大二下复习数值分析712newton cotes求积公式

1、第七章微积分的数值计算Numerical differentiation AndNumerical integration§7.1基本概念Basicconcepts求函数 f(x)a,b在区间上的定积分bI = òf (x)dxa是微积分学中的基本问题。n 传统的困境n 数值积分的基本思想n 数值积分的形式n 代数精度问题返回章的困境 Difficulties传统bò=(f)(x) dx对于积Ifa由Newton - Leibniz公式有如果知道f (x的)原函数F(x)则,bòb(xF) =dx( x=F (-f)b)F() aaa但是在工程技术和科学

2、研究中,常会见到以下现象:(1) fx(的,只给出了f (x的)式根本不一些数值(2) fx(的原)函数(F) x求不出来,如F( x不)是初等函数(3) fx(的表)达式结构复杂,求原函数较The definite integral of a function has no explicitderivative orderivativeis not easy to obtain.So the Newton-Leibnizprinciple is not suitable to be used.分以上这些现象, Newton-Leibniz很难发挥作用!只能建立积分的近似计算-数值积分正是为解

3、决这样的而提出来的， 不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。数值积The ideas基本思想numerical integration数值积分是计算定积分的具有一定精度的近似值的各种计算。从几何上看，就是计算梯形面积的近似值。分的of由积分中值定理知，在积分区间 a成立b 内一点，,xòxf (=xDxi(f) x dD)x, =x -xi-1iiiixi -1所以nb) =dxå fi =1) = òf( xi)DxiI(f(xa6xi问题在的具置是不知道的，因而难以x准确算出 f ()的值.x这样，只要对平均高度 f () 提供一种算法，相应地便获

4、得一种数值求积.The goal is to approximate the definite integral of f(x) byevaluating f(x) at a finite number of nodes.最简单的办法，是用许多小矩形之和近似梯形的面积，如图7-0所示，这就是矩形公式：7yf(x)(1)f0f1f2fifi+1fnfn-1xa=x0x1x2xn-1xixi+1xn =bRectangular rule:图7-0矩形规则n-1nbf ( x)dx » å f ( xi )h = å Ai fiòai=0i=0(b - a)A

5、0 = A1 = A2 = L = An-1 = h = 0, Ann如果许多小梯形之和近似梯形的面积，如图7-1，就会更精确些，这就是梯形公式。yf(x)f0f1f2fifi+1fnfn-1xa=x0x1x2xn-1xixi+1xn =b图7-1梯形规则Trapezoidal rule:f0 + f1 h + f1 + f2fn-1 + fnbòf (x)dx =h +L+h222a+ fn-1fn+ hå fi= åAi= h0nfi(2)2i=1i=0= 1 h, A = A= 1 h=L= A= h, AAn-1012n22数值的形式Teral formu

6、la数值积分的形式是：nbf ( x)dx = å Aiò+ Rn(3)fiai=0其中，fi-是函数f(x)在节点 xi上的函数值，它可能以列表形式给出，也可以是由函数的式计算出的函数值；-称为节点 xi 上的权系数。Ai 正是由于权系数的构造不同，从而决定了。插值型求积公式 The quadrature by interpolingpolynomial最常用的法是利用插值多项式来构造求积公式,具体步骤如下:在积分区间 a , b上取一组节点ab作f( x )的次n 插值多项式不同的n= å f(L(xn)k x ) kl (x)插值有不同的k =0函基数k =

7、0其(中l ：)(x, L1,为n ,插值) 基函数k用L n(x作)b为被积函数f(x)的近似 有,nbbåòòò»= f(x) dxn(x)fLdx(kl)k (x)xdxaaak =0n=f å(xbk ) òlk (x)dxak =0b= òl若记A(k x )，dx 则kanb) d»x å)Ak 1f= òfIf(xxk()ak =0(1)为数值求积公式. Ak为求积系数,且仅与求积节(结)点xk有关.nR f = I f - å Ak f ( xk )(2)k

8、=0 称为求积。ìbòI f =f ( x)dx = I+ R f ïnaïn= å AkïInf ( xk )插值型求积公式ïk =0íbòï Ak=lk ( x)dxïaïR f =1bò( n+1) (x )wf( x)dxïîn+1(n + 1)!a若f 为次数 £ n的多项式, 则f (n+1)(x)=0,从而R f = 0nnbf ( x)dx = å Ak f ( xk )ò此时ak =0因此定义代数精

9、度的概念:Thedegreeofprecision定义1.若求积公式n» å Abò) = II ( f ) =f (x( f )f (x)dxkknak =0对任意次数不超过m次的代数多项式Pi ( x)(i £ m)都准确成立,即nbdx = å Ak Pi ( xk )òi = 0,1,L, mP( x)iak =0但对m + 1次多项式却不能准确成立,即只要nbåòm + 1A xm + 1¹xdxkk代数精度也称ak =0代数精确度则称该求积公式具有m次的代数精度.定理1形如（1）的求积公式至少

