二阶自回归信号模型AR(2)

1、信号检测matlab分析二阶自回归信号模型 AR（ 2）一、二阶自回归信号模型二阶自回归信号模型（AR2 : Xn +3iX（n）+a2X（n/）= W（n），其中，Q , a?为2实数，W（n）是零均值，方差二w的白噪声。由此可以求出滤波器的传递函数为H二11a1zJa2zz2a1z a21i_2可求得极点：MP2-*1心2）要使系统稳定，两个极点p,p2都必须在单位圆里面，则 ana2的取值在(一1 乞 a2乞1, -1乞 a2-a -1乞 a2 a1,a；- 4a2_ 0 )包含的区域里。(a1 ,a2)分别取（-0.1，-0.8）, （0.1，-0.8）, （-0.975, 0.95）

2、 二、通过matlab软件运行并分析结果。1、程序及其在MATLA上运行的图1.1、当印=0.1,a2 二0.8时程序如下：N=1000;x=n ormrnd(0,1,N,1);b=1; a=1,-0.1,-0.8 ;y=filter(b,a,x); x_mea n=mea n( x);x_varia nce=var(x); y_mea n=mea n(y); y_varia nce=var(y); x_autocorr=xcorr(x,x,biased);y_autocorr=xcorr(y,y,biased);x_Psd=abs(fft(x).A2/N;y_Psd=abs(fft(y).A

3、2/N; subplot(3,2,1);plot(x(1:200);title( xlabel( n );ylabel( x);subplot(3,2,2);plot(y(1:200);title( xlabel( n );ylabel( y);经过滤波器前的x的波形图）;经过滤波器后的y的波形图）;subplot(3,2,3);plot(-100:100,x_autocorr(900:1100);title(x 的自相关图);xlabel(x );ylabel(x-autocorr);subplot(3,2,4);plot(-100:100,y_autocorr(900:1100);titl

4、e(y 的自相关图);xlabel(y );ylabel(y-autocorr);subplot(3,2,5);plot(x_Psd);title(x的功率谱密度图);xlabel(n);ylabel(x_Psd);subplot(3,2,6);plot(y_Psd);title(y的功率谱密度图);xlabel(n);ylabel(y_Psd);在matlab上运行的图如下：经过滤疲器前的X前谀膨田K的自相关圈经过滅液器姑的y的液形圏-bDa so-51 佔 o1_0.匕gsnT100罔一y的功率备密度田2004006006001000n-0 S)图一1.2、当 ai =0.1,a2 二0.

5、8 时程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a改为a=1,0.1,-0.8 在matlab上运行的图如下：经过滤液部苛白”的滅形田X的自相去图经过滤谶器启的片的液形圏卩的鬥相关圏110耸弓Tg-50-100a!y的功率訂密度圏圉a1=0.1, b2= - O S)图1.3、当 ai - -0.975, a2 =0.95 时程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的 a改为a=1,-0.975 , 0.95在matlab上运行的图如下：10-10n耳的自相关图b5010015020050100150200n丫的鬥相关圈翌过畝披弱方的湖破形图-100-50050 WOy的功率谱密度图JJO3 吕I15

6、00g ill100-500501Q0xx的功率谱密度图打 20&400lOQfl5006008001100010200400&008001000n囹三(a1=-97S, a2=0)共5页第3页信号检测matlab分析共5页第#页信号检测matlab分析图三2、结果分析2.1、自相关分析可以用r,p,k=residue(1,0,1,a恫2】)函数求出 H(z)的极点p , p2和系H(z)可以分解为:H亠 竺Z P1Z P2，系统的冲击响应:h(n) =(r1 p/Q p/)u(n)求出其自相关为rhh (m) = r1 P1|m|2(1-P1)(1 - p2 ).齐2冋-P1P2).rd2(

7、P1|m P22根据极点计算公式，可求出三种情况下不同的极点： 当a1=-0.1 a2=-0.8 时，利用residue函数求出传递函数 H(z)的极点 r,p,k=residue(1,0,1,-0.1,-0.8)，得到：r = p =k =0.52790.94580.4721-0.8458此时，H(z)=0.5279z/(z-0.9458)+0.4721z/(z+0.8458)，由此可以得到系统的冲击响应：h( n)=(0.5279*0.9458 n+0.4721*(-0.8458)n)*u( n)冲击响应函数的自相关函数为：r hh(m)=0.5279 2*0.9458 m/(1-0.94

8、58 2)+0.4721 2*(-0.8458) |m/1-(-0.8458)2i m冋+0.5279*0.4721*0.9458 1 0(-0.8458) 1 1 (1+0.9458*0.8458)I mI m=2.7808*0.9458 1 1+0.9215*(-0.8458) 1 1由于极点的绝对值小于1,而且rhh(m)为0.9458|m|和(-0.8458)的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝 对值较大，则自相关函数在衰减的同时出现小幅度波动，且大部分波动都是在零以上波动。 当 a1=0.1 a 2=-0.8 时，r,p,k=residue

9、(1,0,1,0.1,-0.8)，得到r =p =k =0.5279-0.94580.47210.8458则同理可以得到|m|m|rhh(m)= 2.7808*(-0.9458)+0.9215*0.8458由于极点的绝对值小于1,而且rhh(m)为(-0.9458) |m|和0.8458|m|的函数， 则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝 对值较小，则自相关函数在衰减的同时出现波动，且波动都是在零上下波动。 当 a仁-0.975 a2=0.95 时：r,p,k=residue(1,0,1,-0.975,0.95)r =p =k =0.5000-0.2888i

10、0.4875 + 0.8440i0.5000+0.2888i0.4875 - 0.8440it*1.049i-1.049此时 p仁p2，p1=0.9747e，p2=0.9747e i2rhh(m) = r1| m|.me P22(1-P2)2|m|22 P2-P1 )-P1P2)0,-0.5238i0.5238i1.049i-1.049i其中:r 1=0.5774e ,r 2=0.5774e ,p 1=0.9747e, p2=0.9747e此时极点为一对共轭复极点，极点的模值小于1，rhh(m)是复极点的的|m|次方的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减，幅度会越来越小。共轭 极点的

11、模为r=0.9747，幅角频率co =1.049，则自相关函数会按照模r指数同时 以频率o振荡衰减。2.2、功率谱分析功率谱密度为0到2n间的频率分布，图中相当于把2n分为1000等份，起点 为1对应低频，终点为1000对应低频，中间点501对应高频(n)。 当 a1=-0.1 a2=-0.8 时则：H(ejw)二|ejw -0.9458| ejw 0.8458|由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱H(ejw)口 W在w=0和n出 现峰值，w=0时极点0.9458离单位圆距离比w=n时极点-0.8458离单位圆的距 离小，则此时正极点作用大，w=0时|H(eJW)|最大。即|H(eJW)|在

12、低频时分量较大， 可以看作其具有低通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。 当 a1=0.1 a2=-0.8 时H(eJw)二 H(z)则：H (eJw) = 1 jwjw)/|eJ+0.9458|eJ-0.8458|由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱p(w) = H(ejww在w=0和n出 现峰值，w=0时极点-0.9458离单位圆距离比w=n时极点0.8458离单位圆的距jwjw离小，则此时负极点作用大，w=n时|H(e )|最大。即|H(e )|在高频时分量较大，可以看作其具有高通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。 当 a仁-0.975 a2=0.95 时H(e”)=H(z)|z” = e_pj(eJw _p2)则：H (e”)