微分方程在经济学中的应用

1、微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中的应用, )(,txt 时刻的销量为时刻的销量为市场市场设有某种新产品要推向设有某种新产品要推向)449()(dd xNkxtx,N定定的的市市场场容容量量考考虑虑到到产产品品销销售售存存在在一一,同时同时一、新产品的推广模型,品品每每个个产产品品都都是是一一个个宣宣传传由由于于产产品品性性能能良良好好因此因此,)(dd成成正正比比与与时时刻刻产产品品销销售售的的增增长长率率txtxt,统计表明统计表明,)(dd也成正比也成正比客潜在的销售量客潜在的销售量与尚未购买该产品的顾与尚未购买该产品的顾txNtx .0为为比比例例系系数数其其中中常常数数 k分

2、离变量，积分，可以解得分离变量，积分，可以解得）（459e1)( kNtCNtx也称为逻辑斯蒂曲线也称为逻辑斯蒂曲线.由由22)e1(eddkNtkNtCkCNtx 以及以及33222)e1()1e(eddkNtkNtkNtCCNCktx 方程方程 也称为逻辑斯蒂模型，也称为逻辑斯蒂模型，)449( 通解表达式通解表达式)459( ,*)(0时时当当Ntx ,01e* kNtC当当,2*)(时时当当Ntx ,2)(*时时当当Ntx ,的一半时的一半时量量即当销量达到最大需求即当销量达到最大需求N,销售速度不断增大销售速度不断增大.销售速度逐渐减少销售速度逐渐减少,一半时一半时当销量不足当销量不

3、足 N,当销量超过一半时当销量超过一半时,0dd tx则有则有.)(单单调调增增加加即即销销量量tx,2*)(时时即即Ntx ;0dd22 tx;0dd22 tx,产品最为畅销产品最为畅销22d0;dxt .从从市市场场供供求求关关系系商商品品的的价价格格变变化化主主要要服服,的单调递增函数的单调递增函数是价格是价格商品供给量商品供给量一般地一般地PS.的的单单调调递递减减函函数数商商品品需需求求量量是是价价格格 P求函数分别为求函数分别为设商品的供给函数和需设商品的供给函数和需,)(bPaPS )469()( PPD .0,0, bba且且均为常数均为常数其中其中当供给量和需求量相等时当供给

4、量和需求量相等时,二、价格调整模型由由 可得供求平衡时的价格可得供求平衡时的价格)469( baPe .为为均均衡衡价价格格并并称称eP,一般地说一般地说,时时当当DS ,时时当当DS .商品价格要落商品价格要落的的变变化化率率时时刻刻的的价价格格假假设设因因此此)(,tPt,成成正正比比与与超超额额需需求求量量SD 于是有于是有)()(ddPSPDktP .,数数用来反应价格的调整系用来反应价格的调整系其中其中0 k方程方程,可得可得)479()(dd PPtPe ,商品价格要涨商品价格要涨将将 代入代入)469( ,0)( kb 其中常数其中常数方程方程(9-47)(9-47)的通解为的通

5、解为teCPtP e)(,)(00PP 假假设设初初始始价价格格代入上式代入上式 , 得得,ePPC 0于是上述价格调整模型的解为于是上述价格调整模型的解为teePPPtP e )()(0,知知由由0 ).()(,ePtPt时时将将逐逐渐渐趋趋实实际际价价格格说说明明随随着着时时间间不不断断推推延延)(,tP.eP近均衡价格近均衡价格 每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍学校充实教师队伍,其余人员将分配到国民经济其他其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作部门从事经济和管理工作.),(txt1年年教教师师人人数数为为设设目目

6、科学技术和管理人员数科学技术和管理人员数),(tx2为为,个个毕毕业业生生个个教教员员每每年年平平均均培培养养又又设设 1每年每年调出调出理岗位上退休、死亡或理岗位上退休、死亡或从教育、科技和经济管从教育、科技和经济管),(10 人人员员的的比比率率为为表示每年大学表示每年大学)(10 ,所占比率所占比率毕业生中从事教师职业毕业生中从事教师职业于是有方程于是有方程三、人才分配问题模型)489(dd111 xxtx )499()1(dd212 xxtx 方程方程(9-48)(9-48)有通解有通解)509(e)(11 tCx ,)0(101xx 若若设设于是得特解于是得特解)519(e)(101

7、 txx ,101xC 则则)529(e)1(dd)(1022 txxtx )539(e)1(e)(1022 ttxCx ,)0(202xx 若设若设,110202xxC 则则于是得特解于是得特解)549(e1e1)(1010202 ttxxxx 将将 代入代入 , 方程变为方程变为)519( )499( 求解方程求解方程 , 得通解得通解)529( , )0()549()519(1x别别为为分分别别表表示示在在初初始始人人数数分分和和 ,)0(2的情况下的情况下x,从结果看出从结果看出,的的取取值值对对应应于于 年年教教师师队队伍伍在在 t.理人员人数理人员人数的人数与科技和经济管的人数与科技和经济管,1界界即毕业生全部留在教育即毕业生全部留在教育如果取如果取 ,时时则当则当t, 由由于于,)(1 tx必必有有,0)(2加加说说明明教教师师队队伍伍将将迅迅速速增增而而tx,发发展展势势必必要要影影响响经经济济不不断断萎萎缩缩而而科科技技和和经经济济管管理理队队伍伍.发发展展反反过过来来也也会会影影响响教教育育的的,接近于零接近于零如果如果 ,0)(1tx则则,0)(2tx同时也导致同时也导致,将影响人才的培养将影响人才的培养,伍伍例例的的毕毕业业生生充