新课标高中数学必修②点直线平面之间的位置关系精讲

1、第9讲 § 平面¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理.¤知识要点：1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它

2、们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言3.公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.¤例题精讲：【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组5题）解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证

3、：EF、GH、AC三线共点. （同P58 B组3题）解：PEF，EF面ABC，P面ABC. 同理P面ADC. P在面ABC与面ADC的交线上，又 面ABC面ADC=AC， PAC，即EF、HG、AC三线共点.【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面. 证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面 因为A，B，所以AB 同理BC ，AC .所以AB，BC，CA三直线共面点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，

4、然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.【例4】在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 解：（1）在正方体中， 由公理2的推论可知，与可确定平面，与在同一平面内. （2）点不共线，由公理3可知，点可确定平面， 点在同一平面内. （3）， 点平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练.第9练 § 平面基础达标1两个平面若有三

5、个公共点，则这两个平面（ C ）. A相交 B重合 C相交或重合 D以上都不对2下列推断中，错误的是（ C ）.ABCD，且A、B、C不共线重合3E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（B ）. A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内4用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ C ）. A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 5下列说法中正确的是（ D ）. A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角

6、的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内6给出下列说法： 梯形的四个顶点共面； 三条平行直线共面； 有三个公共点的两个平面重合； 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 . 7已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 . 4能力提高8正方体中,E、F、G、H、K、L分别是 的中点. 求证：这六点共面证明：连结和，因为 是的中点，所以 又 矩形中，所以 ，所以 可确定平面，所以 共面，同理 ，故 共面又 平面与平面都经过不共线的三点，故 平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面同理可证，所以，E、

7、F、G、H、K、L六点共面（证明共面问题常有如下两个方法：直接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合）9（1）在平面外，求证：P，Q，R三点共线. （2）已知四边形ABCD中，ABCD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线. 证明：（1）根据公理2易知确定平面，且与有交线l，根据公理3易知，P，Q，R三点都在直线l上，即三点共线.（2）ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，G

8、，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H共线.探究创新10在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？解：使过三点M，N，D的平面成为水平面时，容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过M，N，D三点所作正方体的截面的形状. 连结DM并延长DM交D1A1的延长线于P，则点P既在截面内又在底面A1B1C1D1内，连结PN交A1B1于E，连ME，ND，则过M，N，D的截面就是四边形DMEN，易证MEDN且MEDN，因而它是一个梯形.第10讲 &#

9、167; 空间中直线与直线之间的位置关系¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.¤知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.¤例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的

10、角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）. A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解：过P作a，b，若Pa，则取a为，若Pb，则取b为这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成30°的直线 过点P与，都成30°角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在故答案选B.【例2】如图正方体中，E、F分别为D1

11、C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1） 正方体中，. 又 中，E、F为中点， . , 即D、B、F、E四点共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则, 在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾. 故直线.综上述，a、b、c、d四

12、线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45°， AB1 和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1，

13、EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.第10练 § 空间中直线与直线之间的位置关系基础达标1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ D ）. A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都

14、有可能2教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ B ）.A平行 B垂直 C相交但不垂直 D异面3两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关系是（ D ）.A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线4把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ B ）.A. 12 B. 24 C. 36 D. 485正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线 与CN所成的角是（ B ）.A30° B90° C45° D60°EAFB

15、CMND6如图，正方体中，直线与所成角为_度. . 60°7右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： BM与ED平行； CN与BE是异面直线； CN与BM成60º角； DM与BN垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . 能力提高8已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P 、M 、N . 连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角，如右图所示.连结MN、DN，设AB=2， PM=PN=1. 而AN=DN=，则MNAD，AM=1，得MN=， MN2=

16、MP2+NP2，MPN=90°，即异面直线AB、CD成90°角.9空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. 证明：PEF，EF面ABC，P面ABC，同理P面ADC，P在面ABC与面ADC的交线上，又面ABC面ADC=AC，PAC，即EF、HG、AC三线共点.探究创新10设异面直线a与b所成角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是的直线l有且仅有几条?解：过点O作a1a，b1b，则相交直线a1、b1确定一平面. a1与b1夹角为50°或130

