三角恒等变换、正余弦定理及应用5—7讲

1、第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切【2013年高考会这样考】1 考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值.2利用三角公式考查角的变换、角的围.【复习指导】本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称 的技巧等. ” K.AOJI2IZHLJ DAOXU E - 101 * 考基自主导学基础梳理1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) C( a B):cos(aB )= cos_acos_ B+ sin_ a sin_B；(2) C( a

2、+ b):cos(a+B )= cos 一 acos_ B sin a sinB;(3) S( a + B):sin(a+B )= sin acos 一 B+ cos 一 a sinB；(4) S( a b):sin(aB )= sin_ acos_B cos_ a sin_B;tan a + tan BT(a + B): tan( a + B )二 i tan a tan B ；tan a tan B丁( a b ): tan( a B )=.1 + tan a tan B2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) S 2 a: sin 2 a = 2sin_ a cos_ a ；(2) C

3、2 a: cos 2 a = cos2 a sin 2 a = 2cos2 a 1 = 1 2sin 2 a ；(3)T 2 a :tan 2 a2ta n a1 tan2 a3. 有关公式的逆用、变形等(1)tan a ± tan B = tan( a ± B )(1 ? tan_ a tan_ B )；21 + cos 2 a(2)cos a =2，.21 cos 2 asin a =2；(3)1 + sin 2 a = (sin a+ cos a )2,1 sin 2 a= (sina cos a )2，sin a ± cos a = 2sin丄n a &#

4、177;.44. 函数 f( a ) = acos a + bsin a (a, b 为常数)，可以化为 f ( a ) = . a2+ b2si n( a + )或f( a ) = .;a2 + b2cos( a © )，其中©可由a, b的值唯一确定.助修做傅两个技巧(1) .拆角、拼角技巧：2. a.亍(a.土一A). + (. _a _.p_.).；.a._=(.a_.±._p_).卫.a+B aa +B(2) .化简技巧：切化弦.、-“ 1 ”的代换等.三个变化(1) .变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2) .变名:通过

5、变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降 幂”等.变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通 常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.双基自测11.(人教A版教材习题改编)下列各式的值为4的是()A.2 n2cos 12 一 1B. 1 2sin 2752tan 22.5 °C 1 tan 222.5D. sin 15 ° cos 152 nn- ： 3解析 2cos 12 1 = cos_6 = "2-21 2sin 75°= cos 150

6、2tan 22.5 °1 tan222.5 °tan 45 ° = 1 ； sin 15 ° cos 151=qsi n 30答案Dsin 2 a2. (2011 )若 tan a = 3,贝U2的值等于().cos aA. 2 B . 3 C . 4 D . 6小丄厂sin 2 a 2sin a cos a丄丄解析 2=2= 2tan a= 2x3 = 6,故选 D.cos acos a答案D3.已知sin3,则 cos(-2a )等于()19 C.解析cos(n 2 a ) = cos2=(1 2sin2a ) = 2sin2 a 1= 2X9 1

7、=19.答案B4. (2011n-)设 sin -4 + 013,7A 9C.D.解析sin 2=cos2 0 = 2sin1= 2X 3 2 1 =79.答案A5. tan 20+ tan 40+ ；'3ta n 20tan 40解析I tan 60=tan(20 ° + 40tan 201 tan 20+ tan 40 tan 40 ° ， tan 20+ tan 40= tan 60(1tan 20 ° tan 40 ° ) = ' 3 - 3tan 20 ° tan 40 °,原式=3 '3tan 20

8、 ° tan 40+ 3tan 20 ° tan 40 °= ,.''3.答案-3矗托 KAaXIANIi&TAN JIUDAOXI 02 * 考向探究导析考向一 三角函数式的化简4212cos x 2cos x+【例1】?化简n.2 n2tan x sin + x44审题视点切化弦，合理使用倍角公式.2 2 12sin xcos x+ ?解原式=n2 n2sin x cos x442 1 -sin22x2cos2x2sinnn.a - XCOSR - X sin1=2cos 2 x."；汀用三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(

9、1) 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2) 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分 析结构特征，找到变形的方向.【训练1】化简:sin a + COS a 1 sin a COS a + 1sin 2 aa a2 aa a2 a2sin cos 2sin 兀 2sin co + 2sin -y解原式= aa4sin cos cos a22acos-aaaa sincos：- + sin sin -2222acosycos a2 a2 a aacos sin sin cos a sinco2 cos