10、有n 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.事实上，这时公式(1)对于插值基函数lk ( x)应准确成立，即有nbåj = 0ò=l k ( x ) d xAj l k( x) .jalk ( x j ) = d kj ,注意到因而bòAk=lk (x)dxa16注1注2梯形公式具有一次代数精度，矩形公式具有0代数精度.能利用代数精度定义满足的条件，可以构造具有一定代数精度的数值积分公式。欲使求积公式(1)具有m 次代数精度，则只要令它对 f ( x ) = 1,2,L , x m都准确成立，就得到nåk = 0n=b - a ,Akì&#

11、239;ïïíïïïïî12å=- aAkx k( b),22k = 0L L L L L Ln1åk = 0Ak x k=- a+ 1 ( b).m + 1m + 1mm17 例1. 试确面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.hhò f ¢(0) - f ¢(h) = I1( f )I ( f ) =)dx » f (0) + f (h) + ah22f (0hò= h= h对于 f ( x) = x00IxdxI102= h2h对于 f (

12、 x) = x1hò=I1=Ixdx1220= h3hò对于 f ( x) = x2I =2x dx30h31I1 =+ ah0 - 2h2= (- 2a)h3221a =令I = I112x3对于 f ( x)444hhhhò=I1 =+ ah0 - 3h22I =3x dx4420对于 f ( x) = x45h55= h= hhòI =x dx =4+ ah20 - 4h3 I51602I (x j ) = I (x j )1j = 0,1,2,3因此I (x4 ) ¹ I (x4 )1所以该积分公式具有3次代数精确度1、Newton-C

13、otes数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式)ÎC a,设f函数(xb将积分区间a,b 分割为 等n份a=+ , kh0= ,k 1L, n,各节点为xk-其中h =ba为步长nf (x的)Lagrange插值多项式及分别为n + 1( )xf()wn= åk =0x Î a=,b L (xn)k x ) kl (Rx)n(x)n + 1(x )n +1()!-xxjnÕwn(+x )=l k()其中-xx0£ j£ni =0kjj ¹ k=Ln(x )+(x

14、)R()x而fnbò=(f)(x) dx因此对于定积分Ifabbòò=R+) = fI有(f(x) dxLx()( x)dxnnaanbbbå(x) = òfò) =dxòf+n( x)I(f(xkl)k (x)Rxdxdaaa k =0nb= åAò+n( x)(f)Rdxxkkak =0bbÕòò=(kx )其A中ldxkaa0£ jj ¹ kn= å令I( f)f(x)An阶Newton-Cotes求积公式nkkk =0b= òR

15、R(In)( x )dNxewton-Cotes公式的(误差)na=If )+f ) »即有I ()n(Rn(I )I(In(f )fAk的计:注意是等距节点bbÕòò= l=(kx )Adxkaa0£ j¹jk假x设=+可知t Î 0th 由xa ,ba,næön ç) h÷- j(tbòç ÕÕòA=÷h×× dtk =- j£k(n) ÷h0a 0£ jç &#

16、163;0 jèøj ¹ kj ¹ k-) k òn Õt (= h×(-1n-j) dtk! × ( n-k)!0 0£ j£nj ¹ k-1nka) ( ×)nò Õt (=-j(b) dt×!k ×(n -)k!0 0£ jn£n¹jk=e- a )(×n )Cb(A(tn )称为so区间Cba,.C,立独于kkk所以Newton-Cotes公式化为nn) = åAkåf

17、( bk=(x)a -( n)( fn)(fk)xICkk =0k =0表7 - 125nC ( n)k13567814525288961442884199941840352801052803584075135771323298929891323357775117280172801728017280172801728017280172809895888- 92810496- 454010496- 928588828350283502835028350283502835028350228350989283502、低阶Nton-Cotes公式及其在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的

18、公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式(1).梯形(trapezia)公式及其=1x则a0 =x , 1 = b,= h -n,ba取11òCotes系数为( =1-1- d)t)=(tC020= 11ò)=(1tdtC120求积公式为4.51a -) å4I 1(fb=)(C1)(f)x3.5kkk =032.5=b-a+ f (0)f ( 1)xx221.51- f af )=b +(a )f (b )0.5即 I (120-0.500.511.5-)f =(ba)=+I(Tf (a )f (b )12梯形公式的bòT ) =1( x)R(R(

19、1I)Rdxa( n + 1)(x )f(n + 1)! wn + 1 ( x)Rn ( x) =f ¢ (x )bòR(T ) =(x - a)(x - b)dx2a第二积分¢hf ()bò中值定理=- a)(- b)(xxdx2a= - f ¢(h) (b - a)3h Îa,b26(b - a)3|R(T )|£M 2 = max| f ¢( x)|M 2故12xÎ a ,b 梯形(trapezia)公式具有1次代数精度(2).Simon公式及其+-b =ab=a取n =2, x则=a,xx,b,h

