2019北京高三一模数学第20题压轴汇编理科题与答案

1、2019北京高三一模数学第20题压轴汇编理科题与答案（2019年东城区高三一模理科）（20）（本小题14分）已知数组中的项为不大于的正整数. 表示中的个数. 令.（）若，数组，求（）已知对任意的正整数，存在中的项，使得. 求证： 的充分必要条件为（）对于数组，定义变换， 已知，令，求证：.（20）（共14分）解：（） .3分（）不妨设. 由于对任意的正整数，存在中的项，使得. 所以均不为零.必要性：若，由于，所以有；.通过解此方程组，可得成立.充分性：若成立，不妨设，可以得到. 所以有：；.所以成立. .9分（）设的所有不同取值为，且满足：. 不妨设，其中；. 又因为，所以有；所以递增. 从而

2、互不相同.；从而结论成立. . .14分（2019年西城区高三一模理科）20（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（）当时，试写出一个符合条件的完美数表；（）证明：不存在10行10列的完美数表；（）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.20（本小题满分13分）111解：（）答案不唯一. 如： 3分 （）假设存在10行10列的完美数表. 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论： （1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数

3、表； （2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. 5分 完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w列（如上表所示）， 则 由，得； 由，得； 由，得. 解方程组，得. 这与矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表. 8分 （）记第1列前l行中的数的和，第2列前l行中的数的和 ，第n列前l行中的数的和， 因为对于任意的和，都有，

4、所以. 9分 又因为对于任意（），都有， 所以. 11分 又因为， 所以，即. 13分（2019年海淀区高三一模理科）( 20)（本小题满分13分） 首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件： ； ()请直接写出的所有可能值； ()记，若对任意成立，求的通项公式； ()对于给定的正整数，求的最大值20.（共14分）解：（）的值可以取 （）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列，即数列的偶数项是单调递增数列根据条件，所以当对成立 下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数”假设数列中存在同时为非负数因为，若 则有，与条件矛盾若则有， 与条件矛盾 所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负

5、数 此时对成立，所以当时，即所以 ，所以即，其中 即，其中又，所以是以，公差为的等差数列，所以 （） 记由（）的证明知，不能都为非负数当，则，根据，得到，所以当，则根据，得到，所以 所以，总有成立 当为奇数时，故的奇偶性不同，则当为偶数时， 当为奇数时，考虑数列：， 可以验证，所给的数列满足条件，且 所以的最大值为 当为偶数时，考虑数列：，-， 可以验证，所给的数列满足条件，且 所以的最大值为 （2019年朝阳区高三一模理科）20（本小题满分13分）在无穷数列中，是给定的正整数，（）若，写出的值；（）证明：数列中存在值为的项；（）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为20 (本小题满分13分)解

6、：(I).3分(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，依次递推，有，则由数学归纳法易得当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项.8分(III)首先证明：数列中必有“1”项用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是 ，令，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾所以，数列中必有“1”项其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无

7、限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为113分（2019年丰台区高三一模理科）20（本小题13分）设且，集合.（）写出集合中的所有元素；（）设，Î，证明：“”的充要条件是“”；（）设集合，求中所有正数之和.20（共13分）解：（）因为，所以，所以中的元素有. （）先证充分性因为对于任意的，都有，所以再证必要性因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以假设存在，使得所以或若，不妨设，则，因为，所以，这与矛盾所以当时，必有所以 对于任意，都有综上所述， “”的充要条件是“” （）因为 ，所以 为

8、正数，当且仅当因为 对于任意的正整数，或，所以集合中，元素为正数的个数为，所以 所有的正数元素的和为. （2019年石景山区高三一模理科）20.（本小题13分）若项数为的单调递增数列满足：；对任意（，），存在（，）使得，则称数列具有性质.（）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由；（）若数列具有性质，且，（）证明数列的项数；（）求数列中所有项的和的最小值20（本题13分）解：（）因为 ，所以 不具有性质 ； 因为， ， ，所以 具有性质 （）（）因为是单调递增数列，又， 所以 即， 所以， ，所以， 又因为，所以 （）因为，；所以可以构造数列满足性质；或， 所以可以构造数列满足性质；上述两个数

9、列的和为，下面说明为数列中所有项的和的最小值若在数列中，要求数列中所有项的和的最小值，则， 若不在数列中，则 ，由（）知，则数列中所有项的和，所以要求数列中所有项的和的最小值，则同理要求数列中所有项的和的最小值，则，同理可得或；依此类推要求数列中所有项的和的最小值，其数列为或所以数列中所有项的和的最小值为（2019年怀柔区高三一模理科）20（本小题满分14分）设集合W由满足下列两个条件的数列构成： ；存在实数，使（ n为正整数）.（）在只有5项的有限数列、 中，其中=3，；，试判断数列、是否为集合W中的元素；（）设是等差数列，是其前n项和，证明数列；并写出的取值范围；（）设数列，且对满足条件的

10、常数M，存在正整数k，使求证：.20（本小题满分14分）解：()对于数列，当n=1时， =，显然不满足集合W的条件，故不是集合W中的元素。 对于数列，当nÎ1,2,3,4,5时，不仅有 ，而且有，显然满足集合W的条件，故是集合W中的元素。-5分 ()是等差数列，是其前n项和，设其公差为d， ，d=-2 , ，；， 的最大值是,即。 ，且M的取值范围是20,+)-10分 ()证明：，整理，；又，.-14分（2019年延庆区高三一模理科）20.（本小题满分13分）已知集合对于，定义与之间的距离为（），写出所有的；（）任取固定的元素，计算集合中元素个数；（）设，中有个元素，记中所有不同元素间的距离的最