参数 的几何意义是：表示参数 对应的点到定点的距离。当与 同向时， 取正数；当与 异向时， 取负数；当点与重合时，也即是从点也即是从点P到到M的位移，可以用有向线段的位移，可以用有向线段PM的的数量表示。数量表示。抽象概括一般的

9、直线的参数方程：抽象概括一般的直线的参数方程：如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有向线段QP的数量比：的数量比：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)QMMP o当当时，时，M M为内分点；为内分点； 当当 时，点时，点M M与与Q Q重合。重合。o1o 当当 且且 时，时，M M为外分点；为外分点；t( 为参数，为参数， )1 t (1)(1)一条直线一条直线L L的倾斜角是的倾斜

10、角是 ,并且经过点并且经过点P(x0,y0)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylP00 x=x +tcosy=y +tsin所求直线的参数方程为：所求直线的参数方程为：(t为参数为参数)M(x,y)是直线上的是直线上的任意任意一点一点.其中参数其中参数t的几何意义是的几何意义是丛点丛点P到到M的位移的位移,可以用有向线段可以用有向线段PM的数量表示。的数量表示。4 4、抽象概括一般的直线的参数方程：、抽象概括一般的直线的参数方程：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直线的参数方程为

11、：直线的参数方程为：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有向线段QP的数量比：的数量比：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)QMMP o当当时，时，M M为内分点；为内分点； 当当 时，点时，点M M与与Q Q重合。重合。o1o 当当 且且 时，时，M M为外分点；为外分点；t( 为参数，为参数， )1 即即，QMMP ” 当点当点M在线段在线段QP上时上时,取取“+”;当当点点M在线段在线段QP的延长线或反向延长线上时的延长线或反向延长线上时,取取“-”号。号。 三、例题讲解三、例题讲解。的的一一个个参

12、参数数方方程程是是）直直线线（）为为参参数数）的的倾倾斜斜角角是是（）直直线线（012160.110.70.20.20cos20sin31000000 yxDCBAttytx练习：练习：B为为参参数数）（ttytx 222213、P32 练习练习1,2,3 如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解本题呢？(*)010122 xxxyyx得：得：解：由解：由112121 xxxx，由韦达定理得：由韦达定理得：10524)(1212212 xxxxkAB251251(*)21 xx，解得：解得：由由25325321 yy，)253,251()253,251( BA，坐标坐标记直线与抛物线的交点记

13、直线与抛物线的交点2222)2532()2511()2532()2511( MBMA则则245353 的参数方程？的参数方程？）如何写出直线）如何写出直线（l1?221ttBA，所所对对应应的的参参数数，）如如何何求求出出交交点点（有有什什么么关关系系？，与与、）（213ttMBMAAB 21211ttMM ）（2221ttt ）（2 四、课堂练习四、课堂练习0cos1.(sinttyytaA012x=x直线为参数）上有参数分别为t 和t 对应的两点 和B,则A,B两点的距离为2t1A.t12.B tt12.C tt12.D tt22cos2(4sin,xa ttbacyb tt 2。在参数方

14、程为参数）所表示的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为t、 则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）22t1tA.12.2ttB2|2t1|tC.12|.2ttD1123.(3520,xttyt 一条直线的参数方程是为参数），另一条直线的方程是x-y-2 3则两直线的交点与点（1，-5）间的距离是4 3124:44022043120lxylxylxy。求直线与 ：及直线：所得两交点间的距离。9 1714 四、课堂小结四、课堂小结知识点：知识点：学习后要把握以下几个学习后要把握以下几个及其简单应用，及其简单应用，直线的参数方程的推导直线的参数方程的推导本节课我们主要学习了本节课我们主要学习了

15、的联系；的联系；通方程通方程）直线的参数方程与普）直线的参数方程与普（)(tan100 xxyy 量量知知识识的的联联系系；）直直线线的的参参数数方方程程与与向向（2的的几几何何意意义义；）参参数数（t3.4tt长长，与与中中点点对对应应的的参参数数线线被被曲曲线线所所截截得得的的弦弦的的两两点点间间的的距距离离、直直表表示示点点的的坐坐标标、直直线线上上）应应用用：用用参参数数（2.2.1直线的参数方程直线的参数方程(2) (1)(1)一条直线一条直线L L的倾斜角是的倾斜角是 ,并且经过点并且经过点P(x0,y0)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylP00 x=x +tcosy