20、01222(1- 2 d=)t 12t1-òCotes系数为C( =2)( t0460)= - 142tò( t- 22d) t= 6C(210112ò2=)-1t )d=t(C( t2460求积公式为2a -) åfb=)(C2)(f)xI2kkk =0f146)x +1 (bf )=(-( x +)(Ia)(ff)x01226653. Simpson公式的352. bò=R=2( x)dxR (S )R( 2I)2a51. 1=)50. 0-0 . 5050. 151. Simpson公式具有3次代数精度上式称为Simpson求积公式，也称

21、三点公式或抛物线公式记为S= I2(f)54. 4(3). Cotes公式及其-ban取=则k= a ,+1k= L, h4=4x,kh0,41d=t 74òC(4( )=1 t -2-)(-)() t (3t4)tCotes系数为0× 440!901d=4t 324òC(4=)-( × tt2- 3-)( tt )()1430!90 1124ò1t - )C(4)=( t- 3-d=4t× (tt )()2 42!×20!901d=4t 324òC(4=)-( × t1t - 2t )( -)( t)3

22、430!901d=t 7 4òC(4=)-( × t1t - )- 2t )( -( t3)4440!90bf7(4å (C4 ) (f)xkkk =0a=(-f )7()+ 32 ( x)+ 12 (f)x+ 32 (f)+ 7 ()x0f123x49090909090()x 7记为C=I4()fCotes公式的bR (C ) =R( 4=R)I òa4( x) =d)Cotes公式具有5次代数精度求积公式为I 4(bf=()a -)的有Knbò)x( w x)n+K2(f)=f(=<dx0=()!R (),x,n 2nnn +2aKn

23、bòn+1(K)x= (wf)= f(<dx0=-()!R (),)x,n2knnn +1a因此，N-C积分，对偶数有n+1 阶代数精度，而奇数为n 阶代数精度33常用的NC公式3f (x)dx = h ( f+ f ) - hxòf ¢¢(x )n = 1 (梯形)101212x0h5h3x2ò(x )n = 2 (Simpson)=+ 4 f1 + f2 ) - 90 f(4)f (x)dx( f0x 03h53h x3ò(x )n = 3 (Simpson3 - 8)f (x)dx =+ 3 f1 + 3 f2 + f3

24、) - 80(4)( f0f8x08h72hx4ò(x )n = 4 (Cotes)f (x)dx =(7 f (x0 ) + 32 f (x1) +12 f (x2 ) + 32 f (x3 ) + 7 f (x4 ) - 945 f(6)45x0-a)=, h =(b表中a,+ihf ( = )f=iL0xx(,1,n,)iiin观察这些公式的代数精度次数，自然会得出结论：1.梯形规则简单，有1次代数精度；2.再增加一个节点，就是具有3次代数精度的Simpson规则；3.而Simpson3-8规则又增加一个节点，精度却没有提高。所以，人们只用到前两个。Cotes系数的性质:A =

25、 (b - a)C(n),(k = 0,L, n)1.kk求积公式对f ( x) º 1准确成立.因此 2.nå Akbò=dx =b - aak =0n1nåå=A = 1( n )C即kkb -ak =0k =0当A > 0 Û C(n) > 0(k = 0,L, n)3.kk三、Newton-Cotes公式的性(舍入误差)考察Cotes系数-) k-1 n(nÕt (ò( n )=n× !k ×(-j) dtCkn -)!k00£ j£nj ¹ k

26、只与积分区间a, b 的 节点 j的x 划分有关,(x无)与函数f关其值可以精确给定因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由函数值f (xk的)计算引起只需讨论f (k )的舍入误差对公式的影响假设f (xk )为值,而以f (xk )作为f (xk )的近似值(计算值)ek= f ( xk ) -f ( xk ) 为误差nå= (b - a)( n )为In的近似值(计算值)I( f )f ( x)C记nkkk =0nå( f ) =(b -( n )a)f ( x)IC而理论值为nkkk =0In与In的误差为nå( f ) - I= (b

27、- a)C f ( x ) - f ( x )( n )I( f )nnkkkk =0nå( n )eIn - I=- a)(bCkkk =0n£ (b - a) åIn - IneC( n )kkk =0n£ (b - a)e åe = max|eC( n )|kkk =0若"k £ n , C(n) > 0,有knåeIn - In£ (b - a)( n )Ckk =0nå= 1(n)k= (b - a)eC性质：k =0ae)£(b-I n-In即-s公式的舍入误差只是函数值误差的(ba倍)Newton-C即"k£n,( Cn )0时>N,ewton - Cotes公式是的k事实上, 当n <8时，公式都是的若 C(n 有)正有负,有knnå-a e)-a e) å k C( nC)b(ae)³b( n)=(b-kk =0k =0此时,公式的性将无法保证 因此,在实