中西校-高二-空间向量及其运算

1、第三章 复习课: 空间向量与立体几何（1）教学目标重点：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面平行和垂直关系并能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，能利用向量求点到平面的距离难点：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量，时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补易错点：忽视异面直线所成角的范围.教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用自主探究点：利用不同的方法判断直线和平面平行的位置关系；能根据平面的法向量所成的角准确判断

2、二面角的大小；基向量法的熟练应用.考试点: 用向量方法证明直线和平面间的位置关系；用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角等空间角的问题；空间中点到平面的距离问题空间向量在立体几何中的应用直线的方向向量以及平面的法向量的概念利用向量证明空间中的平行关系利用向量求空间中的角异面直线所成的角直线与平面所成的角直线与直线平行直线与平面平行二面角的平面角利用向量证明空间中的垂直关系直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面平行利用向量求点到平面的距离一、【知识结构】二、【知识梳理】1直线的方向向量和平面的法向量的概念（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两

3、点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量（2）平面的法向量：l是平面的一条垂线，则l的方向向量就是平面的一个法向量平面的法向量可利用方程组求出：设， 是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1l2(或l1与l2重合) (2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则l或l存在两个实数x，y，使xy(3) 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l或l(4) 设平面和的法向量分别为和，则3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1l2

4、0(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l(3)设平面和的法向量分别为和，则，04用向量求空间中的角(1)异面直线所成的角设异面直线l1，l2的方向向量分别为和，则l1与l2的夹角满足cos (2) 平面的斜线和平面所成的角如图1，设直线l的方向向量和平面的法向量分别为，则直线l与平面的夹角满足sin =图1图2(3)二面角的平面角(i)如图2，AB、CD是二面角­l­的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小,(ii)如图3或图4，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足图5cos cos,或cos cos,图4图35点到直

5、线的距离的求法（了解）如图5，设MN为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则M到平面的距离d,就是斜线段在法向量方向上的正投影,由 得距离公式：d三、【范例导航】例1 已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_【分析】设， 是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求平面的法向量的方程组为，向量方向的单位向量为【解答】设平面ABC的法向量由得 令z1，得，又平面ABC的单位法向量为【点评】方程组中含有一个自由未知数，若令z为自由未知量，给z任意赋一个非零的值都可以得到平面的一个法向量，这些向量是共线向量变式训练:已知平面过点，平面的法向量为，则下列点在内的是（ ）A B C

6、D 答案：若点 在内，则,代入经验证答案A满足2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M平面EFB1答案：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，若D1M平面EFB1，则只需向量是平面EFB1的法向量即可，设正方体棱长为2，则， ，设，则，由D1M平面EFB1，则， 解得： 所以当点M是BB1的中点时，满足D1M平面EFB1例2如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点求证：平面【分析】利用向量作为工具证明线面平行问题可以选择的方法较多，可以用共线向量定理，找平面内的与已知直线平行的直线；也可以利用共面向量定理证明直线

7、的方向向量与平面内两个不共线的向量共面；还可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明直线与平面平行【证明一】记，则，共面又平面，平面【证明二】以,为正交基底，建立空间直角坐标系，则，,，AM不在平面BDE内，AM平面BDE【证明三】证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系，则,，AM平面BDE【证明四】以,为正交基底，建立空间直角坐标系，则，,，设平面BDE的法向量为，令c=1，则a=，b=，AM不在平面BDE内，AM平面BDE【点评】证法一用空间向量的线性运算，利用共面向量定理证明线面平行；证法二利用空间向量的直角坐标运算，得出，从而利用共面向量定理证明线面平行；证法三用空间向量的直角

8、坐标运算，利用共线向量定理，找到平面内与AM平行的直线，从而证明出线面平行；证法四利用空间向量的直角坐标运算，通过证明直线AM的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行这几种方法都是我们经常使用的通用方法变式训练：如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点求证：PB平面EFG.证明：平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形，AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0

9、,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)，设，即s， 解得，又与不共线，、与共面PB平面EFG，PB平面EFG例3 如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,是上的一点,.(1)证明:平面；(2)设二面角为,求与平面所成角的大小.【分析】本题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，适宜建立坐标系，运用向量知识加以证明和求解. 解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则,设，,. (1)证明:由得, .,所以平面；(2) 设平面的法向量为,又,由，得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解

10、得. 所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为. 【点评】从几何体的特征来看 ,是个特殊的四棱锥，底面是特殊的菱形,一个侧棱垂直于底面,本题创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此使用空间直角坐标系解决该问题较好，另外，利用向量方法解决第二问时，利用面面垂直，它们的法向量互相垂直的条件求出面的法向量，再进而求出直线与平面所成的角，充分体会向量方法在解决立体几何问题中的应用，很有训练价值. 变式训练：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（1）证明：AE

11、PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值（1）证明：由四边形ABCD菱形，ABC=60°，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC又BCAD，因此AEAD 因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以AE平面PAD， 又PD平面PAD. 所以AEPD.（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH由（1）知 AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即当AHPD时，EHA最大此时

12、tanEHA=，因此 AH=又AD=2，所以ADH=45°，所以PA=2.由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以，所以， 设平面AEF的一法向量为，则 因此取，则因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故为平面AFC的一法向量. 又=，所以，即所求二面角的余弦值为【点评】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角例4在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SA

13、C平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点B到平面CMN的距离【分析】根据几何体的特征，可以考虑建立空间坐标系，利用向量法求距离，距离公式不要记错，点B到平面CMN的距离为平面的一条斜线MB在平面的法向量方向上的投影长【解答】取AC的中点O，连接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系O­xyz，则， ， 设为平面CMN的一个法向量，则 取z1，则x，y，点B到平面CMN的距离 d【点评】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出

14、于几何法，如本题，事实上，作BH平面CMN于H由以及，得，所以，即d变式训练：已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点，若点到平面的距离为，求正四棱柱的高解：建立如图空间直角坐标系，有， ，设平面的一个法向量为，取，得点到平面的距离为，则四、【解法小结】1通过这节课的复习，我们要能够利用直线的方向向量和平面的法向量解决线线、线面和面面间的平行与垂直问题；会利用向量求空间中的角，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角；会利用向量求空间中点到平面的距离2证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平

15、面外即可这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题3证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明4(1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系；(2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系；（3）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角五、【布置作业】必做题：1(2009·全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C

16、1D1中，AA12AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 2(2009·浙江高考)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 3(2010·江苏苏北三市模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD90°，PA平面ABCD，AB1，AD2，PACD4. (1)求证：BDPC；(2)求二面角BPCA的余弦值必做题答案：1 260° 3二面角BPCA的余弦值为选做题：1如图，在四棱锥中， 底面为矩形， ，为线段上的一点，且， （）当时，求的值；（）求直线与平面所成的角的正弦值.1.解：（I）以为原点，以,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设,则,又设，则：,由,可得，解得又 （2）由（1）知面的法向量为又因为设与面所成的角为，则：， 所求与面所成的角的大小为2（2012年高考（福建理）如图,在长方体中，为中点.(1)求证:(2)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长；若不存在,说明理由.(3)