考研高数习题集下

1、 下 册 目 录 第五讲: 多元微分与二重积分2单元一: 概念.2单元二: 偏导与全微分计算.3单元三: 隐函数求导(方程或方程组) .5单元四: 二元极值.7单元五: 交换二次积分次序.9单元六: 二重积分计算.10单元七: 二重积分应用.14 第六讲: 无穷级数.15单元一: 收敛定义.15单元二: 数项级数审敛.16单元三: 幂级数.18单元四: 傅里叶级数.22 第七讲: 向量代数,解析几何与偏导应用.24单元一: 向量代数.24单元二: 解析几何.25单元三: 偏导数的几何应用.26单元四: 方向导数与梯度.28 第八讲: 三重积分与线面积分.29单元一: 三重积分计算.29单元二:

2、 三重积分应用.31单元三: 第一类线面积分计算.33单元四: 第一类线面积分应用.36单元五: 第二类曲线积分与Grenn公式.38单元六: 积分与路径无关性.41单元七: 第二类曲面积分与Gauss公式.43单元八: 第二类线面积分应用.46单元九: 环流量与Stokes公式.47 第五讲: 多元微分与二重积分单元一: 概念1. 函数在点 :连续不可导; :可导不连续; :可导连续不可微; :全微分存在2. 函数在点 :连续不可导; :可导不连续; :可导连续不可微; :全微分存在3. 函数(1); (2) 在点 :连续不可导; :可导不连续; :可导连续不可微; :全微分存在4. , 其

3、中在含点的邻域内有界, 则在点处: :连续不可导; :可导不连续; :可导连续不可微; :全微分存在5. 设连续,研究在原点的连续,可导,可微性. 略6. 证明: 在点可微,但偏导不连续. (1) (2), 不连续单元二: 偏导与全微分计算1. , 求: . 2. , 的一阶偏导存在, 证明: . 3. , 可导, 且, 证明: . 4. 证明: 方程 有形如: 的解. 其中为任一可微函数. 5. , 且当时, , 求: . 6. , 的一阶偏导存在, 求:. 7. 设满足, 证明: 在极坐标下只与极径有关. 8. 设, 变换方程: . 9. 证明: 若, 作变换: , 则: 10. 可导,求

4、:. 11. 具有二阶连续偏导数, 求: , 其中: (1) (2) (3) 略 (4) 12. , 求: 略单元三: 隐函数求导(方程或方程组)1. (1)设,求:. (2),求: 2. 确定,其中, 求. 3. , 其中可微, , 证明: . 4. 设由方程确定,偏导存在,求 5. 求: (1). (2) 6. ,求:. 7. , 且由确定, 求: . 8. (1), 求: (2), 求: 9. , 求: 10. 设,其中,可微,且有,求:. 11. , 且, 当时, 若,求在处的全导数 单元四: 二元极值1. 求函数的极值点. 极大值点2. 求的极植. 为极大值3. 由确定,求极值 极小

5、; 极大4. 有无穷个极大值而无极小值 (极大); (非极值)5. 在上,求距平面的最近点与最远点和最近最远距离. 6. 求 满足:的条件极值 7. 经过点的平面与三个坐标面在第一卦限内可围成四面体，求体积最小值 8. 求: 在上的最值. 无驻点; (2) 9. 求在区域上的最值 (1);(2) 10. 抛物面被平面截成椭圆,求原点到该椭圆的最长,最短距离 11. 设, 求在条件: 下, 函数 的极 大值与极小值之和 解(1)正定,之和; 解(2), 12. 求椭圆: 的面积. 法(1); 法(2), , , 单元五: 交换二次积分次序.1. 设函数连续, 交换积分次序: (1) (2) (3

6、) (4) (5). 2. 计算: (1) (2) (3) (4). (5) (6). 3. 证明: 4. . 左式右式5. 证明: 左式=右式 另解: 单元六: 二重积分计算1. 利用对称性计算: (1) (2) “”奇函数 (3). (4) 2. 单变量积分 (1)以为顶点的三角形. (2)计算, 为与所围成的有界闭区域. (3), 其中由圆心在点, 半径为, 且与坐标轴相切的圆的较 短一段弧和坐标轴所围的区域. (4) (5) ; 或 (6)是以点和为顶点的三角形区域. (7) 3. , 由围成. 4. 求,由及围成. 5. 计算 , 其中是以直线和曲线为边界的曲边三角形. 6. . 7

