第40课时存在性问题

1、第40课时存在性问题【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高. 存在性问题按定性可分为：肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)举例分析.(1)代数方面的存在性

2、问题的解法思路是：将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法(2)点的存在性问题的解法思路是：假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断类型一 代数方面的存在性问题典例1 (2013四川成都)在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的定点A的坐标为(0,-1)，C的坐标为(4,3)，直角定点B在第四象限. (1)如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达：(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.i)若点M在直

3、线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；ii)取BC的中点N，连接NP,BQ.试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意，得点B的坐标为（4，-1）抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，解得：b=2，c=-1，抛物线的函数表达式为：(2)i)A（0，-1），C（4，3），直线AC的解析式为：y=x-1设平移前抛物线的顶点为P0，则由(1)可得P0的坐标为(2，1)，且P0在直线AC上点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为(m，m-1)，则平移后抛物线的函数表达

4、式为：解方程组：，解得，P(m，m-1)，Q(m-2，m-3)过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，则PE=m-(m-2)=2，QE=(m-1)-9m-3)=2PQ=2=AP0若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2（即为PQ的长）由A（0，-1），B（4，-1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=2如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点可设直线l1的解析式为：y=x+b1，B（4，-1），-1=4+b1，解得b1=-5，直线l1的解析式为：y=x-5解方程组得：，M1（4，-1），M2（

5、-2，-7）当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）由A（0，-1），F（2，-1），P0（2，1）可知：AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为过点F作直线l2AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点可设直线l2的解析式为：y=x+b2，F（2，-1），-1=2+b2，解得b1=-3，直线l2的解析式为：y=x-3解方程组得：，M3（1+，-2+），M4（1-，-2-）综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，-1），M2（-2，-7），M3（1+，-2），M4（1-，-2-）ii)存在最大值理由如下：由i)

6、知PQ=2为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BPFB=2当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2的最大值为=【技法梳理】先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；i)首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线()与抛物线的交点，即为所求之M

7、点；当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线()与抛物线的交点，即为所求之M点ii)由(i)可知，PQ=2为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F(AB中点)三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段BF的长度【提醒】(1)本题的第(2)问的)就是探究最值是否存在性的问题.根据轴对称-最短路线问题的解法求出最值.(2)本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称-最短路线问题等知识点，还考查了存在型问题和分类讨论的数学思想

8、，难度较大【举一反三】(类型一)1.(2013广东)已知二次函数.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如图,当时,该抛物线与轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;(3)在(2)的条件下,轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?若P点存在,求出P点的坐标;若P点不存在,请说明理由.(1)二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），代入二次函数y=x2-2mx+m2-1，得出：m2-1=0，解得：m=1，二次函数的解析式为：y=x2-2x或y=x2+2x； (2)m=2，二次函数y=x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x+3=（x-2）2-1，抛物线的顶点

9、为：D（2，-1），当x=0时，y=3，C点坐标为：（0，3）；(3)当P、C、D共线时PC+PD最短，过点D作DEy轴于点E，PODE，=，=，解得：PO=，PC+PD最短时，P点的坐标为：P(，0)2.(2013宜宾)如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线，两条抛物线相交于点C(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)若点P是x轴上一动点，且满足CPA=OBA，求出所有满足条件的P点坐标；(3)在第四象限内抛物线上，是否存在点Q，使得QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由(1)抛物线y1=x2-1向

10、右平移4个单位的顶点坐标为（4，-1），所以，抛物线y2的解析式为y2=(x-4)2-1；(2)x=0时，y=-1，y=0时，x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，点A（1，0），B（0，-1），OBA=45，联立解得点C的坐标为（2，3），CPA=OBA，点P在点A的左边时，坐标为（-1，0），在点A的右边时，坐标为（5，0），所以，点P的坐标为（-1，0）或（5，0）；(3)存在点C（2，3），直线OC的解析式为y=，设与OC平行的直线y=，联立消掉y得，2x2-19x+30-2b=0，当=0，方程有两个相等的实数根时，QOC中OC边上的高h有最大值，此时x1=x2=，此时y=(=

11、，存在第四象限的点Q（，），使得QOC中OC边上的高h有最大值，此时=192-42（30-2b）=0，解得b=，过点Q与OC平行的直线解析式为，令y=0，则，解得x=，设直线与x轴的交点为E，则E（，0），过点C作CDx轴于D，根据勾股定理，OC=，则sinCOD=，解得h最大=类型二特殊图形的存在性问题典例2(2013自贡)如图，已知抛物线(a0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，3)，tanDBA=（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMC

