2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.4正态分布作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE其次章2.4【基础练习】1.(多选)下列关于正态曲线特点的叙述中正确的是()A.曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方B.曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数C.曲线在x＝μ到处于最高点，由这一点向左右两边延长时，曲线渐渐降低D.曲线的对称位置由μ确定，曲线的形态由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”【答案】ACD2．设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则()A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2【答案】A3．设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝()A．0.3 B.0.4C.0.6 D．0.7【答案】D4．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(x－102,8)，则这个正态总体平均数与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10【答案】BN(10,0.12),现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，则X的数学期望约为()注：若Z~N(μ,σ2)，则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.A.171 B.239 C.341 D.477【答案】B6.(2024年唐山模拟)已知随机变量X听从正态分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，则P(1＜X＜3)＝.【答案】0.37.(2024年湖南模拟)某市高三年级26000名学生参与了2024年3月模拟考试，已知数学考试成果X~N(100,σ2).统计结果显示数学考试成果X在80分到120分之间的人数约为总人数的eq\f(3,4)，则数学成果不低于120分的学生人数约为__________．【答案】3250【解析】因为成果X~N(100,σ2)，所以正态分布曲线关于X=100对称，又成果在80分到120分之间的人数约占总人数的eq\f(3,4)，所以成果不低于120分的学生人数占总人数的eq\f(1,2)×(1-eq\f(3,4))=eq\f(1,8)，所以此次考试成果不低于120分的学生约有eq\f(1,8)×26000=3250.8．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的运用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的运用寿命超过1000小时的概率．【解析】由题意知每个电子元件运用寿命超过1000小时的概率均为eq\f(1,2)，元件1或元件2正常工作的概率为1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∴该部件的运用寿命超过1000小时的概率为eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).【实力提升】9.(2024年鄂尔多斯期末)已知随机变量X～N(6,1)，且P(5<X<7)＝a，P(4<X<8)＝b，则P(4<X<7)＝A.eq\f(b－a,2)B.eq\f(b＋a,2)C.eq\f(1－b,2)D.eq\f(1－a,2)【答案】D【解析】由题意得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9545，而质量在[98,102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，结合对称性知，质量在[98,104]内的产品的概率为0.6827＋eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.8186，据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为10000×0.8186＝8186(件).10.(2024年鄂尔多斯期末)已知随机变量X~N(6,1)，且P(5<X<7)=a,P(4<X<8)=b，则P(4<X<7)=A.eq\f(b-a,2)

B.eq\f(b+a,2)

C.eq\f(1-b,2)

D.eq\f(1-a,2)【答案】B【解析】因为X~N(6,1)，则正态分布曲线关于x=6对称，所以P(4<X<5)=P(7<X<8)=eq\f(1,2)[P(4<X<8)-P(5<X<7)]=eq\f(b-a,2).所以P(4<X<7)=P(4<X<5)+P(5<X<7)=eq\f(b-a,2)+a=eq\f(b+a,2).故选B.11．(2024年泉州二模)若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(2π))e－eq\f(x＋22,8)(x∈R)，则E(2X－1)＝________.【答案】－5【解析】依题意，得σ＝2，μ＝－2，则E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.12.(2024年梧州期末)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图.(1)求这1000件产品质量指标的样本平均数eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z近似听从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x)),σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记这些产品的利润为Y元，求E(Y).附:eq\r(150)≈12.2，若Z~N(μ,σ2)，则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.95.【解析】(1)由题意得eq\o(\s\up10(_),\s\do0(x))=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，则s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150.(2)①由(1)可得μ=200,σ=eq\r(150)≈12.2，则Z~N(200,12.22),所以P(175.6<Z<224.4