2019年高考秘籍-破解导数压轴题策略：5.导数不等式的证明-多元不等式策略(2)

1、1【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用 体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽 象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。即使如此，只要我们深入去探索，总有方 法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！放缩法的合理使用， 往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不 能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不 容易的事。命题角度 1 构

2、造函数命题角度 2 放缩法命题角度 3 切线法命题角度 4 二元或多元不等式的证明思路命题角度 5 函数凹凸性的应用在求解过程中，力求“脑中有形，心中有数” 依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界 命题角度 4 二元或多元不等式的解证思路【典例 7 7】（20192019 年安庆市二模）已知函数f x = x2ax bl nx，曲线y=f x在点1, f 1门处 的切线方程为y=2x.（1）求实数a,b的值；（2）设F x二f x；-x2，mx R,治必0：为：x2分别是函数F x的两个零点，求证:F、x: 0.【解析】（1）a=1,b-1；（2）f x =x2x-l nx，F x =

3、1mxT nx，F x =m1- ，xi. 1 m / = In x1因为x1,x2分别是函数F x的两个零点，所以，找到结构对等式I 1 m x2= In x2x -x2导数中的不等式证明两式相减，得m，1 =ln x2含In x时两式相减，含ex时两式相比2由上述分析可知FXM: 0 .【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把系变形为齐次式，设t=,t=In空，t =为-x2,t =7 等，构造函数来解决，可称之为构造比较函x2x2数法.思路:因为0 v % 0,X xQ(X)Q(X2)= 0,即证In x lnx2Jx2xF莎 i=m 1X1X2Xj_x2x1x2要证明F一

4、在：0,只需证In为In x21.使用分析法，将待证式变形% -x2思路一：因为0：为：:x?，只需证In为In x2X1X2= 4X1X1X2X2X2x2令t =/虫E(0,1 )，即证2Int-t+1：0.:x2t使用换元法,构造函数121令h t = 2In t t 0：t：1，则h t12 t2： ：0，所以函数h t即证12ln t -t 0.tx1, x2转化为t的函数，常把X1, x2的关设Q x = In x -In x2x一x2亠“丁 (0 x v x2)，则X2X变多元为一元，构造函数X x22、x2x2、x2x - x - x2厶 x2x X.、X2- X2 x2x、x所

5、以函数Q x在0,x2上单调递减,1x2x43由上述分析可知F mx2：0.4【规律总结】极值点偏移问题中，因为两个变量的地位相同，将待证不等式实行变形，能够构造关于Xi（或X2）的一元函数来处理应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明此乃主元法. .即证为2.航，由对数平均数易得In为一In x2【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的则两边取对数，转化为对数 式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法【知识拓展】对于a0,b0,a?b，则a+ b- a ,0b，其中b- a称之为对数2 In b- In aIn b-

6、 In a（下略）【典例 8 8】（A10A10 联盟 20192019 年高考最后一卷）已知函数f x二ex,g x二ax2 bx,a,bR.（1）当b=0时，方程f x g -0在区间0,：上有两个不同的实数根， 求a的取值范围;（2 2）当a= b0时，设x1,x2是函数Fx=fx-gx两个不同的极值点,证明：X1X2In 2a.2X【解析】（1）因为f x i亠g x i=0,所以exax 0,即-a=与,xX设h x = 2x 0，则hx二x当x 0时，h x,当x上时，h x：，、e2e2要使方程f xg x =0在区间0,亠i上有两个不同的实数根，贝V-a，解得a：44思路三:要

7、证明F XjX2:：0，只需证In为In x2Xl_ X2平均数. .简证如下:不妨设b = ax(x 1),只需证明也U,.X即可,2 In x即2(x- 1) Inx x+1x- 1Xx-2 ex3X变量分离，转化为函数性质的研究所以h x在0,2上单调递减，在2,=上单调递增,2eh x -h 2 =4故a的取值范围是oO45exex【一题多解】本题也能够变形为ax，转化为过原点的直线y二ax与函数y图象有两xx个交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点（2）由题意，F x =ex_ax2-ax，F x =ex_2ax-a，因为xux2是函数Fx二fx-gx两个不

8、同的极值点,不妨设 ：x2，F % = 0, F x2=0，即e51-2a% -a二0,ex2-2a/ -a = 0，% _x2K *2:ln 2a,即证明e2: 2a,xi x2ex _ex2生二生ex _1只需证e2:-，即e2: -1% 屜x2令却 空=t：0,只需证当t : 0时，不等式2te e2t1 0恒成立，2设Q t =2tet-e211 t : 0，贝V灵活换元，构造函数Q t =2 t 1 e2e2t=2ett 1話,易证tett : 0，所以Q t : 0,所以Q t在：,0上单调递减，Q t Q 0=0，即2tet-e2t10.综上所述，x12:ln 2a成立.【审题点

9、津】函数的拐点偏移问题的证明思路能够根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题1【典例 9 9】（20192019 届合肥三模）已知函数f xi=ex-?x2-ax有两个极值点x，x（e为自然对数的 底数）. .（1 1）求实数a的取值范围；（2 2） 求证：f X1f x22. .1解析：（1 1）因为f x二ex-x2-ax，贝yfxi；=ex-x-a,XiXi卷两式相减得2a=e剖析结构特点，灵活变形分析法是证明问题的重要方法旳2，亦即为 -x2-e51210.6设g xi=f xi=exxa，贝U g xl=ex1. .7令g x =e-仁 0，解得X =0.所以当x,0时，g x : 0；当x0,=时，g x . 0.所以gxmin二g0Ja.1当a 2，只需证f -x2f x2i2,即证e e_x2- 2 0.利用单调性放缩，化多元为一元设函数k x二ex e* -x2-2,i0, ，则k x = ex-e* -2x.设二k x二ex-e* -2x，则x二exe* -2 0,所以x在0, *上单调递增，:x八订0 =0,即k x 0.8所以k x在0, :上单调递增，k x k 0 =0. .故当xw 0, :时，exe