二次函数(三)—最值应用

1、二次函数复习（三）最值问题一、 知识回顾1.二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）即当时，函数有最小值，并且当，；当时，函数有最大值，并且当，二、 典例剖析考点1 二次函数求最值例1 抛物线y=x6x21的最小值是（ ）A.6 B. 6 C. 21 D.21【变式训练】抛物线y=x4ax的最大值是（ ）A. B. C. D. 例2 二次函数y=x2+(2k+1)x+k21的最小值是0，则k的值是（）A. B. C.D. 【变式训练】二次函数的对称轴和x轴相交于点，则m= ，c= .考点2 利润的最值问题利润=售价-进价，总利润=销

2、售量单价利润例3【基础模型】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【变式训练】（2008武汉）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？注意：最值要考虑实际问题的整数解问题

3、x（元）152030y（件）252010例4 【图表型】 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价(元)与产品的日销售量(件)之间的关系如下表， 若日销售量是销售价的一次函数 求出日销售量(件)与销售价(元)的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【变式训练】市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)(）存在如下图所示的一次函数关系式 试求出与的函数关系式； 设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得

4、最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)例5 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天量，按整天计算）。设销售单价为X元，日均获得为Y元。（1） Y关于X的二次函数关系式，并注明X的取值范围；（2） 将（1）中求出的二次函

5、数配方成y= 的形式，写出顶点坐标；并画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？（3） 若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多，多多少 ？ 【变式训练】某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。（1）.求Y与X之间的函数关系式；（2）.在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；（3）

6、.在所示的坐标系中，画出（2）中求出的函数图象草图，观察图象，指出销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？考点3 面积的最值问题例6【基本型】如图，有长为24m篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为m，面积为S平方米。（1）求S与的函数关系式；（2）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能请说明理由。【变式训练】如图要建一个长方形养鸡场，鸡场一边靠墙，如果用50m的篱笆围成一道篱笆隔墙的鸡场，设它的宽为xm（1） 欲使鸡场面积最

7、大，鸡场的长度应为多长？（2） 若中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，求鸡场的长？（3） 比较（1）（2）的结果，你能得到什么结论？例7. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由注意：顶点不是最值时，必须使用函数的增减性来判断【变式训练】一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，

8、求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由例8. 在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cms的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cms的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动（1）运动第t秒时，PBQ的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围（3）t为何值时s最小，最

9、小值时多少？【变式训练】已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 【随堂测试】1. 已知二次函数（）与一次函数的图象相交于点A（2，4），B（8，2）（如图所示），则能使成立的的取值范围是2. 一张边长为30的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当取下面哪个数值时,长方体的体积最大（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 43、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的

10、小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米4.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量Y（件）与销售单价X（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图）。（1） 根据图象，求出一次函数的解析式；（2） 设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价成本总价）为S元。 试用销售单价X表示毛利润S； 请结合S与X的函数图象说明：销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时销售量是多少？5.（2002湖南长沙）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中

11、发现此商品的日销售单价X元与销售量Y件之间有如下关系：X35911Y181462（1）在所给的直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（X,Y）对应点；猜测并确定日销售量Y（件）与日销售单价X元之间的函数关系式，并画出图象。（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其它因素）为P元，根据日销售规律：试求日销售利润P（元）与销售单价X（元）之间的数关系式，并求出日销售单价X为多少时，才能获得最大日销售利润，试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出，若无，说明理由；(3)在坐标系内画出日销售利润P元与日销售单价X元之间的函数据关系图象的简图，观察图象，写出X与P的取值范围。【课后过关】1.若一次

12、函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值2.如图，记抛物线的图象与正半轴的交点为，将线段分成等份设分点分别为，过每个分点作轴的垂线，分别与抛物线交于点，再记直角三角形，的面积分别为，这样就有，；记，当越来越大时，你猜想最接近的常数是（ ）ABCDx321012345y125034305123二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是（ ） Ax0或x2 B0x2 Cx1或x3 D1x34一个函数的图象如图，给出以下结论：当时，函数值最大；当时，函数随的增大而减小；存在

13、，当时，函数值为0其中正确的结论是（ ）ABCD 5. 如图所示，在一个直角MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为( D )Am B6 m C15 m Dm6.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况， 销售单价定为 元时，获得的利润最多. 7兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，

14、5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米 8.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图11所示，则需要塑料布（m2）与半径（m）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分） 9.从地面垂直向上抛出一小球，小球的高 度（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 10、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题:（1）当销售单价定为每千克55元时，计

15、算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X的函数关系式（不必写出X的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？11、某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二产供销函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s 与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：（1） 由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系式；（2） 求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元；（3） 求第8个月公司所获利润是多少万元？12.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？.13.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板