7、. “分块”积分 (1), 计算, 由所围. (2),求,其中 为无界域, (3) (4) 8. 设在上连续, 由与轴, 轴所围, 证明: 左式右式9. 极坐标计算 (1) (2). (3)所围. (4),. (5)1. (6), 由与所围 (7). 10 ，求 11. . 12. 连续, 且, 求 13. ,连续,且,求 , 单元七: 二重积分应用1. 求被平面所截得的曲面面积. 2. 球面含在柱面内部分的面积恰为全球面积的 一半, 求 3. 求由及所确定的立体的体积. 4. 记为在点处的切平面, 立体由及平面所 围, 求的体积. 第六讲: 无穷级数单元一: 收敛定义1. 若,且收敛, 证明

8、: 级数也收敛. 2. 设: (常数), , 证明级数: 收敛. 3. , 证明:收敛,并求和. 另解: 4. 收敛,又收敛,证明:收敛. 5. 设抛物线上的点是这样得到的: , 过作抛物线切线交轴于 ,过作轴平行线交抛物线于,再过作抛物线的切线得, 这样无限作下去, 又为点, 求. ,单元二: 数项级数审敛1. 若,且收敛,问:是否收敛? 否!反例:2. 设: , (1)求的值; (2)证明:任意, 级数收敛. (1); (2) ,收敛3. , 且满足: , 证明: (1)若收敛,则收敛; (2)若发散, 则发散. 4. 设, 证明: (1)级数绝对收敛; (2)数列收敛. (1); (2)

9、5. 若级数 发散, 则必有: 发散 ; 6. 设 , 则下列级数收敛的是 ; ; ; .7. 设 为常数, 则级数 绝对收敛; 条件收敛; 发散; 收敛性与的取值有关8. 考察下列正项级数的敛散性 (1) , 收敛 (2). 或收敛 (3) , 发散 (4). , 收敛 (5). : 散, 敛 (6). ,收敛9. 考察下列交错级数的敛散性 (1) : 条件收敛 (2)设 . 条件收敛 (3) 条件收敛 (4)设为等差数列, , 问:是否收敛(说明理由). : 绝对收敛10. 考察级数的敛散性 发散原级数发散11. 设, 求证: 收敛. 收敛,收敛12. 设,其中是正整数,. (1)证明:方

10、程有唯一的正根; (2)若, 证明存在, 且. (1)(唯一) (2)收敛, ; 又:单元三: 幂级数1. 求幂级数的收敛半径: (1); (2). 2. 若的收敛半径为, 则的收敛半径为:3. 的收敛半径为, 求的收敛区间. 4. 求幂级数的收敛域: (1) (2) (3) 5. 将下列函数展开成的幂级数,并指明展开式成立的范围 (1). (2). (3). (4) (5). 或: 6. 将在处展开为幂级数 7. 将函数展开成的幂级数,并求级数的和. 8. 将展开成的幂级数,并求级数的和. ,9. 求幂级数的收敛域及和函数 (1). (2). (3) (4) (5) (6). (7) 10.

11、 求: 的收敛域及和函数 11. 是以为首项,为公差的等差数列部分和,求和. 12. 求和: (1) (2) 13. 求,使之满足: . 设, 14. 设, 求(1); (2)和函数 (1); (2)单元四: 傅里叶级数1. 设函数以为周期,它在一个周期内的表达式为: 记为的傅立叶级数的和函数 (1)求,; (2)求的傅立叶级数的系数. (1), ; (2)2. 已知函数以为周期,它在上的表达式为: 将在上展开成傅立叶级数, 并由收敛定理求该级数的和函数. 3. 将展开成级数,并求:. 4. 利用在内的级数:及求出: 在内的级数 (1) , (2)5. 把展开成傅立叶级数,并指明展开式成立的范

