2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课时素养评价含解析苏教版选修2-2

PAGE课时素养评价十三复数的几何意义(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2024·全国卷Ⅰ)设复数z满意|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1【解析】选C.z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,|z-i|=QUOTE=1,则x2+(y-1)2=1.2.如图所示,向量,所对应的复数分别为z1,z2,则z1·z2= ()A.4+2i B.2+iC.2+2i D.3+i【解析】选A.由题图可知,z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i.3.已知复数z=QUOTE-i5(i为虚数单位),则复数QUOTE= ()A.2-i B.-2-iC.2+i D.-2+i【解析】选C.z=QUOTE-i5=2-i,所以QUOTE=2+i.4.向量对应的复数z1=-3+2i,对应的复数z2=1-i,则|+|= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.5【解题指南】解答本题的关键是把复数运算转化为向量的运算.【解析】选C.因为向量对应的复数z1=-3+2i,对应的复数z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|=QUOTE.5.已知复数z满意|z|2-3|z|+2=0,则复数z对应点的轨迹是 ()A.一个圆 B.两个圆C.两点 D.线段【解析】选B.由|z|2-3|z|+2=0,得(|z|-1)·(|z|-2)=0,所以|z|=1或|z|=2.由复数模的几何意义知,z对应点的轨迹是两个圆.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若复数z满意z-1=cosθ+isinθ,则当θ=____________时|z|有最大值,最大值为____________.

【解析】因为z-1=cosθ+isinθ,所以z=(1+cosθ)+isinθ,所以|z|=QUOTE=QUOTE,当cosθ=1时,即θ=2kπ(k∈Z)时,|z|有最大值2.答案:2kπ(k∈Z)27.设复数z=(x-1)+(y-QUOTE)i(x,y∈R),若|z|≤2,则y≤QUOTEx的概率为____________.

【解析】复数z=(x-1)+(y-QUOTE)i(x,y∈R),由|z|≤2得(x-1)2+(y-QUOTE)2≤4,表示圆心在C(1,QUOTE),半径为2的圆及其内部,总区域的面积为4π,如图,求得y≤QUOTEx对应的弓形的面积为QUOTE-QUOTE,由几何概型的概率公式,得事务A=QUOTE发生的概率为P(A)=QUOTE=QUOTE-QUOTE.答案:QUOTE-QUOTE8.已知实数x,y,a满意a2+2a+2xy+(a+x-y)i=0,则点P(x,y)的轨迹方程为_______________.

【解析】由题意知,QUOTE消去a化简得(x-1)2+(y+1)2=2.答案:(x-1)2+(y+1)2=2三、解答题(每小题10分,共20分)9.求当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点分别满意下列条件:(1)位于第四象限.(2)位于x轴的负半轴上.【解析】(1)由题意,得QUOTE解得QUOTE即-7<m<3.故当-7<m<3时,复数z的对应点位于第四象限.(2)由题意知QUOTE由②得m=-7或m=4.因m=-7不符合不等式①,舍去,m=4符合.所以当m=4时,复数z位于x轴负半轴上.10.已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R).(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹方程;(2)若方程有实根,求方程的实根的取值范围.【解析】(1)设实根为m,则m2+(2+i)m+2xy+(x-y)i=0,即(m2+2m+2xy)+(m+x-y)i=0.依据复数相等的充要条件得QUOTE由②得m=y-x代入①得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.故点(x,y)的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(2)由(1)知点(x,y)的轨迹是一个圆,圆心为(1,-1),半径r=QUOTE,设方程的实根为m,则直线m+x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=2有公共点,所以QUOTE≤QUOTE,即|m+2|≤2,即-4≤m≤0.故方程的实根的取值范围为[-4,0].(20分钟·40分)1.(5分)已知复数z满意z·i=3-4i(i为虚数单位),则|z|= ()A.3 B.4 C.5 D.QUOTE【解析】选C.方法一:因为z·i=3-4i,所以z=QUOTE=QUOTE=-3i+4i2=-4-3i,所以|z|=QUOTE=5.方法二:z=QUOTE,所以|z|=QUOTE=QUOTE=5.2.(5分)(多选题)以下选项能满意复数z=QUOTE在复平面内对应的点在第四象限的是 ()A.m=-2 B.m=-QUOTE C.m=0 D.m=1【解析】选BC.因为z=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi在复平面内对应的点为QUOTE,且在第四象限,所以QUOTE解得-1<m<1.3.(5分)已知复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3+i,对应的复数为2-i,对应的复数为5+2i,则点C对应的复数为____________.

【解析】设C(x,y),=-=(5,2)-(2,-1)=(3,3),所以(x,y)-(3,1)=(3,3),所以x=6,y=4,所以点C对应的复数为6+4i.答案:6+4i【一题多解】=-,所以对应的复数为5+2i-(2-i)=3+3i,=+,且对应的复数即为A点对应的复数3+i.所以对应的复数为3+i+(3+3i)=6+4i.也即C点对应的复数为6+4i.答案:6+4i4.(5分)复数z=x+yi(x,y∈R)满意条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为____________.

【解析】由|z-4i|=|z+2|得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE=4QUOTE,当且仅当x=2y=QUOTE时,2x+4y取得最小值4QUOTE.答案:4QUOTE5.(10分)已知a∈R,z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限?复数z对应的点的轨迹是什么?【解析】由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,所以复数z的实部为正数,复数z的虚部为负数,因此,复数z的对应点在第四象限.设z=x+yi(x,y∈R),则QUOTE消去a2-2a得:y=-x+2(x≥3).所以复数z的对应点的轨迹是一条射线,方程为y=-x+2(x≥3).6.(10分)设复数z1,z2满意QUOTE=QU