16、=y +tsin|PM|=t.即(t为参数为参数)tM(x,y)是直线上的是直线上的任意任意一点一点.其中参数其中参数t的几何意义是丛点的几何意义是丛点P到到M的位移的位移,可以用有向线段可以用有向线段PM的数量表示的数量表示1 1、复习回顾：直线的参数方程：、复习回顾：直线的参数方程：M(标准形式标准形式 )当点当点M(x，y)在点在点(x0，y0)的上方时，的上方时，t0；当点当点M(x，y)在点在点(x0，y0)的下方时，的下方时，t0；当点当点M(x，y)与点与点(x0，y0)重合时，重合时，t=0. 以上反之亦然以上反之亦然00 x=x tcosy=ytsi-n-注意： (t是参数是

17、参数)，这虽然不是标准形式，但，这虽然不是标准形式，但仍表示过仍表示过P(x0,y0)且倾斜角且倾斜角 为的直线，参数为的直线，参数t与标准方程与标准方程的的t是互为相反数。是互为相反数。(2, - 1)110BD (2)直线的参数方程的直线的参数方程的一般形式一般形式： (t为参数为参数)其中其中(x0，y0)表示该直线上的一点表示该直线上的一点, 表示直线的斜率当表示直线的斜率当a，b分别表示点分别表示点M(x，y)在在x轴正方向与轴正方向与y轴正方向的分速度轴正方向的分速度时时,t就具有物理意义就具有物理意义时间时间,相应的相应的at，bt则表示点则表示点M(x，y)在在x轴正方向、轴正

18、方向、y轴正方向上相对轴正方向上相对(x0，y0)的位移的位移00 xxatyybtba解：由题意知则直线解：由题意知则直线PQ的方程是的方程是 (时间时间t 是参数是参数)将将t=3s代入得代入得Q（8，14）。）。1 324xtyt 例一个小虫从例一个小虫从P（1，2）出发）出发,已知它在已知它在 x轴方向的分速轴方向的分速度是度是3,在在y轴方向的分速度是轴方向的分速度是4,问小虫问小虫3s后的位置后的位置Q。说明：说明：(1)标准形式是一般形式的特殊情况。标准形式是一般形式的特殊情况。一般式中当一般式中当a2+b2=1且且b0就是标准形式。就是标准形式。(2)当当a2+b21，可以把一

19、般形式转化为可以把一般形式转化为标准标准形式。过程形式。过程 如下：如下：22= ,ab t t令2202222022()()axxab tabbyyab tab0220(1)x xataby ybt一 般 形 式 ：022022axxtabbyytab022022axxtabbyytab一般仍一般仍写成写成转化之后仍表示同一条曲线。转化之后仍表示同一条曲线。如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylPQ1212x +xx=1+y +yy=1+其中参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有

20、向线段QP的数量比：的数量比：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)QMMP o当当时，时，M M为内分点；为内分点； 当当 时时, ,点点M M与与Q Q重合。重合。o1o 当当 且且 时，时，M M为外分点；为外分点；t( 为参数，为参数， )1 即即，QMMP ” 当点当点M在线段在线段QP上时上时,取取“+”;当当点点M在线段在线段QP的延长线或反向延长线上时的延长线或反向延长线上时,取取“-”号。号。当当 时时. .点点M M是线段是线段QPQP的中点。的中点。o1说明说明：1、由曲线的参数方程知道，每个参数值对、由曲线的参数方程知道，每个参数值对应曲线上的一个点，所以要

21、求曲线上的一个点，应曲线上的一个点，所以要求曲线上的一个点，可先求这个点对应的那个可先求这个点对应的那个 参数的值。参数的值。)t (sintyycostxx00为参数2、直线的、直线的参数方程的标准形式参数方程的标准形式的的应用应用： (1)参数参数t的几何意义是定点的几何意义是定点P(x0,y0) 到到M(x,y) 的有的有向线段的数量向线段的数量,1 1即即 P PA A = = t t1212AB = t -tAB = t -t.即即PMPMt (2)设直线上的三点设直线上的三点A,B,C对应的参数分别是对应的参数分别是t1,t2 t3,则有则有过定点过定点P(x0,y0)且倾斜角且倾

22、斜角 的直线的参数方程为：的直线的参数方程为：120.= =tt1212PA PB = t tPA PB = t t1232= =ttt如点如点C是线段是线段AB的中点，则有的中点，则有特殊地，点特殊地，点P是线段是线段AB的中点，则有的中点，则有例例 1 已已知知直直线线 L 过过点点 M0（ 4，0） ，倾倾斜斜角角为为 6 (3)若若 L 与与直直线线 y=x +34交交与与点点 M， 求求 M0M （3）解一 由34) 4(33xyxy 得交点 M（4(3+1),4） 82) 04(2) 4434(|0|MM 解二 将( 1 )代入y=x+43得: 8| 8434)2321( 3423

23、4210tMMtttt 例2 已知直线L过点P（1，2） ，倾斜角为450,椭圆C：x2+2y2=8 B o A y x C P 21.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。例1ABM(-1,2)xyO解:因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.(2sintyt3x=-1+tcos4为参数）34所以直线的参数方程可以写成易知直线的倾斜角为34212(222xttyt 即为参数）把它代入抛物线y=x2的方程,得2220tt1221021022tt解得，t由参数 的几何意义得1210ttAB121

24、22MAMBttt tABM(-1,2)xyO直线参数方程的应用（标准形式）直线参数方程的应用（标准形式）1） 求一端点是求一端点是M0(x0,y0)的线段长的线段长 3） 求一端点是求一端点是M0(x0,y0)的两线段的两线段 长长 的和与积的和与积2) 求弦长求弦长222()13xttxyyt 求直线为参数被双曲线所截得的弦长例3 、2222212121221212122()-132- ( )12- 4- 3032-2-()- 43 2 2 - 4( -)1 0 .2xttxyytttttttttt tttttt t把为 参 数代 入，整 理 得， 即，设 其 两 根 为， 则，从 而 弦

25、 长错解：错解：错误分析：错误分析：直线的参数方程必须先转化为标准形式后才可直线的参数方程必须先转化为标准形式后才可运用，即要理解直线的参数方程中的参数的几何意义运用，即要理解直线的参数方程中的参数的几何意义2222212121 2212121 2122()32131(2)()122460.46()4 424(6)40210.xttytxyttttttttt tttttt t 把 直 线 参 数 方 程 化 为 标 准 参 数 方 程为 参 数 ，代 入， 即，整 理 ， 得设 其 两 根 为， 则，从 而 弦 长 为正解：正解： 12222,111641112|PllxyABCDPA PBP

26、A PBPCPD4过且两两互相垂直的直线 ， 分别交椭圆于 、 与 、 ；求的最值；求证：为定值例 、 112222222222 2cos()1sin1164(cos4sin)(4cos8sin)808cos4sin88cos4sin13sin82.1A Bllxttytxyttt tPA PBPA PB 设直线 的倾斜角为 ，则 的参数方程为为参数 ，代入椭圆的方程中，整理得，所以，所以，所以的最大值为 ，解最小值为析： 1212222222222cos()2 ()1sin()21164(sin4cos)4(2cossi2n )80llllllxttytxytt 证明：因为，不妨设 的倾斜角

27、小于 的倾斜角，则 的倾斜角为，因此直线 的参数方程为为参数，代入椭圆的方程中，整理得，222813 c o s11|13 s in13 c o s 885 8CDP CP DttP AP BP CP D所 以，所 以， 为 定 值 点评：点评：要求要求A、B两点到两点到P的距离之和或积，由参数的几何的距离之和或积，由参数的几何意义，即只要求意义，即只要求|tA|+|tB|或或|tAtB|，求，求|AB|即求出即求出|tA-tB|，运用，运用韦达定理和直线的参数方程中韦达定理和直线的参数方程中t的几何意义即可，是解决的几何意义即可，是解决直线和二次曲线问题常用的方法之一直线和二次曲线问题常用的