17、76;，设直线OA与a1、b1均为角，故当<25°时，直线l不存在；当=25°时，直线l有且仅有1条；当25°<<65°时，直线l有且仅有2条；当=65°时，直线l有且仅有3条；当65°<<90°时，直线l有且仅有4条；当=90°时，直线l有且仅有1条.第11讲 § 直线与平面、平面与平面位置关系¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.¤知识要点：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数

18、个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；.2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.¤例题精讲：【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90°.异面

19、直线AB、CD成90°角.【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解：四边形EFGH是平行四边形， =2=.ABCDEFGH【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 证明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分别是AB和CD的中点， EHBD.又 ， FGBD. EHFG. 所以，E、F、G、H四点共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直线

20、EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P. AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点， 由公理3知PAC. 所以，三条直线EF、GH、AC交于一点.点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例4】如下图，设ABC和A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且= .试求的值. 解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以

21、=（）2=.点评：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.第11练 § 直线与平面、平面与平面位置关系基础达标1直线与平面不平行，则（ C ）. A. 与相交 B. C. 与相交或 D. 以上结论都不对2正方体各面所在平面将空间分成（ D ）个部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 273若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ D ）. A. 有限个 B. 无限个C. 没有 D. 没有或无限个4E、F、G、H是棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、

22、HG交于P点，则点P（ B ）. A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内5一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ D ）. A. 平行B. 相交C. 平行或垂合D. 平行或相交6若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 . 平行、在平面内7一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以把空间分成 部分2；3、4； 4、6、7、8.能力提高8A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=

23、BD，求EF与BD所成的角.解：（1）证明：用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾. 故直线EF与BD是异面直线.（2）取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.9已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如右图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线E

24、F和HG必交于一点，且交点在AC上.证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面内，则A、B、C、D都在平面内，这与ABCD是空间四边形矛盾，AC、BD是异面直线.（2）E、H分别是AB、AD的中点， EHBD.又F、G分别是BC、DC的三等分点，FGBD.EHFG，且EHFG. FE与GH相交.设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，O在平面ADC内.同理，O在平面ABC内. 从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上.探究创新10空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. （1）求证：四边形PQRH是平行四边形； （2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么

25、四边形？（3）若ACBD，则四边形PQRH是什么四边形？（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？解：（1）在ABD中，P、H分别为AB、AD的中点，即PH为中位线.同理 . 四边形PQRH为平行四边形（2）在ABC中，P、Q为AB、BC中点，PQAC， 又PHBD，AC=BD. PH=PQ. 平行四边形PQRH为菱形.（3） ACBD， 异面直线AC与BD所成角为直角. PHBD，PQAC, HPQ为AC与BD所成的角.HPQ=90°, 即四边形PQRH为矩形（4）由（2）、（3）的证明可知，当AC=BD且ACBD时，四边形PQRH为正方形.第12讲 §

26、直线与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行线面平行”.¤知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示.¤例题精讲：【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC证明：设PC的中点为G，连接EG、FG. F为PD中点， GFCD且GF=CD.

27、ABCD， AB=CD， E为AB中点， GFAE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF平面BB1D1D. 证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点， OED1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ABC D E F GM O EF平面BB1D1D.【例3】如图，已

28、知、分别是四面体 的棱、的中点，求证：平 面. 证明：如右图，连结，交于点，连结，在中，、分别是、中点， ，为中点， 为中点，在中，、为、中点， ，又平面，平面， 平面.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN/平面PAD；（2）若，求异面直线PA与MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， NH. 由M是AB的中点， NHAM， 即AMNH为平行四边形. . 由， .（2） 连接

29、AC并取其中点为O，连接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MONO.由，, 得OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成30°的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.第12练 § 直线与平面平行的判定基础达标1已知直线、, 平面, , , 那么与平面的关系是（ C ）. A. B. C. 或 D. 与相交2以下说法（其中a，b表示直线，a表示平面） 若ab，bÌa，则aa 若aa，ba，则

