从记数法到复数域：数系理论的历史发展

1、从记数法到复数域：数系理论的历史开展引言数 ,是数学中的根本概念 ,也是人类文明的重要组成局部。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用 ,以及数系理论的完善程度 ,反映了当时数学开展的水平。今天 ,我们所应用的数系 ,已经构造的如此完备和缜密 ,以致于在科学技术和社会生活的一切领域中 ,它都成为根本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时 ,是否想到在数系形成和开展的历史过程中 ,人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？一、记数法、位置制和零人类在进化的蒙昧时期 ,就具有了一种“识数的才能 ,心理学家称这种才能为“数觉perception

2、ofnumber。动物行为学家那么认为 ,这种“数觉并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们创造了种种记数方法。?周易·系辞下?记载“上古结绳而治 ,后世圣人 ,易之以书契。东汉郑玄称：“事大 ,大结其绳；事小 ,小结其绳。结之多少 ,随物众寡。以结绳和书契记数的方法实际上普及世界各地 ,如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。直到1826年 ,英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步 ,数的语言也在不断开展和完善。数系开展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。所谓位置制记数法 ,就是运用少量的符号 ,通过它们不同个数的排列 ,

3、以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是 ,在自然环境和社会条件影响下 ,不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。最早开展的一类数系应该是简单分群数系simplegroupingsystem ,如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的 ,但却不是位置的。在公元前3000到2019年之间 ,巴比伦人开展了60进位的定位数系positionalnumeralsystem ,它采用了位置制 ,却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法那么是10进位位置制记数法。法国著名

4、数学家拉普拉斯Laplace,17491827曾经写道：用十个记号来表示一切的数 ,每个记号不但有绝对的值 ,而且有位置的值 ,这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想 ,它今天看来如此简单 ,以致我们无视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便 ,才使我们的算术在一切有用的创造中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时 ,我们更感到这成就的伟大了。拉普拉斯的这段评论十分精彩 ,只可惜他张冠李戴 ,把这项创造归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明 ,10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学

5、史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的印度数字的背后 ,位置制已在中国存在了两千年。不过 ,10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改良相联系的。研究说明 ,10进位位置制记数之产生于中国 ,是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。“0作为记数法中的空位 ,在位置制记数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法 ,都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零 ,后来记成点号“· ,最后开展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初 ,意大利的商人斐波那契LeonadoFibonacci,117

6、5-1250编著?算经?LiberAbacci,1202 ,把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后 ,在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。二、大数记法古代希腊人曾经提出一个问题：他们认为世界上的沙子是无穷的 ,即使不是无穷 ,也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德Archimedes,BC287-212的答复是：不。在?数沙术?中 ,阿基米德以万myriad为根底 ,建立新的记数法 ,使得任何大的数都能表示出来。他的做法是：从1起到1亿原文是万万 ,myriadmyriads,这里按照中文的习惯改称为亿叫做第1级数；以亿108

7、为第2级数的单位 ,从亿到亿亿1082叫做第2级数；在以亿亿为单位 ,直到亿亿亿1083叫做第3级数。直到第1亿级数的最后一数亿亿。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是1051,即使扩充到“恒星宇宙 ,即以太阳到恒星的距离为半径的天球 ,也不过只能容纳1063个沙粒！同样的问题也出现在中国古代。汉代以前 ,数皆10进 ,以10万位亿。韦昭解?国语·郑语?第十六：“计亿事 ,材兆物 ,收经入 ,行垓极。注称“计 ,算也；材 ,裁也。贾唐说皆以万万为亿 ,郑后司农云：十万曰亿 ,十亿曰兆 ,从古数也。?数术记遗?中那么详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。?数术记遗?称：黄帝为法