12、围 6. 设是以为周期的连续函数, 为其傅立叶系数, 求函数: 傅立叶系数: 连续,周期为 第七讲: 向量代数,解析几何与偏导应用单元一: 向量代数1. 与面的夹角分别为,求:. 2. , 求:, 使: , 且 3. 设向量垂直于向量和,且在向量方 向上的投影为:, 求: 4. 且 , , 确定, 使: (1); (2)以与为邻边的平行四边形面积为 (1) (2)5. 求证向量:在同一平面上, 并沿分解. 6. , 求点到直线的距离 7. 为已知非零向量, 证明: 当与垂直时, 取得最小值 当时最大, 即单元二: 解析几何1. 设直线在平面上,且过点, 若与平面有最大交角, 求直线的方程. 2

13、. 在平面上求一直线, 使它与直线垂直相交. 与交点:;过垂直的平面为3. 求点到直线的距离. 4. 满秩, 问两直线: 与的位置关系. , 相交5. 设动点到面的距离与其到定点的距离相等,的轨迹为,若 是和柱面的交线在面的投影曲线,求上对应于的一段弧的长度. 单元三: 偏导数的几何应用1. 证明: 在任一点的切平面都与直线平行. 2. 上点处的切平面垂直于直线, 若在第三卦限, 求. ,3. 求直线绕轴旋转而成的旋转面的方程, 并求该旋转面在点 处的切平面方程. 4. 设, 其中函数具有连续偏导数, 在处法向量 求曲面在处的切平面方程. 5. 过直线, 作曲面的切平面, 求此切平面方程 平面

14、束: , 切平面: ; 得:和6. 设是曲面: 上任一点, 证明: 在这点处曲面的法线垂直于向径 . 其中可导. 7. 曲面上点的切平面与平面垂直, 求点的轨迹. 8. 设 , 问哪些点处的切线平行于平面: . 9. 设方程为,若上恰有两个点处的切线与平面 平行，问应满足什么关系式? 10. 求曲线在点处的切线和法平面方程. 单元四: 方向导数与梯度1. 在曲线上点处并沿该点切向的方向导数. 2. 设是直线上任一异于原点的点, 为原点, , 求函数 在点沿方向的方向导数: . 3. 在原点处指向点方向的方向导数为,求. 4. 函数在点沿其梯度方向的方向导数 ; ; ; .5 设是由方程: 所确

15、定的隐函数, 问: 在处, (1)沿什么方向的增长率最大? (2)函数在该点沿此方向的方向导数 6. 在点处沿方向恰取得最大增长率为,求 7. 设 是曲面: 在点 处的指向外侧的法向量, 求函数: 在点处沿方向的方向导数 8. , 求:. 第八讲: 三重积分与线面积分单元一: 三重积分计算1. 求, 其中由以及围成. 2. 计算, 其中由,及平面围成. 法(1) 法(2)3. 利用截面法计算 (1). (2). (3)., 其中由所围 (4)., 其中是圆台柱体,其上,下底半径分别为, 高为, 下底为平面内圆域: . 4. ,由平面与三坐标面所围. 5.,为由绕轴旋转一周形成的曲面与所围成的区

16、域. 6. 是由曲线 与原点连接所得的锥面, (1)写出的方程, (2)证明:, 其中是所围的面积,是锥面与平面所围立体的体积. 7. . 8. 9. 证明: 并化简: (1); (2) 10. 连续, , 求: ,其中: . 单元二: 三重积分应用1. 已知, 线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面为, 求由及两 平面所围成的立体体积 2. 设是一底为圆盘的曲顶柱体,其顶面为绕轴旋转而 成, 顶面上一点处的切平面与平面平行, (1)写出顶面方程和点坐标; (2)求位于顶面与切平面之间的体积. (1)顶面: (2)切平面3. 求曲面上点处的切平面与曲面所围成空间立体 的体积. 切平面, 交线, 4.

17、由与平面所围的立体, 求, 并求 5. 设有一匀质物体,在空间所占据的区域为由球面与圆锥面 所围成(含轴的部分),其中,求该物体的重心坐标. 6. 求曲面围成的,密度为的,关于轴的转动惯量. 7. 求密度为的均匀圆柱体: 对直线的转动惯量. 8. 求质量为均匀柱体: 对位于点的单位质点的引力. 9. 密度均匀的球锥体: 顶点为,对称轴为轴,球半径为,半顶角为,求对于其顶 点处的单位质点的引力. 单元三: 第一类线面积分计算1. 设为椭圆,其周长记为,则求. 2. 利用对称性计算下列积分 (1) (2) 3. (1)设是圆周在第一象限的部分,求:. (2)第一象限部分. (3)从点. (4)从点

18、. (5),其中是. 4. (1)是由与所围区域的边界. (2)所围扇形的边界. 5. 折线. 6. 利用性质计算下列积分 (1)设是平面在第一卦限的部分,计算. (2)设为平面: 被柱面所截得的部分, 求: . (3)计算,其中是球面在第一卦限部分. (4)计算,其中是. (5)计算,其中是. 7.(1)计算, 其中为 部分. (2)计算, 其中 介于 及 之间. (3)计算, 其中为锥面在柱体内的部分. (4)计算, 其中是球面被平面截出的顶部. (5)计算, 其中为上半球面. (6)计算, 其中为柱面介于之间的部分. 8. 设为椭球面的上半部分,点,为在点处的切平面, 为点到平面的距离,

19、 求. 单元四: 第一类线面积分应用1. 已知物质曲线上任一点处的线密度为,求该物质的质量. 2. 求曲线时的质量. 3. , , 求的质量. 4. 球壳上各点处的面密度等于该点到轴的距离, 求球壳的质量. 5. 一簿壳形状为,其上任一点处的面密度,求其 质量. 6. 求心形线的形心 7. 求曲线的一段弧关于轴的转动惯量 8. 曲顶柱体由与所围,求侧面积. 9. , (1)写出向面投影的曲线方程. (2)求投影柱面介于和之间的面积. 10. 平面曲线绕直线旋转成一旋转曲面,求侧面积. 单元五: 第二类曲线积分与Grenn公式1. 计算,其中是曲线上从至的一段. 2. 在过点和的曲线族中, 求一

20、条曲线, 使沿该曲线从 到的积分的值最小. 3. 求: , 其中正向. 4. 利用Grenn公式计算下列积分 (1),逆时针方向 (2)的正向边界. (3)所围 第一象限正向. (4)正向. (5)是以和为顶点 的三角形的正向边界线. (6), 其中为取逆时针方向. 5. 的正向, (1)计算; (2)求,使; (3)求,使取到最大. ; ; 6. . 7. . 8.(1), . (2)逆时针. (3). (4),从 (5),其中为折线 . (6),:自至的弧段. 9. 求: , 其中 为自点 沿曲线 到的弧段. 10. ,其中曲线弧起点为,终点为 ,且位于线段的下方,又曲线弧与线段所围图形面

21、积为. 11. 定义:, 证明: 当时, 常数), 12. 证明: (1); (2). 其中是的外法 向,是所围的面积. (1) (2)13. 利用全微分计算下列积分: (1), 其中是沿椭圆正向从到的一 段弧. (2)设是平面上从圆周上任一点到圆周上任一点的一条 光滑曲线, 求: . 单元六: 积分与路径无关性1. 设曲线积分与路径无关,其中一阶连续 可导, , 求函数的表达式. 2. 设函数在内有一阶连续导数, 是上半平面内的有向分段光滑 曲线,其起点,终点为, 记 (1)证明:曲线积分与路径无关; (2)当时,求的值. (1)3. 设函数具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑正向简单闭曲

22、线上, 曲线积分: 的值恒为一常数. (1)证明: 对右半平面 内的任意分段光滑简 单闭曲线, 有: , (2)求函数的表达式. (2)4. , 问: (1)为何值时,积分与路径无关(与不相交); (2)计算从到的积分值 5. 已知,求(1); (2). 6. 确定常数,使在右半平面上的向量 为某二元函数的梯度,并求. 单元七: 第二类曲面积分与Gauss公式1. 利用单一投影法计算下列积分 (1),其中为平面位于第一卦限部分的上侧 (2)外侧. (3),其中是圆柱面被平面和所 截出部分的外侧. 2. 利用合一投影法计算下列积分 (1),是抛物面 被平面:, 所截部分的上侧. (2)计算,其中为的前侧. 3. 位于第一卦限部分上侧(多解) 4. 计算,其中为的下半部分,是向上的法向量