例题讲解：米勒问题之教学设计

1、教材分析1.本例题是在学习了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圆的相关知识例如圆周角等等进行讲解的，因此知识基础比较扎实。2.本例题是著名的经典题目，用于解决最大角问题，涉及到最大值问题，在今后的最值问题解决中有着重要的地位，为解决最大角问题提供有力的工具，省去很多繁琐的步骤。3.本例题运用了数形结合的思想，引导学生善于把问题几何和代数之间相互代换得以解决。4.本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。5.本课内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。例题讲解：米勒问题

2、教学设计数学科学学院 118班 蔡洁慧 20110008008学情分析1. 授课班级学生基础较好，教学中应给予充分思考的时间，并且以引导学生思考为主。2. 该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。3.本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。教学目标知识与能力目标1.了解米勒问题，并且理解米勒定理。2.学会解决米勒问题，并能够运用一定的空间想象能力3.培养学生在解决实际问题与生活实际联系的能力。过程与方法目标1.经历探索解决米勒问题的过程，进一步探索米勒定理的证明过程。2

3、.经历应用米勒定理解决问题的过程。情感与态度目标1.学生在探索的过程中，感受动点移动时带来的角度变化的动态美，体会数学的奇妙性；2.在交流的过程中，体会与别人交流的重要性。教学中的重点、难点重点 1.利用直角三角形和基本不等式知识解决米勒问题2.利用米勒问题得出的结论解决一般米勒问题并给出证明难点 1.用代数方法解决后转换为几何的结论2.一般米勒问题结论的证明主要教学手段及相关准备：教学手段 1.使用导学法、讨论法2.运用多媒体辅助教学3.调动学生积极性，帮助理解准备工作多媒体课件片断，辅助难点突破教学设计策略依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中

4、主要体现设计思想策略1. 回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程。2. 原则性和灵活性相结合，既要完成教学计划，在教学过程中又可以根据现实的情况，安排问题的难度，体现一些灵活性。3. 教学的形式上注重个体化，充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学习的参与性，努力避免以教师活动为主体的教学过程。教学步骤及说明学生活动教师活动教学目标教学说明1、学生跟着教师的思路进行想象2、根据几何画板的演示并跟着教师的思路思考问题3、观察并思考，跟着教师解决问题4、思考并积极回答问题5、随着教师思路进行思考6、学生按照教师的提示进行思考问题7、通过教师演示，得到特殊米勒问题与一般米

5、勒问题的区别8、跟随教师的思路并积极回答问题，学习新的知识9、做好笔记并进行知识巩固1、介绍问题：1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下一个十分有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？2、几何画板演示：把文字的问题转化为几何图形表示出来3、把几何问题转化为代数问题，引导学生进行回答4、根据代数方法得到答案，并把结论转换为几何结论，复习切割弦定理5、得到关于米勒问题的几何结论，并提出为什么要总结几何结论6、给出一般米勒问题：在已知直线l的同侧有P、Q两点，试在直线l上求一点M，使得M对P、Q两点的张角，即最大？ 7、用几何画板演示，把特殊米勒问题与一般米勒问

6、题进行对比，说明两者的不同，并说明用类似的代数方法无法解决8、引导学生善于应用几何结论去解决问题，并进行证明，注意新知识的补充并说明9、总结，说明米勒问题实质上是求最大角问题，因此得出的结论就是为了解决一般的米勒问题，即一般的求最大角问题。培养学生根据题目给出的信息动手作图，培养学生学会运用数形结合的思想方法。培养学生的空间想象能力，并引导学生解决问题培养学生学会几何与代数进行转换培养学生运用已知知识解决一般简单问题能力，同时对于知识的回顾，加深巩固。培养学生善于思考探索的精神学生体验从特殊到一般的过程。加深对一般情况和特殊情况的理解，提高学生对问题的敏感度。 培养学生通过比较两者得到两者的区

7、别的能力培养学生善于巧妙地运用新的结论来解决新的问题，培养学生严谨的数学态度，对得到的答案给予严谨的证明培养学生学会总结的能力，并养成举一反三的能力，达到学以致用的目的让学生了解题目，并让同学想象，培养学生自主探索的学习能力，以及学生们交流能力。用多媒体软件进行教学，给学生直观的形象，引导学生学会运用已知条件去探索未知量。运用直角三角形和基本不等式的知识解决问题，本节课的重点之一。这是本节课的难点，学生难以突破抛出问题引导学生思考由特殊问题过渡到一般问题，循序渐进，关键在于引导和启发，给予学生充分的时间，必要时候使用事先准备的多媒体辅助教学，从实际结果看，学生在多媒体的启发作用下，应该会有一个

8、思维上的突破。在课堂最后进行总结，并得到结论，告知学生该结论用于解决最大角问题，让学生能够学以致用。课后小结：由于运用了一定的教学方法和理念，知识从不同的方向得到了渗透。基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础。教学分析1.米勒问题是求最大角问题的特例，通过解决米勒问题得到几何结论，根据这个结论可以事半功倍得解决一般最大角问题，因此讲解这道题对于学生解决问题十分有必要。2.米勒问题应该安排在高二第二个学期，因为米勒问题应用的知识比较综合，并且要有一定的空间想象力，而且要对几何与代数之间的转换有一定的了解，因此放在高二第二个学期讲解比较合适。3.米勒问题是一道经典的数

9、学题，对于培养学生对于研究数学和拓展课外知识很有必要，让学生领略到数学的美妙神奇之处。4.在证明一般米勒问题的时候，需要补充圆外角的相关知识，在解决问题的同时，可以让学生初步了解圆外角知识并学会应用。教学设计脚本教师：同学们好，今天我们要解决一道世界著名的经典题目米勒问题。（点开PPT）既然是是米勒问题，那么我们就先了解一下米勒问题是什么？1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下一个十分有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？ 这是一个非常著名的100道经典数学问题其中的一道题，大家先自己理解一下题目的意思。请同学们在草稿本上面画一下草图好，现在老师用几何画

10、板演示一下（点开超链接，出现几何画板）教师：大家看一下，我们把垂直悬杆简化成这个AB这段线段。大家在初中的时候已经学习地理，知道地球是一个球面，但是为了研究问题的需要，我们就把地球表面看成是一个平面，所以问题就转化为，在地球上面找到一个点D，使得人在这个位置时，悬杆呈现最长，也就是可见角是最大的。教师：老师延长线段AB到平面并交于点C，再连接CD，以点C为圆心，CD为半径作圆（几何画板演示）大家想象一下，点D在圆上移动的时候，有没有变化？学生1：老师，是没有变化的。教师：很好，也就是说，在这个圆上的点都不会影响可见角，在圆心不变的情况下，只有半径不同的其他圆才会影响的大小对不对？学生：对。教师

11、：也就是说，我们可以把这个空间的问题转化为平面问题。（几何画板演示）那么是不是说，就一定会存在这个点D使得达到最大呢？学生1：应该是存在的教师：如果存在的话，应该在什么位置呢？学生1：老师，肯定越近可见角越大学生2：不，我觉得是越远可见角越大教师：那好，有争议的话，我们再用几何画板演示一下现在我让点D一直向中间移动，同学们要留意是如何变化的？（几何画板演示）学生：是先变大，后来又慢慢变小教师：对了，也就是说，在这条直线上，总会存在一个点，使得最大，对不对？学生：对。教师：那么我们要在这条直线上找到这个点呢？学生：可以转化为求点D到交点C的距离。教师：对了，要求CD的长度，那么我们设CD的长度为

12、x，问题就转化为当x为多少时，最大？为了解决这个问题，我们把AC、BC的长度当成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角标一下，、，这里的也就是（打开PPT）已知AC=m,BC=n,CD=x，（x0），求当x为多少时，最大？（黑板板书）教师：那么我们就要用这些已知的条件来解决这个问题了。大家先看一下,刚刚说了悬杆是垂直于地球表面的，所以是一个什么三角形？学生：直角三角形教师：那么AC、CD与之间有什么关系？学生2：（教师板书出来）教师：很好，那么我们再看呢？学生1：同样是一个直角三角形教师：所以也可以同样得到怎样的关系式？学生1：（教师板书出来）教师：那再看看、之间有什么关系？学生2：教师

13、：也就是（板书出来）我们在上面已经求出了、的正切值了，那么可以求出的正切值吗？要怎样求？学生1： （教师板书出来）教师：请继续。学生1：把刚刚和代入上式教师：很好，那么大家动手把数据代入并进行化简。那么有那位同学化简得到最终的结果？学生2：（教师板书出来）教师：好的。那么我们看看，我们要求的最大值，是不是就是求的最大值？学生：是的。教师：看看上面式子，那些是已知的？学生：m,n教师：所以说，m-n就是一个定值，那么要求的最大值，只需要求式子的分母的最小值，对不对？学生：对。教师：那好，我们就把分母分离出来，（板书出来）现在要求的是的最小值，也就是应该要（板书出来）同学们看出什么了吗？学生：基本

14、不等式教师：那要怎样做下去呢？学生1：（教师板书出来）教师：什么时候等号成立？学生1：当时，算得（教师板书出来）教师 ：也就是，。好，到这里已经把结果算出来了，同学们回答一下题目提出问题的答案？学生：当时，取得最大值，也就是取得最大值。教师：同学们看一下，我们解决这个问题的时候，先把几何的问题转化为代数问题，再用代数的方法把问题解决了，但是如果每次都遇到这种问题，都要算这么多是不是很麻烦？我们在上面的计算过程，有没有得到什么启示？学生1：当时，取得最大值。教师：很好，这也算是一个结论，有没有一个关于几何方面的结论呢？学生：（思考）教师：刚刚所说的，也就是，那么根据这个式子有没有想到关于圆的一些

15、性质？老师在这里提示一下，大家还记得切割线定理吗？（PPT展示）这里PA是圆O的切线，BC是圆O的一条割线，那么切割线定理是怎么描述的？学生：教师：这个等式跟上面所说的，在形式上是不是有点相似啊？学生：PA对应CD，PB、PC分别对应BC、AC，也就是CD、AB分别是某个圆的切线、割线。教师：对了，表示出来就是这样子的图形（PPT展示）所以我们有下面的结论：结论：当且仅当过ABD三点作外接圆且CD与该圆相切的时候， 最大。同学们可能在这个时候就要问，得出这个结论有什么用？老老实实用代数的方法去算不就行了吗？带着这个问题，下面我们再看一道题目（PPT展示）在已知直线l的同侧有P、Q两点，试在直线

16、l上求一点M，使得M对P、Q两点的张角， 最大？教师：那我们来看看这道题跟第一题有什么区别？（几何画板演示）我们连接PQ，再延长PQ到直线l交于点O，跟第一题画的图比较一下（几何画板演示）同学们看一下，PQ是不是相当于把悬杆AB倒置了一样，还有哪些是相对应的？学生2：PO对应AC，对应，教师：既然有那么多相似的地方，大家尝试着解决。学生（在草稿本上解决）教师：有没有同学算出来？学生1：用刚刚的代数方法算不出来。教师：为什么？学生1：PO不垂直于直线l，无法用到直角三角形的性质。教师：那么除了这种方法，刚刚不是还有一个结论吗？学生2：类似于刚刚的结论，那么有结论，当且仅当PMQ三点所作的外接圆与直线l相切于点M的时候， 最大。教师：很好（几何画板演示）那我们现在用几何画板演示可以知道此时 是最大的，但是仅仅用几何画板是不够的，我们需要用数学的方法去证明。现在要证明