28、方法之一 练练习习与与作作业业 1. 直直线线tytx223222(t 为为参参数数)上上到到点点 M(2, 3)距距离离为为2且且 在在点点 M 下下方方的的点点的的坐坐标标是是_ 2.直直线线tytx 3 2(t 为为参参数数)被被双双曲曲线线 x2 y2=1 截截得得的的弦弦长长为为( ) (A) 10 (B) 102 (C) 210 (D) 310 3.过过点点 P（5， 3） ，且且倾倾斜斜角角 满满足足 cos = 53 的的直直线线与与 圆圆 x2+y2=25 交交于于 P1, P2两两点点,则则| PP1| | PP2| =_ , 弦弦 P1P2中中点点 M 的的坐坐标标是是_

29、 (3, 4)B9)2533,2544(直线的参数方程：直线的参数方程：经过两个定点经过两个定点 的直线的参数方程为：的直线的参数方程为：112212( ,), (,)()Q x yP xyxx121211xxxyyy（ 为参数 ， ） 1 例例2求点求点A（1，2）关于直线）关于直线l：2x 3y +1 =0的的对称点对称点A 的坐标。的坐标。解：由条件，设直线解：由条件，设直线AA 的参数方程为的参数方程为 (t是参数是参数)，A到直线到直线l的距离的距离d = ， t = AA = ，代入直线的参数方程得代入直线的参数方程得A ( ， )。 21133213xtyt 5131013331

30、3413点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。的几何意义。二、求解中点问题二、求解中点问题 例例3已知双曲线已知双曲线 ，过点，过点P（2，1）的）的直线交双曲线于直线交双曲线于P1，P2，求线段，求线段P1P2的中点的中点M的的轨迹方程。轨迹方程。 2212yx 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有数方程，并注意有t1+t2=0。 解：设解：设M(x0，y0)为轨

31、迹上任一点，则直线为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程的方程是是 。(t是参数是参数)，代入双曲线方程得：，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由题意由题意t1+t2=0，即，即2x0cosy0sin =0，得，得 。又直线又直线P1P2的斜率的斜率 ，点点P（2，1）在直线）在直线P1P2上，上， ，即即2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。为所求的轨迹的方程。00cossinxxtyyt002tanxy00tanyykxx0000122yxxy三、求定点到动点的距离三、求定点到动点的距离

32、例例4直线直线l过点过点P(1，2)，其参数方程为，其参数方程为(t是参数是参数)，直线，直线l与直线与直线 2x +y 2 =0 交于点交于点Q，求求PQ。12xtyt 解：将直线解：将直线l的方程化为标准形式的方程化为标准形式 ，代入代入 2x +y 2 =0得得 t = ， PQ = | t| = 。3 223 22212222xtyt 点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。解：直线解：直线l的方程可写成的方程可写成 ，代入圆的方程整，

33、代入圆的方程整理得：理得：t2 + t4=0，设点，设点A，B对应的参数分别是对应的参数分别是t1 ，t2，则，则t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由，由t1 与与t2的符号相反的符号相反知知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = ，PA PB =| t1 t2 | = 4。212222xtyt 222121 2()43 2tttt例例5经过点经过点P(1，2)，倾斜角为，倾斜角为 的直线的直线 l与圆与圆 x2 +y2 = 9相交于相交于A，B两点，求两点，求PA +PB和和PA PB的值。的值。4点评：解决本题的关键一是正确写点评：解决本题的关键一是正确写出

34、直线的参数，二是注意两个点对出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。应的参数的符号的异同。解：由条件可设解：由条件可设AB的方程为的方程为 (t是参数是参数)，代入抛物线方程得代入抛物线方程得t2sin22ptcos p2 = 0，由韦达定理：由韦达定理： ， AB = |t1 t2| = cos2sinpxtyt12221222 cossinsinpttpt t 2224224cos42sinsinsinppp四、求直线与曲线相交弦的长四、求直线与曲线相交弦的长例例6已知抛物线已知抛物线y2 = 2px，过焦点，过焦点F作倾斜角为作倾斜角为的直线交抛物线于的直线交抛物线于A，B两点，求证：两点，求证：22sinpAB分析：弦长分析：弦长AB = |t1 t2|。 例例7已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在