30、ab 若ab，ba，则aa 若aa，bÌa，则ab 其中正确说法的个数是（ A ）. A. 0个 B. 1个C. 2个 D. 3个3已知a，b是两条相交直线，aa，则b与a的位置关系是（ D ）. A. ba B. b与a相交C. bD. ba或b与a相交4如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（ C ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. ABÌa5如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（ A ）. A. 只有一个B. 恰有两个C. 或没有，或只有一个D. 有无数个6已知P是正方体ABC

31、D-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是 . DC、D1C1、A1B17过三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是 ；若AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，则截面四边形的面积是 . BD、AC； 12.能力提高8平面a与ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且ADDB=AEEC，求证：BC平面a.证明：在ABC中， ADDB=AEEC， .又 ， .9P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点. （1）求证：EO平面PCD ； （2）图中EO

32、还与哪个平面平行？解：（1）证明： 在平行四边形ABCD中，O为AC，BD的交点， O为BD的中点. 又 在PBD中，E为PB的中点， EO/PD. ， EO平面PCD .（2）图中EO还与平面PAD平行.探究创新10三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.在四面体ABCD中，M、N分别是面ACD、BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？试证明你的结论.解：连结AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由=得MNAB，因此，MN平面A

33、BC且MN平面ABD.第13讲 § 平面与平面平行的判定¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.¤知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：.¤例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.证明：连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点， PNB1D1.又B1D1B

34、D，PNBD. A1AB1BC1CD1DGEF又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD 证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从

35、而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD 【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ平面PBC. 证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD为平行四边形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC. 由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.点评：由比例线段

36、得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离. 证：（1）连接,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ.由已知可得， .由已知可得，且. , . 平面AMN平面EFDB.解：（2）过作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H，易得.由, 根据, 则 ，解得

37、. 所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行线面平行面面平行”. 第（2）问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面ABC的距离.第13练 § 平面与平面平行的判定基础达标1下列说法正确的是（ D ）. A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行 C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D.

38、如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行2在下列条件中，可判断平面与平行的是（ D ）. A. 、都平行于直线l B. 内存在不共线的三点到的距离相等 C. l、m是内两条直线，且l，m D. l、m是两条异面直线，且l，m，l，m3下列说法正确的是（ D ）. A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行4经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ C ）. A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个5不在同一直线上的三点A，B，C到平面的距离相等，且A，

39、则（ B ）. A. 平面ABC B. ABC中至少有一边平行于 C. ABC中至多有两边平行于 D. ABC中只可能有一条边与平行6已知直线a、b，平面、, 且a/ b，a/，/，则直线b与平面的位置关系为 直线b/平面或直线b在平面内；.7已知a、b、c是三条不重合直线，a、b、g是三个不重合的平面，下列说法中： ac，bcab； ag，bgab； ca，cbab； ga，baab； ac，acaa； ag，agaa.其中正确的说法依次是 . （1）、（4）.能力提高8在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，C

40、D的中点，求证：平面EFG平面MNQ. 证明：由已知EFAB1，AB1DC1，DC1QN，EFQN，同理FGMQ，所以，平面EFG平面MNQ.9两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，过M作MHAB于H，求证：（1）平面MNH/平面BCE；（2）MN平面BCE.证明：（1）正方形ABCD中， MHAB， 则MHBC， .连结NH，由BF=AC，FN=AM，得， NH/AF/BE.由 MH/BC，NH/BE， 平面MNH/平面BCE. （2） 平面MNH，平面MNH/平面BCE， MN平面BCE.探究创新10P是所在平面外一点，分别是的重心，（1）求证

41、：平面; (2)求.证明：分别连PA，PB，PC并延长分别交BC，AC，AB于D，E，F. 则D，E，F分别是BC，CA，AB的中点. ， AC/FD.同理, 平面.(2) ， , 又DE=AB. ， 易证. =1:9.第14讲 § 直线与平面平行的性质¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.¤知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：.¤例题

