三角形的证明

1、三角形的证明基本方法：1、逆推综合法：从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”2、分析法：有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”3、综合分析法：顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。 基本思路1、当条件都满足时，结合已知条件，顺推论证2、当问题的条件不够时：添加辅助线构成新图形形成新关系使分散的条件集中建立已知与未知的桥梁把问题转化为自己能解

2、决的问题。这是证明题目常用的基本思路。一、 边边关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等1、不等关系：基本定理：三角形的两边之和大于第三边；两边之差小于第三边；在同一个三角形中大角对大边基本思路：通过构造全等、平移或者截取的方法，把三边集中到一个三角形中，利用以上基本定理来证明。例1：已知：如图，P是ABC内任一点，求证：AB+ACBP+PC。如图，延长BP交AC于点D在BAD中AB+AD>BD ，即：AB+AD>BP+PD 在PDC中， PD+DC>PC 得AB+AD+PD+DC>BP+PD+PC ，即AB+A

3、C>BP+PC例2如图AD为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE2AD AD为ABC的中线 （已知） BDCD （中线定义） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS） BECA（全等三角形对应边相等） 在ABE中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形

4、）例3：如图AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF证法1：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） BE=CM 又12，34 （已知） 1234180°（平角的定义） 32=90°，即：EDF90° FDMEDF 90°在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条

5、件集中。证法2：分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，在DBE和NDE中：DN=DB（辅助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）BE+CF>EF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等

6、三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素:例4：已知如图：在ABC中，AB>AC，1=2，P为AD上任一点求证：AB-AC>PB-PC分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN,在APN和APC中AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）,P

7、C=PN（全等三角形对应边相等）在BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）BP-PC<AB-AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，在ABP和AMP中AB=AM（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）ABPAMP（SAS）PB=PM（全等三角形对应边相等）又在PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-AC>PB-PC。2、相等关系：A 加倍延长中线例1：如图，已知在 ABC 中， ÐC = 90° ， ÐB = 30° ， AD 平分 ÐBAC ，交 BC 于

8、点D . 求证： BD = 2CD证明：延长 DC 到 E，使得 CE=CD,联结 AEC=90°ACCDCD=CEAD=AEB=30°C=90°BAC=60°AD 平分BACBAD=30°DB=DAADE=60°ADE=60° AD=AEADE 为等边三角形AD=DEDB=DABD=DEBD=2DC（2）如图，D 是 DABC 的边 BC 上的点，且 CD = AB ，ÐADB = ÐBAD ，AE 是 DABD 的中线。求证：AC = 2AE 。证明：延长 AE 到点 F,使得 EF=AE 联结 DF

9、在ABE 和FDE 中BE =DEAEB=FEDAE=FEABE FDE（SAS）AB=FD ABE=FDEAB=DC FD = DCADC=ABD+BAD ÐADB = ÐBADADC=ABD+BDAABE=FDEADC=ADB+FDE即 ADC = ADF在ADF 和ADC 中AD=ADADF = ADCDF =DC ADF ADC(SAS)AF=ACAC=2AE小结:熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。练习：如图所示，AD 是ABC 的中线

10、，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AC=BF。求证：AE=EF。证明：延长 AD 至点 G，使得 DG=AD，联结 BD在ADC 和GDB 中AD=GDADC=GDBBD=DCADC GDB（SAS）得 AC= BG CAD =BGDAC=BFBG= BF BFG=BGFCAD =BGDBFG= CADBFG=AFEAFE=FAEAE =AFB、借助角平分线造全等如图，已知在ABC 中，B=60°，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD证明：在 AC 上截取 AF=AE在ABC 中，B+BAD+ACB=180°B =60 °B

11、AD+ACB=120°AD 平分BAC中BAC= 2OACCE 平分ACBACB= 2ACO2OAC+2ACO=120°（ASA）OAC+ACO=60°AOE=OAC+ACOAOE=60°在AOE 和AOF 中AE=AFEAO=FAOAO = AOAOE AOF（ASA）AOE=AOEOE=OFAOE=60°AOE+AOE+FOC=180°FOC=6O°AOE=CODCOD=60°在COD 和 COFDCO =FCOCO=CODOC=FOCCOD COFOD =OFOE=OFOE=OD如图，ABC 中，BAC=90

12、 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD=2CE证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。【小结】解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。C 旋转例1：如图，已知ABC=DBE=90&

13、#176;，DB=BE，AB=BC(1)求证：AD=CE，ADCE(2)若DBE 绕点 B旋转到ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明（1）证明：如图1ABC=DBE=90°，ABC-CBD=DBE-DBC，即ABD=CBE在ABD和CBE中ABBCABDCBEBDBEABDCBE（SAS），AD=CE，BAD=BCEAGB与CGF是对顶角，AGB=CGFBAD+AGB=90°，GCF+CGF=90°，CFG=90°，ADCE；（2）AD=CE，ADCE，理由如下如图2：ABC=DBE=90°，ABC+CBD=DBE+DB

14、C，即ABD=CBE在ABD和CBE中ABBCABDCBEBDBEABDCBE（SAS），AD=CE，BAD=BCEAGB与CGF是对顶角，AGB=CGFBAD+AGB=90°，GCF+CGF=90°，CFG=90°，ADCE例2 .如图在 RtABC 中,AB=AC,BAC=90°,O 为 BC 中点. (1)写出 O 点到ABC 三个顶点 A、B、C 的距离关系(不要求证明)(2)如果 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,在移动过程中保持 AN=BM,请判 断O M N的形状,并证明你的结论（1）在RtABC中，BAC=90°，O为BC

15、的中点，OA= 1/2 BC=OB=OC所以 OA=OB=OC（2）OMN是等腰直角三角形理由如下：连接AOAC=AB，OC=OBOA=OB，NAO=B=45°，在AON与BOM中AN=BMNAO=BOA=OBAONBOM（SAS）ON=OM，NOA=MOBNOA+AOM=MOB+AOMNOM=AOB=90°，OMN是等腰直角三角形D、截长补短例1 如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，求证;ABAC+BD分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题

16、，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF在ACE和AFE中ACEAFE（SAS）ACBD6=D在EFB和BDE中EFBEDB（AAS） FB=DBAC+BD=AF+FB=AB ；法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点FACBDF=3在AEF和AEB中AEFAEB（AAS）AB=AF，BE=FE在BED和FEC中 BE

17、DFEC（ASA） BD=FC AB=AF=AC+CF=AC+BD。例2 如图，在ABC 中，ABC=60°，AD、CE 分别平分BAC、ACB，求证：AC=AE+CD证明：在AC上取AF=AE，连接OFAD平分BAC、EAO=FAO，在AEO与AFO中，AEAFEAOFAOAOAOAEOAFO（SAS），AOE=AOF；AD、CE分别平分BAC、ACB，ECA+DAC=0.5ACB+0.5BAC=0.5（ACB+BAC）=0.5（180°-B）=60°则AOC=180°-ECA-DAC=120°；AOC=DOE=120°，

18、AOE=COD=AOF=60°，则COF=60°，COD=COF，在FOC与DOC中，CODCOFCOCOFCODCOFOCDOC（ASA），DC=FC，AC=AF+FC，AC=AE+CDD、过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交 BC 于 D，若 EB=CF。求证：DE=DF。证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G，则EGB=ACB，又 AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF， G EB=EG=CF，EDB=CDF，DGE