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文档简介
1、例说圆锥曲线有关最值问题中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切,最值问题有两个特点:覆盖多个知识点(如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性,四边形面积,解二元二次方程组,基本不等式等)求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多(诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大,能力要求高。常见求法:1、回到定义例1、已知椭圆,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求:(1)求的最小值;(2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值。略解:(1)A为椭圆的右焦点。作PQ右准线于点Q,则由椭圆的第二定义,.问题转化为在椭圆上找一点
2、P,使其到点B和右准线的距离之和最小,很明显,点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点,最小值为。(2)由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左焦点,则|PA|=2a-|PC|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+(|PB| -|PC|)根据三角形中,两边之差小于第三边,当P运动到与B、C成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|PB| -|PC|BC|.当P到P"位置时,|PB| -|PC|=|BC|,|PA|+|PB|有最大值,最大值为10+|BC|=;当P到P"位置时,|PB| -|PC|=-|BC|,|PA|+|PB|有最小值,最小值为10-|BC|=。 回
3、到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。另外,(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线上求一点,使它到直线y=4x-5的距离最短。解:设抛物线上的点,点到直线4x-y-5=0的距离当时,故所求点为。例3、已知一曲线,()设点A的坐标为,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离 |PA|;()设点A的坐标为(a,0)aR,求曲线上点到点A距离最小值d,并写出d=f(a)的函数表达式。解:(1)设M(x,y)是曲线上任意一点,则 x0 所求P点的坐标是
4、(0,0),相应的距离是(2)设M(x,y)是曲线上任意一点,同理有 综上所述,有3、运用函数的性质例4、在ABC中,的对边分别为a,b,c,且c=10, ,P为ABC内切圆上动点,求点P到顶点A,B,C的距离的平方和最大值与最小值。解:由ABC为Rt由C=10,且知a=6 b=8设ABC内切圆半径为r,如图建立直角坐标系,则RtABC的内切圆M的方程为:设圆M上动点P(x,y)(),则P点到顶点A,B,C的距离的平方和为88-4x点P在内切圆M上,于是例5、直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线L过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求L在y轴上的截距b的取值范
5、围。略解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),将y=kx+1代入x2-y2=1得(1-k2)x2-2kx-2=0,由题意,>0且x1+x2<0,x1x2>0,解之得,且M,又由P(-2,0),M,Q(0,b)共线,得,即下面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在上是减函数,可得。例6、已知P是椭圆在第一象限内的点,A(2,0),B(0,1),O为原点,求四边形OAPB的面积的最大值。略解:设P(2cos,sin),(0<</2),点P到直线AB:x+2y=2的距离所求面积的最大值为 本例利用三角函数的有界性。反过来,有些代数最值问题可以转化为解
6、析几何问题,利用几何直观来解决,如参考练习中的5。4、判别式法例7、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标。解:设点、的坐标分别为,那么,由题意,得 ,又AB的中点M(x,y)到y轴的距离为,将 代入 整理得,为实数,故又x>0得,当时,由解得,可得,由 ,可得,由即得相应的,。故AB的中点M距y轴最短距离为,且相应的中点坐标为或。法二: 由得 得代入得当且仅当时等式成立。说明:此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式例8、已知椭圆,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任一点。求:(1)|PF1|PF2|的最大值;(
7、2)|PF1|2+|PF2|2的最小值。略解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a=4,|PF1|PF2|=mn=4.|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|42-2×4=8参考练习:1、 过椭圆E:(a>b>0)上的动点P向圆O:x2+y2=b2引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,直线AB与x轴、y轴分别交于M,N两点。求MON的面积的最小值。()2、 设椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,离心率为,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。(,所求点为)3、P为椭圆上的一个动点,它与长轴端点不重合,点F1和F2分别是双曲线的左右焦点,=F1PF2,(1)求tg 的表达式;(用a及描述P位置的一个变量来表示)(2)当a固定时求的最小值0;(3)当a在区间上变化时,求0的取值范围。(,)4、已知抛物线的方程为,点A、B及P(2,4)均在抛
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