8、 ,数有十等 ,及其用也 ,乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者 ,谓上、中、下也。其下数者。十十变之 ,假设言十万曰亿 ,十亿曰兆 ,十兆曰京也。中数者 ,万万变之 ,假设言万万曰亿、万万亿曰兆 ,万万兆曰京。上数者 ,数穷那么变 ,假设言万万曰亿 ,亿亿曰兆 ,兆兆曰京也。从亿至载 ,终于大衍。?数术记遗?中的“大数之法的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法 ,更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的开展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初 ,对一些较大的数 ,人们还可以理解它 ,还能够利用已有的记数单位去表示它。但是

9、 ,随着人们认识的开展 ,这些大数也在迅速的扩张 ,原有的记数单位难以为用。人们不禁要问：数有穷乎？这是数系开展中的需要答复的重大命题。?数术记遗?中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话 ,精彩的说明了“数穷那么变的深刻道理：徐岳问曰：数有穷乎？会稽刘洪答曰：吾曾游天目山中 ,见有隐者 ,世莫知其名 ,号曰天目先生 ,余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两 ,乃云捐闷与四维。数不识三 ,妄谈知十。不辨积微之为量 ,讵晓百亿于大千？黄帝为法 ,数有十等。从亿至载 ,终于大衍。会稽问曰：先生之言 ,上数者数穷那么变 ,既云终于大衍 ,大衍有限 ,此何得无穷？先生答曰：数之为用 ,言重那么变 ,以小兼大

10、 ,又加循环。循环之理 ,且有穷乎！天目先生的做法是借助“以小兼大的“循环之理 ,以有限来认识无限 ,而指引这一途径的重要思想是“言重那么变。即便是今日 ,“数穷那么变这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。三、有理数系位置制记数法的出现 ,标志着人类掌握的数的语言 ,已从少量的文字个体 ,开展到了一个具有完善运算规那么的数系。人类第一个认识的数系 ,就是常说的“自然数系。但是 ,随着人类认识的开展 ,自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先 ,自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系2 ,因此 ,作为量的表征 ,它只能限于去表示一个单位量的整数倍 ,而无法表示它的局部。同时 ,作为运算的

11、手段 ,在自然数系中只能施行加法和乘法 ,而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷 ,由于分数和负数的出现而得以弥补。有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的 ,埃及采用的是单分数(unitfraction) ,阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂 ,所以欧洲分数理论长期停滞不前 ,直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越奉献。原始的分数概念来源于对量的分割。如?说文·八部?对“分的解释：“分 ,别也。从八从刀 ,刀以分别物也。但是 ,?九章算术?中的分数是从

12、除法运算引入的。其“合分术有云：“实如法而一。不满法者 ,以法命之。这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽 ,便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在?九章算术注?中所言：众分错杂 ,非细不会。乘而散之 ,所以通之。通之那么可并也。凡母互乘子谓之齐 ,群母相乘谓之同。同者 ,相与通同共一母也。齐者 ,子与母齐 ,势不可失本数也。有了齐同术 ,就可将分数化异类为同类 ,变相违为相通。刘徽深得其中奥秘 ,称：“然那么齐同之术要矣。错综度数 ,动之斯谐 ,其犹佩觹解结 ,无往而不理焉。乘以散之 ,约以聚之 ,齐同以通之 ,此其算之纲纪乎

13、。容易证明 ,分数系是一个稠密的数系 ,它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻 ,负数的出现就是必然的了。盈余与缺乏、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例 ,教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实说明：负数之所以最早为中算家所引进 ,这是由中国古代传统数学中 ,算法高度兴旺和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在?九章算术?“方程章 ,因为对“方程进行两行之间的加减消元时 ,就必须引入负数和建立正负数的运算法那么。刘徽的注释深刻的说明了这点：今两算得失相反 ,

14、要令正负以名之。正算赤 ,负算黑 ,否那么以斜正为异。方程自有赤黑相取 ,左右数相推求之术。而其并减之势不得广通 ,故使赤黑相消夺之。故赤黑相杂足以定上下之程 ,减益虽殊足以通左右之数 ,差实虽分足以应同异之率。然那么其正无入负之 ,负无入正之 ,其率不妄也。负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲 ,但16世纪和17世纪的大多数数学家并不成认它们是数 ,或者即使成认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯NicolasChuquet ,1445-1500和斯蒂费尔Stifel,1486-1567都把负数说成是荒唐的数 ,是“无稽之零下。卡丹(Cardan,1501-1576)把负数作为方程的根 ,但认