12、A面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）如答图1所示，过点D作DEx轴于点E，则DE=3，OE=2tanDBA=，BE=6，OB=BE-OE=4，B（-4，0）点B（-4，0）、D（2，3）在抛物线(a0)上，解得抛物线的解析式为：（2）抛物线的解析式为：，令x=0，得y=-2，C（0，-2），令y=0，得x=-4或1，A（1，0）设点M坐标为（m，n）（m0，n0），如答图1所示，过点M作MFx轴于点F，则MF=-n，OF=-m，BF=4+mS四边形BMCA=

13、SBMF+S梯形MFOC+SAOC=BFMF+(MF+OC)OF+OAOC=(4+m)(-n)+(-n+2)(-m)+12=-2n-m+1，点M（m，n）在抛物线上，代入上式得：S四边形BMCA=，当m=-2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9（3）假设存在这样的Q如答图2所示，设直线x=-2与x轴交于点G，与直线AC交于点F 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，-2）代入得：解得：k=2，b=-2，直线AC解析式为：y=2x-2，令x=-2，得y=-6，F（-2，-6），GF=6在RtAGF中，由勾股定理得：AF=3设Q（-2，n），则在RtAGF中，由勾股定理得

14、：OQ=设Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=在RtAGF与RtQEF中，AGF=QEF=90，AFG=QFE，RtAGFRtQEF，=，即=，化简得：，解得n=4或n=-1存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）【技法梳理】本题第(3)问为特殊图形圆的存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标【小结】根据以上分析，我们可以归纳出存在性问题的解决策略：(1)直接求解法：存在性问题探索的结果有两种：一种是存在；另一种是不存在直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法(2)假设

15、求解法：先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出发，进行演绎推理，若得到和题意相容的结论，则假设成立，结论也存在；否则，假设不成立，结论不存在.(3)反证法是证明否定型存在性问题的主要方法，特别是在无限个候选对象中，证明某种数学对象不存在时，逐一淘汰的方法几乎不能实行，更需要使用反证法【举一反三】(类型二)1.（2013湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有

16、什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（1）设抛物线解析式为：y=a(x-3)2+4，将A（0，-5）代入求得：a=-1，抛物线解析式为y=-(x-3)2+4=-x2+6x-5（2）抛物线的对称轴l与C相离证明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，B（1，0），C（5，0）如答图所示，设切点为E，连接CE，由题意易证RtABORtBCE，即，求得C的半径CE=；而点C到对称轴x=3的距离为2，2，抛物线的对称轴l与C相离（3）存在理由如下：有两种情况：（I）如答图所示，点P在x

17、轴上方A（0，-5），C（5，0），AOC为等腰直角三角形，OCA=45；PCAC，PCO=45过点P作PFx轴于点F，则PCF为等腰直角三角形设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5 又点P在抛物线上，n=-m2+6m-5 联立式，解得：m=2或m=5当m=5时，点F与点C重合，故舍去，m=2，n=3，点P坐标为（2，3）；（II）如答图所示，点P在x轴下方A（0，-5），C（5，0），AOC为等腰直角三角形，OAC=45；过点P作PFx轴于点F，PAAC，PAF=45，即PAF为等腰直角三角形设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=

18、OA+AF=5+m，m+n=-5 又点P在抛物线上，n=-m2+6m-5 联立式，解得：m=0或m=7当m=0时，点F与原点重合，故舍去，m=7，n=-12，点P坐标为（7，-12）综上所述，存在点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形点P的坐标为（2，3）或（7，-12）2.(2013永州)如图，已知ABBD，CDBD(1)若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角

19、形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？(1)存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=

20、，解方程得：x=，方程得：x(10-x)=36，x2-10x+36=0，=(-10)2-41360，此方程无解，当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；(2)在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x(12-x)=36，x2-12x+36=0，=(

21、-10)2-4136=0，此方程的解为x2=x3=6，当BP=或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；(3)在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，理由是：设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当或时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，=或=，解方程得：x=，方程得：x（15-x）=36，x2-15x+36=0，=（-15）2-4136=81，此方程的解为x2=

22、3，x3=12，当BP=或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12；(4)设BP=x，ABBD，CDBD，B=D=90，当或时时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，或，解方程得：x=，方程得：x（l-x）=mn，x2-lx+mn=0，=（-l）2-41mn=l2-4mn，当l2-4mn0时，方程没有实数根，即当l2-4mn0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；当l