10、acos2a=tan2 cos(考向二三角函数式的求值【例2】?已知ovnV"2 V a Vn，且 cos a的值.审题视点拆分角:Ba利用平方关系分别求各角的正弦、余弦.卄n解 tov B V V a Vn，n an nB 7V 7 B V 7，-4V a 刁 Vn，2 a5cos B =1 Sin 2 B ，a + Bcos2= cos aBa=cos a 2 cos "2a-B2sin a-B=9 Xf + T3= 27,2 a + B cos( a + B ) = 2cos249 X 52391 = 2X -72T1729S忘三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知

11、角表示:已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差.已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.【训练2】已知an0, y , sin45, tan( a B )g,求 cosB的值.n< 2 ,又 I tan(1 210cos2 a B二 1+ tan (a B )cos( a B )=器,sin( aB )=.10V0.又vsin a= 5,53-cos a =-.5cos B = cos a ( a B )=cos a cos( a B ) + sin a sin( aB )=3X +4x5105105010苛.考向三三角函数的求角问题【例3】?已知co

12、s13 厂cos( a B ) = 14,且 0< B < an 亠<3，求 B .审题视点由cos=cos a ( a B )解决. 0< a B <nn.又 V cos( a B ) = 14,1cos a 7,nB < a <2,sina-sin( a 一 B f 1 一 COS a 一 B14，COS B = cos a ( a B )=cos a cos( a B ) + sin a sin( aB )13 4羽 3羽 1 14+ X IT=2.nntOv B vy. B =亍m 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已

13、知正切函n数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的围是0,，选正、n n余弦皆可；若角的围是(0，n )，选余弦较好；若角的围为 一，2，选正弦较好.【训练3】 已知a , B n n2，且 tan a，tan B 是方程+ 3 3x + 4 = 0的两个根,求a + B的值.解 由根与系数的关系得：tan a + tan B = 3 3，tan a tan tana v 0， tan B v 0， 一 nV a + B v 0.又 tan(tan a + tan B 3.3-a tan B 1 4 3.2n考向四三角函数的综合应用【例 4】? (2010 )已知函数 f

14、(x) = 2cos 2x+ sin 2x.(1) 求f n3的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值.审题视点先化简函数y= f(x)，再利用三角函数的性质求解.解(1) f n = 2cos2n+ sin 2_n3实用文档 f(x) = 2(2cos2x 1) + (1 COS2X)2=3cos x 1, x RI cos x 1,1,当COS x =± 1时，f (x)取最大值2;当cos x = 0时，f (x)取最小值一1.需"高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为y二Asin(

15、co x+© )的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.【训练4】 已知函数f (x) = 2sin( n x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；n n 求f (x)在区间上的最大值和最小值.解: f (x) = 2sin xcos x= sin 2 x(1) f(x)的最小正周期T=今=冗.x< 1. f (x)的最大值为1，最小值为矗片 KAOTIZHUAMXIANGTUPD03 * 考题专项突破难点突破10三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数 的求值、求角

16、问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如 何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法.一、给值求值 一般是给出某些角的三角函数式的值， 求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”， 如久=(a + B ) P， 2a = ( a + B ) + ( a p )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解 时要注意角的围的讨论.ntan x【示例】? (2011 )已知tan X + -4二2,则面亍的值为瞬浜第借隶宿问题时.如果已血祀薮击衣疏求代数式比较复杂要注意先将代数式化简)再比较e纠弐所求之间的联系i二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关

17、键也是变角，把所求角用含已知角的式子表 示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.ii【示例】？ (2011 月考)已知 tan( a B ) = 2，ta n B = 7,且a, B (0 ,n )，求 2a B的值.亠求tan(2a 3)的值:T* 先求 lan a = lanL< a ）十 =laii（ 2ct 用IflTl 2订一 we 21 I Ian0-y < ti G （% 知 a f （。*十）； ftl伽卩=*/ （05匚知$ （予山），7T-O）解此类问题以下两个步骤缺不可：(D据题设条件求角的茶三角两数値八密讨论角的范嗣”必冬时再还需根据已知二.角函数值缩

18、小角的牯国丛呦两崖角的龙小三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选)两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考容，常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向.【示例】？ （2011 一模）已知向量a = （sin 0，- 2）与b= （1 , cos 0）互相垂直，其中0求sin 0和cos 0的值;n 若 5cos( 0 ©) = 3 ,'5cos © , Ov © v2，求 cos © 的值.fl亍宙匚JTh涓飢爲了习C05 J睡鬲莓谿bin1 i? + c

19、os1 J = 1求解. 利用羞角公式展开:(D : d 丄 b, sin JX 1 +C- 21 X cos J = OAiisin2 J+ cqs! v1 1/. 4 co J J+ ucJ Q = =>casf J = +.討吒（Q诗）Tld)宙 5 cos W 1 = 3 /Te &s 訂有，5（:口亍 讥s 订十 $in i'in厂）=3 石"吕=3 JSctys < > cos I.- = 5in 1-.PC Y 亍=r&s - yif嬰剁悉三角公式的整体结构，体会公式间州联系，并会灵活应用.要重视乎面向量的工具i作用 ¥

20、; « S W第6讲正弦定理和余弦定理【2013年高考会这样考】1 考查正、余弦定理的推导过程.2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.【复习指导】1. 掌握正弦定理和余弦定理的推导方法.2. 通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择. ” K.AOJI2IZHLJ DAOXU E - 101 * 考基自主导学基础梳理a b ci. 正弦定理：sn匸亍snB=snnr2R其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1) a : b : c= sin A : sin B : sin C； a= 2

21、Rsin A, b = 2Rsin B, c = 2Rsin C；abc(3) sin A= 2R, sin B= 2R, sin C= 2R等形式，以解决不同的三角形冋题.2.余弦定理:a2= b2+ c2 2bccos A, b)a + c 2accos_ , c = a + b 2abcos_C. 余弦定理可以变形为:2 2 2b + c acos A= 2bc，cos2 2 2 a + c b 吐 2accos2 2 2 a + b c C=2ab13. 5abc= 2&bsin C= ?bcsin A= gacsinabc 1B=4r 2(a+ b+ c) r(R是三角形外接

22、圆半径，r是三角形切圆的半径)，并可由此计算R, r.4.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知 a, b, A,则A为锐角A为钝角或直角图形沦"JIA.|豊关系式av bsin Aa= bsin Absin Av avba> ba> ba< b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，.大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，.正弦值较大的角也较大，即在 ABC中，A> B? a> b? sin A> sin. _ B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题一:.已知两角及任一边，求其它边或角;.一(2).

23、已知 两边及一边的对角，求其它边或角一情况一 (2).中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分，.余 弦定理可解决两类问题一:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;.(2L已知三边，.求各角. 两种途径根据所给条件确定三角形的.形状，主要有两种途径;(1).化边为角；.(2).化角为边，并常用正弦(余弦).定理实施边、角转换一.双基自测1.（人教A版教材习题改编）在厶ABC中, A= 60°, B= 75°, a= 10,则c等于（）A. 5 2B. 10,2C.106D. 5 .6解析由 A+ B+ C= 180°,知 C= 45由正弦定理得:a csin A

24、 sinC即 10 = c. c=10 .63答案C2. 在 ABC 中,卄 sin A cos B 若 =-则B的值为（）A. 30°.45°60°D . 90°解析由正弦定理知:sin A cos Bsin B= cos B, B= 45° .答案B3. （2011 联考）在厶ABC中, a= 3, b= 1, c = 2,则 A等于（）.A. 30°B . 45°C . 60°D . 75°b2 + c2 a21 + 4 31解析由余弦定理得：cosT 0< A<n,.°. A

25、= 60°答案C4.在 ABC中, a = 3 2, b= 2 3, cosC= 1，则厶ABC的面积为（）.A. 3 3 B . 2 3 C . 4 .3 D. 31解析 I cos C= 3, Ov C<n,sinC=乎1 S* 2absin C1_ 2 2=X 3 . 2X 2 3X- = 4 3.答案C5 .已知 ABC三边满足a2 + b2 = c2 3ab,则此三角形的最大角为 解析/ a2 + b2 c2 = 3ab,C a+b -cV3-cos C=飞厂实用文档故C= 150°为三角形的最大角.答案150 °II* <AOXI ANGT

26、 AINJIltJDAOXI 斗八亠一 + “.“.02力考向探究导析晴斬琴向i塞1寧睛考向一利用正弦定理解三角形【例1】?在厶ABC中，a= '3, b= 2, B= 45° .求角A, C和边c.审题视点已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断.解 由正弦定理得a=b，2=,sin A sin B sin A sin 45 sin A=-. a>b,： A= 60° 或 A= 120° .当 A= 60° 时，C= 180° 45°- 60°= 75°,bs

27、in C -6+ 2C= sin B =2； 当 A= 120° 时，C= 180° 45° 120°= 15°，bsin C 寸6寸2c=2.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这 是解题的难点，应引起注意.n【训练 11 (2011 )在厶 ABC中,若 b= 5，/ B= ， tan A= 2，则 sin A=； a =解析 因为 ABC中, tan A= 2,所以A是锐角,sin A22且=2, sin A+ cos

28、 A= 1,cos A联立解得sin A=2,55，再由正弦定理得a bsin A= sinB，代入数据解得a= 2 10.实用文档答案* 2 3 *55 210考向二 利用余弦定理解三角形【例2】?在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且c0SB=吕;.cos c 2a + c求角B的大小; 若b=13， a+ c= 4，求厶ABC的面积.2，利用余弦定理转化为边的关系求解.cos B审题视点由y解(1)由余弦定理知:a2 + c2 b2 cos吐飞厂，2 - 2 2 a + b c cos C=20b -将上式代入C0S B_b得：cos2a + c得:SaABCacsinBa

29、T B为三角形的角，I B= 3 n .将 b= 13, a+ c= 4，2B= 3冗代入 b2= a2 + c2 2accos B， + c2 b22abb-n (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.【训练2】(2011 模拟)已知A, B, C ABC的三个角，其所对的边分别为 a，b，c,且2 A2cos 2+ cos A= 0.求角A的值； 若a= 2 ：'3, b+ c= 4,求厶ABC的面积.”2 A解 由 2cos 2+ cos A= 0,得 1 +

30、cos A+ cos A= 0,1即 cos A= 2，/ 0< Avn,A=2n亍(2)由余弦定理得,b2 + c2 2bccos A, A=2n322则 a = (b+ c) bc,又 a = 2 3 b+ c = 4,有 12 = 4 bebc = 4,1故 Saabc= qbesin A= ' 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】?在厶ABC中，若(a2+ b2)sin( A B) = (a2 b2)sin C,试判断 ABC勺形状. 审题视点首先边化角或角化边，再整理化简即可判断.解 由已知(a2+ b2)sin( A B) = (a2 b2)sin C,2

31、2得 b sin( A B) + sin q = a sin C sin( A B),即 b2sin Acos B= a2cos Asin B,22即 sin Bsin Ados B= sin Acos Bsin B,所以 sin 2 B= sin 2 A,由于A, B是三角形的角.故 0< 2A< 2n, 0< 2B< 2n .故只可能2A= 2B或2A=n 2B,n即A= B或A+ B=2故厶ABC为等腰三角形或直角三角形.-n 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出角之间的关系式；

32、或将条件化为只 含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系.abc【训练3】 在厶ABC中，若= 尸；则厶ABC是().COS A COS B COS CA.直角三角形B等边三角形C钝角三角形D.等腰直角三角形解析 由正弦定理得a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c= 2Rsin C(RABC外接圆半径).sin A sin B sin Ccos A cos B cos C即 tan A= tan B= tan C,. A= B= C.答案B考向三 正、余弦定理的综合应用n【例3】?在厶ABC中，角A, B, C对边的边长分别是a, b, c,已知c= 2, C-3.

33、 若厶ABC的面积等于.3，求a, b； 若 sin C+ sin( B- A) = 2sin 2 人，求厶 ABC的面积.审题视点第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a, b的方程，通过方程组求解；第 问根据sin C+ sin( B-A = 2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关 系，求出边a, b的值即可解决问题.解(1)由余弦定理及已知条件，得 a2 + b2-ab = 4.-1一a + b ab= 4,又因为 ABC的面积等于 3,所以fabsin C= 3,得ab= 4,联立方程组2 wab= 4,解得a = 2, b = 2.(2)由题意，得 sin(

34、 B+ A) + sin( B A = 4sin Acos A, 即 sin Bcos A= 2sin Acos A当cos A 0,即 r 时，B-6，a=当 cos Am 0 时，得 sin B= 2sin A,由正弦定理，得b = 2a.a2 + b2 ab=4,联立方程组b=2a,a= 口3 ，解得一b=矗3 -所以 ABC的面积 S= 2a bsin C= -3-.-n 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题.【训练3】（2011 西城一模）设厶ABC的角A，B，C所对的

35、边长分别为a，b，c,且cos B5,b二2.当A= 30°时，求a的值； 当厶ABC的面积为3时，求a+ c的值.43解因为cos B= 5，所以sin B= 5.103，, 、亠 ab小 a由正弦疋理sin a= sin B，可得sin 30所以a= 5.因为 ABC的面积 S= 2ac sin B，sinB= 3,3所以 10*°= 3，ac= 10.由余弦定理得b2= a2 + c2 2accos B,20.得 4 = a2 + c2 ac = a2+ c2 16, 即卩 a2+ c2=5所以(a + c) 2ac = 20, (a + c) = 40.所以 a+

36、c= 2； 10.矗片 KAOTIZHUAMXIANGTUPD03 * 考题专项突破阅卷报告4忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对,对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防措施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角 条件【示例】？(2011 )在厶ABC中，a, b, c分别为角A, B, C所对的边长，a= 3, b=2, 1 + 2cos( B+ C) = 0,求边 BC上的咼.错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根.实录由 1 + 2cos( B+

37、C) = 0,."1 A n知 cos A= 2，-,a b根据正弦定理s= sinP得:sinB=心=# B#或弓.以下解答过程略.正解在 ABC中, cos( B+ C) = cos A, A= 3 .在厶ABC中，根据正弦定理_a sin_ b A_ sin B，-1 + 2cos( B+ C) = 1 2cos A= 0, sin B=心冷.a 2n5t a> b , B= ;, C=n (A+ B) = n .4 12 sin C= sin( B+ A = sin Bcos A+ cos Bsin A22+ 224. BC边上的高为bsin C= -2x亠6+严=号.

38、【试一试】(2011 ) ABC的三个角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B+ bcos2A=2a.亠b(1)求 a；实用文档若 c2= b2 + ,'3a2，求 B.尝试解答(1)由正弦定理得，sin 2Asin B+ sin Bcos2A= . 2sin A,即sin B(sin 2A+ cos2A) = ：'2sin A.b故 sin B= .'2sin A,所以-=2.甲a v(2)由余弦定理和 c = + .'3，得 cos B=2C.由 知 b2= 2a2,故 c2= (2 + ,；3)a2.可得 cos?B=舟，又

39、cos B>0,故 cos B=¥，所以 B= 45第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.【复习指导】1 本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2 加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力. < KAOJI2IZMIUDAOXUE “ +一“ £ 八一一 金一"八八八01 考基自主导学曲腐蛊庄数学相尹基础梳理1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理

40、问题等.2实际问题中的常用角(1) 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2) 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a (如图(2).(3) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°,北偏西45°,西偏东60°等.(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.肋愆博一个步骤解三.角形应用题的一般步骤一:(1) 阅读理解题意，弄清问题.的实际背景，明确已知与未知.，理清量与量之间.的关系.一(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3) .根据题意

41、选择正弦定理或余.弦定理求解:(4) .将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题-中的有关单位问题、近似计算的要求等:两种情形解三角形应用题常有以.下两种情形(1) 实际.问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解，(2) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形.，这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量.，从几个三角形中列出方程(组).，解方程(组)得出所要求的解:一.双基自测数学1618 .shuxue1618. 为您分享 此文档，更多高质量素材尽在数学1618A所在的同侧河岸边选定

42、一点C,A, B两点的距离为().1. (人教A版教材习题改编)如图，设A, B两点在河的两岸，一测量者在 测出AC的距离为50 m,Z ACB= 45°,/ CAB= 105°后，就可以计算出A. 50 2 m B .50 3 m C . 25 2 m D.解析由正弦定理得AB ACsin / ACB sin B又 B= 30°AB=AC- sin / ACBsin B50 x50 ：2(m).答案 A2. 从A处望B处的仰角为a，从B处望A处的俯角为卩，则a,卩的关系为（）.A. a > 3 B . a = 3C. a + 3= 90° D .

