函数最值-从配方法到求导法

1、函数最值 从配方法到求导法前言 函数最值 追根到初三一位初三老师，在总结函数性质时说:“我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数和二次函数，其中，二次函数很特殊，二次函数有最值，而其他3个函数没有最值，大家清楚吧！”“清楚！”回声虽然响亮，但还有几个学生没有应声.一个学生问：“反比例函数也有最值吧？”另一个学生问：“一次函数为什么没有最值呢？”老师回答：“这四个函数，只有二次函数有最值，其他3个函数没有最值，至于为什么，那要到高中数学中去学习！”这位初三老师有点偷懒，其实他是完全可以讲清楚这个问题的既然他没有讲，那么我们的高中学生，包括高三的学生，还真的得从这个问题研究起一、二次函数最值寻根初

2、中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的.设a>0，f(x)=ax2+bx+c=初三学生已知，二次函数f(x)，在a>0时，有最小值；a<0时，有最大值.到了高中，学生更关心二次函数得到最值的条件，即上述不等式中等号成立的条件：.这个条件自变量x的取值，称作二次函数最值对应的“最值点”（以下简称“最点”），俗称函数“最值的根”.对于高一学生，老师把二次函数的“最值”与二次函数的“单调区间”相捆绑，要求用比较法探索“最点”.【例1】 已知a>0，探索二次函数y = ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.【解答】 任取 x1<x2，x1，x2R.则有 y1

3、y2 = f (x1) f (x2) = ()（1）当x1，x2-时，有由式()得 y1 y2 =a函数f (x)在上为减函数.（2）当x1，x2-时，有由式（）得 y1 y2 =a即函数f (x)在上为增函数.综合（1）、（2）可知，二次函数y =ax2+bx+c ( a>0 ) 有减区间和增区间.显然，二次函数的最值点为，函数有最小值.【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点.【练1】 试研究一次函数没有最点，从而没有最值.【解】 任取，则有（1）时，函数在R上为增函数.时，;时，.（2）时，函数在R上为减函数.时，;时，.所以，一次函数在R上没有最点，

4、从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）.【说明】 一次函数定义在R上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”.二、从到高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一次函数.精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即.函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题.导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点.问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了

5、.【例2】 设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）.试说明的正负性与单调性的对应关系.【解析】 与相交于.（1）时，,递减；（2）时，,递增；（3）时，,得到最小值.故对应关系为：（1）负区与的减区对应； （2）正区与的增区对应； （3）零点与的最值对应.【练2】 已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有（1）=（ ），增区间为（ ），减区间为（ ）；（2）的最（ ）值为（ ）；（3）若，求的解析式.【解答】 从右图上看到（1）的根为，故有=1；（2）时，>0，故的增区间为； 时，<0，故的减区间为；（3）有最大值，最大值为.（4）令，图上知；令，得.故有.【说明】 注意与

6、并非一一对应，每一个这样的都对应着一个确定的，反过来，每一个这样的却对应着无穷个，它们只是相差一个常数c.这就是本题中，为什么已经知道了的图象后，还要给出时才能确定的解析式.三、三次函数的驻点、极点和最点一次函数没有驻点，自然没有最点.二次函数有一个驻点，这个驻点就是二次函数的最点.三次函数呢？三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种：（1）有2个相异的根，（2）有2个相同的根；（3）无根.如果三次函数的导函数无根，则无驻点，自然也无最点，也无最值.如果有根呢？自然一定有驻点.那么，这些驻点是否为其最点呢？【例3】 研究函数的驻点、极点和最点.【解析】 令，得，为的2个驻点.（1

7、）时，>0，函数递增；（2）时，<0，函数递减；（3）时，>0，函数递增.故在有极大值，在上有极小值.故，是的2个极点，前者为极大点，后者为极小点.又时，故函数既无最大值，也无最小值.从而无最点.【说明】 这是三次函数有2个驻点，且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3）.【练3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.（1） （2）【解析】 （1）,函数无驻点，无极点，无最点. 是上的增函数.（2）,有2个重合的驻点.（1）当时，函数递增，（2）当时，函数也递增.因此，驻点不能分出两个“相异”的单调区间，故不是的极点，无极点，当然也无最点

8、.是R上的增函数.【说明】 函数相重合的两驻点不成为极点，可理解为它们消去了“中间”的一个“相异”的单调区间后，将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为一个单调区间.经过以上的讨论得知，定义在R上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的.四、极点何时为最点不重合的2个驻点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？我们研究，极点何时成为最点.【例4】 已知的导函数，试探究的极点和最点.【解析】 .有3个相异的根：它们都是的极点.易知原函数 （R）易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间.的4个单调区间依次成“减

9、增减增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得在“两次探底”中得到最（小）点.比较三个极值的大小：得的最小值为，对应两个最小点和1.【说明】 定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点：x1<x2<<xn.当n为奇数时，有最点存在.最点在依次为奇数的极点中产生，通过奇数位上的极值比大小可得.当n为偶数时，函数无最点.【练4】 求函数的最值.【解析】 函数是定义在一个开区间上的可导函数,令得的唯一驻点即为最点.时，函数递增,时，函数递减,故有最大值.【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.,等号成立条件是.五、最值寻根的导数判定若定义在一个开区间

10、上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：（1）若导函数无根，即，则无最值；（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.【例5】 在以下四个函数中，有最值存在的函数是A. B. C. D.【解析】 对于A，定义区间虽有两个，但都有，无最值；对于B，函数有重合的两驻点，无最值；对于C，无最值；对于D，.当时，令，得，有最值=1.本题答案为D.【练5】 判断以下函数，是否有最值，如果有，求出最值.（1） （2）【解析】 （1），无最值.（2）.当时，由，得.有最值

11、，.当时，是增函数.当时，是减函数.故是的最大值.六、最根与高考题导数应用于高考，一般都在研究函数的单调性和函数最值问题，对可导函数来讲，这两个问题互相捆绑着，于是导数问题的“根本”则变成“最根”问题.【例6】 已知可导函数在R上恒有，且不为常数，试研究的单调区间和函数最值.【解析】 由可知时，函数为减函数;时，函数为增函数;由此可知，是的唯一的根，故为最根.故有减区间，增区间，有最大值.【说明】 本题是在研究“抽象函数”无具体解析式的一类函数的性质，只在满足性质条件下，通过“最根”的判定而确定了的单调区间和最值.有些不等式的证明，还可以通过构造函数，研究这个函数的“最值”而确认不等式是否成立.【练6】 已知函数，.（1）求函数的最大值；（2）设，证明：.【解析】 （1），故有唯一的最根，故的最大值为.（2），.设，则.当时，因此在内为减函数.当时，因此在上为增函数.从而，当时，有最小值，因为，所以，即.【说明】 问题（2）的解决，是用“最根”证明不等式.七、余兴 荒唐错误