23、2-4mn =0时，方程有1个实数根，当l2-4mn =0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；当l2-4mn0时，方程有2个实数根，当l2-4mn0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点.(2013温州)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0.8），点C的坐标为（0，m），过点C作CEAB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作CDEF(1)当0m8时，求CE的长(用含m的代数式表示)；(2)当m=3时，是否存在点D，使CDEF的顶点F恰

24、好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值类型一 1.(2013遵义)如图，已知抛物线(a0)的顶点坐标为(4，-)，且与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)(1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；(3)以AB为直径的M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式(1)由题意，设抛物线的解析式为(a0)，抛物线经过(0，2)，解得

25、：a=，即：，当y=0时，解得：x=2或x=6，A(2，0)，B(6，0)；(2)存在，如图2，由(1)知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小，B（6，0），C（0，2）OB=6，OC=2，BC=2，AP+CP=BC=2，AP+CP的最小值为2；(3)如图3，连接ME，CE是M的切线，MECE，CEM=90，由题意，得OC=ME=2，ODC=MDE，在COD与MED中CODMED（AAS），OD=DE，DC=DM，设OD=x，则CD=DM=OM-OD=4-x，则RTCOD中，OD2+OC2=CD2，D(，0)，设直

26、线CE的解析式为y=kx+b，直线CE过C(0，2)，D(，0)两点，则解得：直线CE的解析式为.2.（2013张家界）如图，抛物线（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）设直线CD的解析

27、式为y=kx+b（k0），将C（0，1），D（1，0）代入得：解得：b=1，k=-1，直线CD的解析式为：y=-x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a(-2)2+3，解得a=（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，点E的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），ME=CM=QM=2，QME与QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QE

28、C=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE的周长）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，Q

29、CE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（4，5）；C，C关于x轴对称，点C的坐标为（-1，0）过点C作CNy轴于点N，则NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为3(2013陕西)问题探究：(1)请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图，M是正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由问题解决：(3)如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且

30、ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由(1)如图1所示，(2)连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EFOM交DC于F，交AB于E，则直线EF、OM将正方形的面积四等份，理由是：点O是正方形ABCD的对称中心，AP=CQ，EB=DF，在AOP和EOB中AOP=90-AOE，BOE=90-AOE，AOP=BOE，OA=OB，OAP=EBO=45，AOPEOB，AP=BE=DF=CQ，设O到正方形ABCD一边的距离是d，则(AP+AE)d=(BE+BQ)d=(CQ+CF)d=

31、(PD+DF)d，S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPFM，直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；(3)存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，理由是：如图，连接BP并延长交CD的延长线于点E，ABCD，A=EDP，在ABP和DEP中ABPDEP（ASA），BP=EP，连接CP，BPC的边BP和EPC的边EP上的高相等，又BP=EP，SBPC=SEPC，作PFCD，PGBC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，由三角形面积公式得：PF=PG，在CB上截取CQ=DE=AB=a，则SCQP=SDEP=SABPSBPC-SCQP+SABP=SC

32、PE-SDEP+SCQP即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，BC=AB+CD=a+b，BQ=b，当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分类型二1.（2013云南）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）设直线EC的解析式为y=kx+b，根据题意得：，解得y=x+1，当y=0时，x=-1，点A的坐标为（-1

33、，0）四边形ABCD是等腰梯形，C（2，3），点D的坐标为（0，3）（2）设过A（-1，0）、D（0，3）、C（2，3）三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：解得抛物线的关系式为：y=-x2+2x+3；（3）存在作线段AC的垂直平分线，交y轴于点P1，交AC于点FOA=OE，OAE为等腰直角三角形，AEO=45，FEP1=AEO=45，FEP1为等腰直角三角形A（-1，0），C（2，3），点F为AC中点，F（，），等腰直角三角形FEP1斜边上的高为，EP1=1，P1（0，2）；以点A为圆心，线段AC长为半径画弧，交y轴于点P2，P3可求得圆的半径长AP2=AC=3连接AP2，则在RtAOP2中，OP2=，P2（0，）点P3与点P2关于x轴对称，P3（0，-）；以点C为圆心，线段CA长为半径画弧，交y轴于点P4，P5，则圆的半径长CP4=CA=3，在RtCDP4中，CP4=3，CD=2，DP4=，OP4=OD+DP4=3+，P4（0，3+）；同理，可求得：P5（0，3-）综上所述，满足条件的点P有5个，分别为：P1（0，2），P2（0，），P3（0，-），P4（0，3+），P5（0，3-）2.(2013荆门)如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不与M、C重合)，以AB为直径作O，过点P作O的切线，交AD于点