42、精讲：【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1EB1B证明： ， .又 ， .则.【例2】如图，求证：.ABCD证明：连结，直线和可以确定一个平面，记为， 又， 四边形为平行四边形， .【例3】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD/平面EFGH.证明： ,平面，平面， .又 ，, .又 , .点评：转化思维链是“由已知线线平行线面平行线线平行线面平行”. 此题属于教材（必修人教A版）中第64页的3题的演变, 同样还可证平面.【例4】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证dgba_b_a证明：经过作两

43、个平面和，与平面和分别相交于直线和， 平面，平面， ，又 平面，平面， 平面，又 平面，平面平面=， ， 点评：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到ab的目的，这里借用已知条件中的a及a来实现证线线平行，可由公理4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行.第14练 § 直线与平面平行的性质基础达标1已知直线l/平面，m为平面内任一直线，则直线l与直线m的位置关系是（ D ）. A. 平行B. 异面 C. 相交D. 平行或异面2梯形ABCD中AB/CD，AB平面，CD平面，则直线CD与平

44、面内的直线的位置关系只能是（ B ）. A. 平行 B. 平行和异面 C. 平行和相交 D. 异面和相交3一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ C ）. A. 异面B. 相交C. 平行D. 不能确定4若直线、b均平行于平面，则与b的关系是（ D ）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面5已知l是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（ D ）. A. D1B1l B. BD/平面AD1B1 C. l平面A1D1B1 D. lB1 C16已知正方体的棱长为1，点P是的

45、面的中心，点Q是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为 . 7设不同的直线a,b和不同的平面，给出下列四个说法： a，b，则ab； a, a, 则；FDBCHGEA ，则； ab,b,则a. 其中说法正确的序号依次是 . 能力提高8如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形. （1）求证：CD平面EFGH；（2）如果ABCD，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH的面积.解：（1）证明： EFGH是平行四边形， EF/GH，又 EF平面BDC， GH平面BDC， EH/平面BDC.ABCDMN EF平面ADC，平面ADC平面BDC=DC， EF/DC， CD平面EFGH

46、.（2）截面EFGH的面积为 .NABCDMNNQN9如右图，直线和是异面直线，求证：.证明：如图，连结交平面于点，连结、.，.探究创新10如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（1）求证：EM平面A1B1C1D1； （2）设截面A1BMN把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1、V2（V1V2，求V1V2的值.解：（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1.E为A1B的中点，EFB1B. 又C1MB1B，EFMC1.四边形EMC1F为平行四边形.EMFC1.EM平面A1B

47、1C1D1，FC1平面A1B1C1D1，EM平面A1B1C1D1.（2）延长A1N与B1C1交于P，则P平面A1BMN，且P平面BB1C1C.又平面A1BMN平面BB1C1C=BM， PBM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P.又平面MNC1平面BA1B1， 几何体MNC1BA1B1为棱台. S=·2a·a=a2， S=·a·a= a2，棱台MNC1BA1B1的高为B1C1=2a，V1=·2a·（a2+a2）=a3，V2=2a·2a·aa3=a3. =.第15讲 § 平面与平面平行的性质¤学

48、习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.¤知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：.2. 其它性质：； ；夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲：【例1】如图，设平面平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D. 求证：MN. 证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，则MEAC， ME平面，又 NEBD， NE， 又MENE=

49、E，平面MEN平面， MN平面MEN，MN. 【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形 证明： A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，A，B，C，D四点共面又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线ABCD同理ADBC 四边形ABCD是平行四边形【例3】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，

50、E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证：平面EFG平面ABC.证明：作于P，连接PF. 在正三棱柱ABCA1B1C1的侧面中，易知，又，所以. ，平面ABC.又 ， ， ，则平面ABC. ， 平面PEF/平面ABC. 平面PEF， EF/平面ABC. 同理，GF/平面ABC. ， 平面EFG/平面ABC.点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.【例4】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且. 求证：EF平面ABCD.证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN. BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC， EMBB1，FNBB1， EMFN， AB1=BC1，B1E=C1F，AE=BF， 又B1AB=C1BC=45&#