43、 a+3= 180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知a = 3.答案 B3. 若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC= BC,则点A在点B的（）.A.北偏东15°B .北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°解析如图.答案 B4. 一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时（B. 5 '3海里D. 10 .''3海里解析 如图所示

44、，依题意有/ BA（= 60°，/ BAD= 75°,所以/ CA=/ CD= 15°,从而A. 5海里C. 10海里CD= CA= 10(海在 Rt ABC中，得 AB= 5（海里），5于是这艘船的速度是=10（海里/时）.0.5答案 C则B, C间的距5.海上有 A, B, C三个小岛，测得 代B两岛相距10海里，/ BAC= 60°,/ ABC= 75°,离是海里.AB.解得BO 5 ' 6（海里）.、BC解析由正弦定理'知sin 60 °飞泊180° 60°- 75°答案 5 &#

45、39;6* * KAOXIANGT ANJI UDAOXI 02 * 考向探究导折考向一测量距离问题【例1】?如图所示,为了测量河对岸 A, B两点间的距离，在这岸定一基线CD 现已测出 CD= a和/ ACD= 60°,/ BCD= 30° ,/ BDC= 105°,/ ADC= 60°，试求 AB的长.审题视点在厶BCD中，求出BC在厶ABC中，求出AB解 在厶ACD中，已知 CD= a,/ ACD= 60°,/ ADC= 60°，所以 AC= a. v/ BCD= 30°,/ BDC= 105°/ CBD=

46、45°在厶BCD中，由正弦定理可得BC= asin 105 ° 3+2a.sin 45在厶ABC中，已经求得 AC和BC又因为/ ACB= 30°,所以利用余弦定理可以求得A, B两点之间的距离为 AB= ,AC+ BC 2AC- BC- cos 30 ° =孚.-m（1）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.【训练1】 如图，A, B, C D都在同一个与水平面垂直的平面，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°

47、;, 30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°, AC= 0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B, D的距离.解 在厶 ACD中, / DAG= 30°, / AD& 60° / DAG= 30°,所以 CD= AG= 0.1 km.又/ BCD= 180° 6060°= 60°,故CB> CAD底边AD的中垂线，所以 BD= BA又 v/ AB（= 15在厶ABC中,AB = AC sin / BCA sin / ABC所以AB=ACSin 60sin 153

48、.2+ '620(km),同理,B>3 ：+6(km).故B、D的距离为3 2+ £20km.考向二测量高度问题【例2】？如图，山脚下有一小塔AB在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高 AB- 20 m，求山高CDC/«<1?n审题视点过点C作CE/ DB延长BA交CE于点巳在厶AEC中建立关系.解如图，设CD= x m ,贝U AE= x 20 m,tan 60CDBDCDx 羽 BD=c x (m).tan 60寸3 3 v 7在厶 AEC中, x 20=x,3解得 x = 10(3 + .&

49、#39;3) m .故山高 CD为 10(3 + ：3) m.y 竖(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理.【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底 B在同一水平面的两个测点C与D,现测得/ BCD= a，/ BD(=卩,CD= S,并在点C测得塔顶A的仰角为0，求塔高AB实用文档解 在厶BCD中/ CBD=n a 卩，由正弦定理得i B(bDC- ./ CBDCD所以BC= CD牛胖 亠字sin / CBD sin a + Sstan 9 sin S 在 Rt ABC中，AB= BQan / A

50、CB=帀考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例 3】?如图所示，在梯形 ABCD中 AD/ BC AB= 5, AC= 9,/ BCA= 30°,/ ADB= 45°,求 BD的长.审题视点由于AB= 5,/ ADB= 45°,因此要求 BD可在 ABD中，由正弦定理求解，关键是确定/BAD的正弦值.在 ABC中, AB= 5, AC= 9, / ACB=30°，因此可用正弦定理求出sin / ABC再依据/ ABC与/ BAD互补确定sin / BAD即可.解 在厶 ABC中, AB= 5, AC= 9,/ BCA= 30° .ACA

51、B由正弦疋理，得sin / ACB sin / ABCABsin / ABC= A。sin / BCA 9sin 30/ AD/ BC/ BA= 180°/ ABC9是 sin / BAD= sin / ABC= 190.同理，在 ABD中, AB= 5, sin / BA=箱,10ABBD/ ADB= 45°,由正弦定理：sin / BDAsin / BAD解得BD= 2.故BD的长为9j-2.要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应 用正、余弦定理.【训练3】 如图，在 ABC中，已知/ B= 45°, D是BC边上的一点，AD= 10, AC= 14, DC= 6，求AB的长.解在厶 ADC中, AD= 10,AC= 14, DC= 6,由余弦定理得cos / ADG=A