15、为它们是不可能的解 ,仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达(Vieta,1540-1630)完全不要负数 ,巴斯卡Pascal,1623-1662那么认为从0减去4纯粹是胡说。负数是人类第一次越过正数域的范围 ,前此种种的经验 ,在负数面前全然无用。在数系开展的历史进程中 ,现实经验有时不仅无用 ,反而会成为一种阻碍。我们将会看到 ,负数并不是惟一的例子。四、实数理论的完善无理数的发现 ,击碎了Pythagoras学派“万物皆数的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密 ,但是它却漏出了许多“孔隙 ,而且这种“孔隙多的“不可胜数。这样 ,古希腊人把有理数视为是连续衔

16、接的那种算术连续统的设想 ,就彻底的破灭了。它的破灭 ,在以后两千多年时间内 ,对数学的开展 ,起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释 ,而被认为是不可理喻的数。15世纪达芬奇LeonardodaVinci,1452-1519把它们称为是“无理的数irrationalnumber ,开普勒J.Kepler,1571-1630称它们是“不可名状的数。这些“无理而又“不可名状的数 ,找到虽然在后来的运算中渐渐被使用 ,但是它们究竟是不是实实在在的数 ,却一直是个困扰人的问题。中国古代数学在处理开方问题时 ,也不可防止地碰到无理根数。对于

17、这种“开之不尽的数 ,?九章算术?直截了当地“以面命之予以接受 ,刘徽注释中的“求其微数 ,实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路 ,只是刘徽的思想远远超越了他的时代 ,而未能引起后人的重视。不过 ,中国传统数学关注的是数量的计算 ,对数的本质并没有太大的兴趣。李而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它 ,那就只好回避它。此后的希腊数学家 ,如欧多克斯Eudoxus、欧几里得Euclid在他们的几何学里 ,都严格防止把数与几何量等同起来。欧多克斯的比例论见?几何原本?第5卷 ,使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍 ,但就在这以后的漫长时期中 ,形

18、成了几何与算术的显著别离。17、18世纪微积分的开展几乎吸引了所有数学家的注意力 ,恰恰是人们对微积分根底的关注 ,使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为 ,微积分是建立在极限运算根底上的变量数学 ,而极限运算 ,需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。无理数是什么？法国数学家柯西A.Cauchy,1789-1875给出了答复：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义 ,所谓有理数序列的极限 ,意即预先存在一个确定的数 ,使它与序列中各数的差值 ,当序列趋于无穷时 ,可以任意小。但是 ,这个预先存在的“数 ,又从何而来呢？在柯西看来 ,有理序列的极限 ,似乎是先验地存在的。

19、这说明 ,柯西尽管是那个时代大分析学家 ,但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论根底的传统观念的影响。变量数学独立建造完备数域的历史任务 ,终于在19世纪后半叶 ,由维尔斯特拉斯Weierstrass,1815-1897、戴德金R.Dedekind1831-1916、康托G.Cantor,1845-1918等人加以完成了。1872年 ,是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年 ,克莱因F.Kline,1849-1925提出了著名的“埃尔朗根纲领ErlangerProgramm ,维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年 ,实数的三大派理论：戴德金“分割理论；康托的“根

20、本序列理论 ,以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列理论 ,同时在德国出现了。努力建立实数的目的 ,是为了给出一个形式化的逻辑定义 ,它既不依赖几何的含义 ,又防止用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做根底 ,微积分中关于极限的根本定理的推导 ,才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来 ,免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充清楚白和精确的 ,这在微积分开展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此 ,必要的严格性只有通过数的概念 ,并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全到达。这里 ,戴德金的工作受到了崇高的评价 ,这是因为 ,由“戴德金分割定义的实数 ,

