A级 直线与圆锥曲线综合题新

1、A级 直线与圆锥曲线综合训练1、椭圆C： 的两个焦点为, 点P在椭圆C上，且，（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆 的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.1、解 （1）因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtP中，故椭圆的半焦距 ， 从而所以椭圆C的方程为（2）设点A,B的坐标分别为已知圆的方程为所以圆心M的坐标为（-2，1），从而可设直线l的方程为：y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得：因为A，B关于点M对称，所以所以直线l的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意） 2、若分别是椭圆 （ab0） 的左、右焦点，

2、P是该椭圆上的一个动点，且 , . (O为坐标原点) （1）求出这个椭圆的方程； （2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使 ？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由.2、解 （1）依题意，得2a=4，2c=2 ,所以a=2, ,b=1，椭圆的方程为（2）显然当直线的斜率不存在，即x=0时，不满足条件.设l的方程为y=kx+2,由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，设由 消去y并整理，得，由韦达定理 , =0， = 由可知k=±2, 所以，存在斜率k=±2的直线l符合题意.3、如图所示,设抛物线方程为 (p0),M为直线y= - 2p上

3、任意一点,过M引抛物线的切线, 切点分别为A,B. (1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列; (2)已知当M点的坐标为 (2,-2p) 时,|AB|= . 求此时抛物线的方程.3、证明 由题意设 由 ,则 ,所以 因此,直线MA的方程为直线MB的方程为所以, 由、得 因此，所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. （2）解 由（1）知，当 时，将其代入、，并整理得：所以， 是方程 的两根， 因此， ，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为4、如图,过点F（1,0）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点.（1）若|AB|=8，求直线AB的方程；（2）记抛物线C的准线为l， 设直线OA

4、、OB分别交l于点N、M，求 4、解 （1）设， |AB|=8,即 |AB|2p,直线l的斜率存在，设其方程为y=k(x-1).由方程组消去y,得 即 得k=±1.直线AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0.（2）当直线l的斜率不存在时， 当直线l的斜率存在时，由（1）知，设, ,B,O，M三点共线， 同理可得 综上， 5、已知椭圆y21的左焦点为F,O为坐标原点 (1)求过点O、F,且与直线l: x=2相切的圆的方程； (2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围5解：(1)a22，b21，c1，F(1,0)

5、，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M(，t)，则圆半径r|()(2)|，由|OM|r，得 ，解得t±，所求圆的方程为(x)2(y±)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1)(k0)代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有两个不等根记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，<xG<0，点G横坐标的取值范围为(，0)6、设椭圆ax2by21与直线xy10相交于A、

6、B两点，点C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程6解:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组的解由axby1，axby1，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，因为1，所以，即，所以ba. 再由方程组消去y得(ab)x22bxb10，由|AB|2.得(x1x2)24x1x24，得()24·4. 由、解得a，b，故所求的椭圆方程为1.7、已知椭圆1上的两个动点P，Q及定点M(1，)，F是椭圆的左焦点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称

7、点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标7:(1)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由已知得a2，b，c，e. 由椭圆的焦半径公式得|PF|2x1，|QF|2x2，|MF|2.2|MF|PF|QF|， 2(2)4(x1x2) x1x22. 当x1x2时，由，得·.设线段PQ的中点N(1，n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A(，0) 当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，|PB|2(x1)2y(x11)2， 当点P的坐

8、标为(0，±)时，|PB|min. 8、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx2的焦点,离心率等于.(1)求椭圆C的方程；求证：12为定值8解：设A、B、M点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，F点的坐标为(2,0)显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是yk(x2)将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得(15k2)x220k2x20k250.x1x2，x1x2.因为所以1，2，12109、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：ABC的周长为2+ .记动点C的轨

9、迹为曲线W.（1）求W的方程；（2）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（3）已知点M（，0），N（0，1），在（2）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.9、解（1）设C（x，y）,|AC|+|BC|+|AB|=2+,|AB|=2，|AC|+|BC|=>2动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点.a=，c=1.W的方程为+ =1(y0).（2）设直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程，整理得（+)+kx+1=0.因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=84（+ ）

10、=42>0,解得k<或k> .（3）设P（x1 y1，），Q（x2，y2），则 =（x1+ x2，y1+ y2），由得x1+ x2=, 又y1+y2=k(x1+ x2)+ , 因为M（，0），N（0，1），所以=（，1）.所以与共线等价于x1+x2=( y1+y2).将代入上式，解得k= .所以不存在常数k，使得向量与共线.10、设抛物线y22px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点10、证明因为抛物线y2=px (p>0)的焦点为F，由于直线AB不可能与x轴平行，所以经过点F的直线AB

11、的方程可设为x=my+代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1、y2是该方程的两个根，所以y1y2=p2.因为BCx轴，且点C在准线x=上，所以点C的坐标为。故直线CO的斜率为 ，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.11、双曲线C与椭圆 有相同的焦点，直线y= x为C的一条渐近线. （1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两 点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合). 当 时，求Q点的坐标.11、解 （1）设双曲线方程为由椭圆 求得两焦点为(-2，0),(2,0), 对于双曲线C：c=2.又 为双曲线

12、C的一条渐近线， ，解得，双曲线C的方程为（2）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程：y=kx+4, 则 ，即 (*)又 消去y得 当 时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不合题意，由根与系数的关系有代入（*）式得 ，k=±2，所求Q点的坐标为（±2,0）.12、已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3，0）,一条渐近线的方程是 x-2y=0.（1）求双曲线C的方程；（2）若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与 两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围.12、解（1）设双曲线C的方程为所以双曲线C的方程

13、为（2）设直线l的方程为y=kx+m (k0),则点 的坐标满足方程组 将式代入式，得 整理得此方程是两个不等实根，整理得 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足从而线段MN的垂直平分线的方程为此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为将上式代入式得 整理得 解得 或 .所以k的取值范围是1、椭圆C： 的两个焦点为, 点P在椭圆C上，且，（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过圆 的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.2、若分别是椭圆 （ab0） 的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且 , . （1）求出这个椭圆的方程； （2）是否存在过定点N（0，2

14、）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使 (其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由.3、如图所示,设抛物线方程为 (p0),M为直线y= - 2p上任意一点,过M引抛物线的切线, 切点分别为A,B. (1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列; (2)已知当M点的坐标为 (2,-2p) 时,|AB|= . 求此时抛物线的方程.4、如图,过点F（1,0）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点.（1）若|AB|=8，求直线AB的方程；（2）记抛物线C的准线为l，设直线OA、OB分别交l于点N、M，求 的值. 5、已知椭圆y21的左焦点为F,O为坐标原点 (1)求

15、过点O、F,且与直线l: x=2相切的圆的方程； (2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围6、设椭圆ax2by21与直线xy10相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程7、已知椭圆1上的两个动点P，Q及定点M(1，)，F是椭圆的左焦点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标8、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx2的焦点,离心率等于.(1)求椭圆C的方程；求证：12为定值9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：ABC的周长为2+ .记动点C的轨迹为曲线W.（1）求W的方程；（2）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同交点P和Q，求k取值范围（3）已知点M（，0），N（0，1），在（2）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.10、设抛物线y22px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC