二次函数在闭区间上的最值(详解)

1、二次函数在闭区间上的最值、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况设f ()x = ax :：; bx :c(a = 0)，求f (x)在x三m， n上的最大值与最小值。分析：将f (x)配方，得顶点为b2a2、4 ac b4 a j、对称轴为b2a1#4ac b24af (x)的最大值是当a . 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m , n上f (x)的最值:(1 )当Im, n I时，f ( x)的最小值是2a f (m)、f(n)中的较大者。(2)当一 |m， n I 时2a -

2、若m，由f (x)在|m，n I上是增函数则 f ( x)的最小值是 f (m)，最大值是2af (n)若n ：- ，由f (x)在|m， n 上是减函数则f (x)的最大值是f (m),最小值是f (n)2a当a (m + n)(如图 1)2a 2R b 1“f (n), n(如图 3)2abb ,=f (一),m兰一兰n(如图4)2a2ab ,f (m),一 n (如图 6)2abbf(X)max =f(),m 兰一一兰 n(如图 7) f (x)min2a2ab+祠f (m), m(如图 8)2ab 1f (m),(m 亠 n)(如图 9)2a 2b 1f(n),-一(m + n)(如图

3、 10).2a 23#3、轴变区间定#二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称#这种情况是 动二次函数在定区间上的最值例4.已知x2_1，且a-2_0，求函数f (x) = x2 ax 3的最值。例5. 求f(x)=x2，2ax 1在区间卜1,2上的最大值。(2)求函数y = _x(x a)在x三-1 , 1上的最大值。4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是动二次函数在动区间上的最值”。2 2 2例 6.已知 y 4a(x-a)(a . 0),，求 u=(x-3) - y 的最小值。(二)、逆向型是指已知二次函数在某

4、区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7.已知函数f(x)=ax2 2ax - 1在区间一3, 2上的最大值为4，求实数a的值。2x例8.已知函数f (x)x在区间m, n上的最小值是 3m最大值是3n，求m ,n的值。2例9.已知二次函数f(x)=ax-(2a-1)x 1在区间；,2上的最大值为3,求实数a的值。二次函数在闭区间上的最值专题演练4#1 .函数y=x 2 - x 1 在-1,1 上：的最小3(C)(A) 1 ,3(B) 一 ,342 .函数y2-x4x -2在区间1,4(A) _7(B) -4(C)3 .函数y8=2的最值为上的最小值是21,32x - 4 x(D)(D)2

5、5(A)最大值为8，最小值为0(B)不存在最小值，最大值为8(C)最小值为0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值4 若函数 y =2 _ J_x? +4x,x E 0,4的取值范围是 235. 已知函数fx()二ax (2a-1)x_3(a工0)在区间,2上的最大值是 1,则实数2 a的值为.6 .已知函数y =X2 - 2x 3在闭区间0, m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )(A) 1,匚)(B) 0,2(C) 1,2(D) (-： ,27. 设 f (x) = x2 -4x -4, x t,t 1(t 三 R),求函数 f (x)的最小值28. 已知函数f(x)=

6、4x -kx -8在5,20上具有单调性，求实数k的取值范围。9若函数f(x)=(a-2)x 2(a -2) x-4 ：: 0对一切xR恒成立，则a的取值范围()A. (-=,2B. -2,2C. ( -2, 2D.(2，2)10. 已知函数f (x4x2 4 ax 2在(-：,0内单调递减，则 a取( )A. a _ 3B. a _ 3C. a -3D. a 311. 已知函数f (x -x2kx在2,4上是单调函数，求 k的取值范围。12. 已知函数f (x) =x2 -2x *在0,m上有最大值是3，最小值是2,求m的取值范围。13. 已知函数f (x) =3j-x2 +4的最大值为 M

7、，最小值为 m，则M+m=.2214. 已知函数f (x) =4x 4 ax a -2a+2在0,2 上的最小值为 3，求a的值。2 、.15. 求函数f(x)=-x +2 x +3的单调区间。16. 已知函数f (x) - -2x2 6x在 下列定义域上的值域：(1 )定义域为x Z | 0乞x 3(2)定义域为-2,1.17. 已知函数f (x x2 ax * 3 - a,若x -2, 2，有f (x) _ 2恒成立，求a的取值范围。18. 已知函数f(x)=x2，-2_x_a,其中a2，求该函数的最大值与最小值。19已知二次函数f (x) = _x2 6x a的函数值总为负数，求a的取值

8、范围。20. 已知二次函数f (x) =(m 6)x2 2(m _1)x m 1的图像与x轴总有交点，求 m的取 值范围。21. 已知二次函数f(x)=x2 (m1)x m 3顶点在y轴上，求m的值。22. 已知函数f (x) = mx2 (m2 _ m) x 2的图像关于y轴对称，求m的值。23. 已知函数f (x) =(a -2) x 2(a -2) x _4 ： 0对一切x恒成立，求 m的取值范围。24. 已知函数f (x) =x2 -4ax,(1乞x乞3)是单调增函数，求实数a的取值范围。25. 已知函数f (x) =x2 -ax - 1有负值，求a的取值范围。26. 已知函数f (x

9、) =(m -2) x2 -3 _2m的图像在x轴下方，求m的值。2 1 一27. 已知函数f(x) =x2 ax 7 _0对于一切X* (0,成立，求a的取值范围。228. 已知函数f (x) = 2 x mx 3，当x三(-：,-1时是减函数，求 m的取值范围。29已知函数f (x)二.x2 -2ax -a的定义域是R,求a的取值范围。30.已知函数f (x) = x2 4ax 2a 6( R)的值域为0, ：，求a的值。31. 已知函数f(x)=x24x启m对于x (0,1恒成立，求m的取值范围。32. 已知函数f(x) =x2，bx - c在0,；)上是单调函数，则 b的取值范围。33

10、.已知函数f (x) =2x -(2 a) x 2a(a - 2)，求在0, 2上的最小值。34. 已知函数f (x) =2x -(2 - a)x - 2a，在0, 2上是单调函数，求 a的取值范围。235. 已知函数f(x)=2x -(2 a)x 2a，在t,t 2上是偶函数，求 a的取值范围。36. 当a=-2时，求屈数f (x) =2x -(2 a)x 2a在t,t 2上的最小值。37. 已知函数f (x) = .2x2 -(2 a)x 2a的定义域为R，求a的取值范围。38. 已知函数f(x)二x 2 ax -1，求x -2,1上的最值。39. 已知函数f (x) =x2 2x -1，

11、求xm,m - 1上的最值。40. 已知函数f (x) - _x2 2ax T _a , x三0,1上的最值为2,求a的值。41. 已知函数 f (x) = x2x 2 :(1) 若x R，求f(x)的最小值。(2) 若x三1,3,求f(x)的最小值。(3) 若x三a,a - 2, a三R，求f(x)的最小值。42. 已知函数f(x) - -x 2 kx 3，求x三-1,2上的最大值。43. 已知函数f (x)二kx 2kx 1，求x -3, 2上的最值。2 1 244. 已知函数f (x) - -3x - 3xb ,求x三_b,b, (b . 0)上的最值。445. 已知函数f (x) -

12、-x(x _t) 1，求x三-1,1上的最值。2346. 已知函数f (x) = ax (2 a -1)3，求x 二-,2上的最大值。247. 已知函数f(x)=x ax 3，求0,1上的最值。48. 已知函数f (x) - -x(x -a)，求x ：= -1,a上的最大值。49. 已知函数f (x) = x22 ax 1，在x三-1,2上的最大值为4，求a的值。1150. 若不等式9x2 -6ax *2 -2a -6 _0在 x内恒成立，求a的取值范围。3351. 已知函数f (x) = x 2x 3，求x t,t T上的最值。52. 已知函数f (x) =ax -2ax 5，求x 二0,

13、3上的最值。53. 已知函数f (x) - -2x -ax 3，求-3,1上的最值。54. 已知函数f (x) = ax - 3x，8，求x三-2,亠，上的最值。55. 已知函数f (x) = (4 - 3a)x -2x a，求x三0,1上的最值。56. 已知函数f (x x2(2t 1)x - t2 -1，当t取何值时，函数的最小值为0.57. 已知函数f (x) = x2tx 1，求x -1,1上的最大值。58. 已知函数f (x) =x2 -4x a，在x 0, 6上的最大值为13,求a的值。59. 已知函数f (x) =x2 _2ax +4，在x E 0, 3上的最小值为 1求a的值。60. 已知函数f(x)=x2_2ax4,在