21、是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义 ,从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功 ,使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平 ,无理数不再是“无理的数了 ,古希腊人的算术连续统的设想 ,也终于在严格的科学意义下得以实现。五、复数的扩张复数概念的进化是数学史中最奇特的一章 ,那就是数系的历史开展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑根底建立之后 ,才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中 ,往往许多中间地带尚未得到完全认识 ,而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。1545年 ,此时的欧洲人尚

22、未完全理解负数、无理数 ,然而他们智力又面临一个新的“怪物的挑战。例如卡丹在所著?重要的艺术?1545中提出一个问题：把10分成两局部 ,使其乘积为40。这需要解方程x(10-x)=40 ,他求得的根是和 ,然后说“不管会受到多大的良心责备 ,把和相乘 ,得到2515=40。于是他说 ,“算术就是这样神妙地搞下去 ,它的目标 ,正如常言所说 ,是有精致又不中用的。笛卡尔Descartes,1596-1650也抛弃复根 ,并造出了“虚数imaginarynumber这个名称。对复数的模糊认识 ,莱布尼兹Leibniz,1646-1716的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示 ,这

23、就是那个理想世界的端兆 ,那个介于存在与不存在之间的两栖物 ,那个我们称之为虚的1的平方根。直到18世纪 ,数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为 ,不管什么地方 ,在数学的推理中间步骤中用了复数 ,结果都被证明是正确的。特别是1799年 ,高斯Gauss,1777-1855关于“代数根本定理的证明必须依赖对复数的成认 ,从而使复数的地位得到了近一步的稳固。当然 ,这并不是说人们对“复数的顾虑完全消除了。甚至在1831年 ,棣莫甘DeMorgan,1806-1871在他的著作?论数学的研究和困难?中依然认为：已经证明了记号是没有意义的 ,或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而 ,通过这些记号

24、,代数中极其有用的一局部便建立起来的 ,它依赖于一件必须用经验来检验的事实 ,即代数的一般规那么可以应用于这些式子复数。我们知道 ,18世纪是数学史上的“英雄世纪 ,人们的热情是如何发挥微积分的威力 ,去扩大数学的领地 ,没有人会对实数系和复数系的逻辑根底而操心。既然复数至少在运算法那么上还是直观可靠的 ,那又何必去自找麻烦呢？1797年 ,挪威的韦塞尔C.Wessel,1745-1818写了一篇论文“关于方向的分析表示 ,试图利用向量来表示复数 ,遗憾的是这篇文章的重大价值直到1897年译成法文后 ,才被人们重视。瑞士人阿甘达J.Argand,1768-1822给出复数的一个稍微不同的几何解

25、释。他注意到负数是正数的一个扩张 ,它是将方向和大小结合起来得出的 ,他的思路是：能否利用新增添某种新的概念来扩张实数系？在使人们接受复数方面 ,高斯的工作更为有效。他不仅将a+bi表示为复平面上的一点(a,b) ,而且阐述了复数的几何加法和乘法。他还说 ,如果1,1和原来不称为正、负和虚单位 ,而称为直、反和侧单位 ,那么人们对这些数就可能不会产生种种阴暗神秘的印象。他说几何表示可以使人们对虚数真正有一个新的看法 ,他引进术语“复数complexnumber以与虚数相对立 ,并用i代替。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为

26、什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,使文章增色添辉。在澄清复数概念的工作中 ,爱尔兰数学家哈米尔顿Hamilton,18051865是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑 ,并不满足于几何直观。他指出：复数a+bi不是23意义上的一个真正的和 ,加号的使用是历史的偶然 ,而bi不能加到a上去。复数a+bi只不过是实数的有序数对a ,b ,并给出了有序数对的四那么运算 ,同时 ,这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下 ,不仅复数被逻辑地建立在实数的根底上 ,而且至今还有点神秘的也完全消除了。家庭是幼儿语言活动的重要环境 ,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作 ,孩子一入园就召开家长会 ,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长 ,要求孩子回家向家长朗