静定刚架内力计算

1、第四章第四章 静定刚架内力计算静定刚架内力计算 学习内容 静定结构反力计算和截面内力计算；绘制内力图的基本方法；利用微分关系及结点平衡条件简化内力图的绘制；叠加法绘制弯矩图；静定刚架的组成特点和受力特点；刚架的内力计算和内力图；斜杆刚架和复杂刚架的计算；利用对称性简化刚架的计算。学习目的和要求学习目的和要求不少静定结构直接用于工程实际。另外静定结构还是解算超静定结构的基础。所以，静定结构的内力计算是十分重要的，是结构力学的重点内容之一。通过本章学习要求达到：1.重视和熟练掌握结构的支座反力的计算。它的计算错误将导致它的计算错误将导致内力计算的错误。内力计算的错误。 2.能熟练的绘制静定刚架的弯

2、矩图和剪力图，尤其是弯矩图的绘尤其是弯矩图的绘制要十分的熟练。制要十分的熟练。 3.绘制弯矩图有许多技巧，都要掌握。但最重要的是掌握截面内最重要的是掌握截面内力计算、内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。力计算、内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。 4.会恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构的内力。如何选取视具体情况（结构情况、荷载情况）而定。当不知如何下手时，宜考察结构的几何组成。4.1 刚架的组成特征刚架的组成特征一、刚架的特点刚架的内部空间大，便于使用。刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。4.2刚架的反力计算刚架的反力计算 1、悬臂刚架

3、、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。2、三铰刚架的反力计算：一般方法整体对左底铰建立矩平衡方程，右半边对中间铰建立矩平衡方程，这两个方程求出右底铰的支座反力；再由整体的两个投影平衡方程求出左支座的两个支座反力。校核。例题1反力计算1402202qaYqaaYMAAB20kNXXXBA943kNqaYB+0qaYYYBA6)(2 kNqaXA405 . 1 aXaqaMAC整体对右底铰建立矩方程左半边平衡整体平衡=3kN反力校核aaq1.5aABq=4kN/ma=3mCYAYAXAXB02395 . 42325 . 42332+22+aYaXqaaXaYMBBAAC三铰刚架的反力计算返

4、回双截面法 分别取左、右半边建立仅含有中间铰约束力的矩平衡方程，由这两个方程求出中间铰约束力； 再由支座反力。例题2反力计算2返回先求中间铰的约束力0222111qaaXaYMO+02112aXaYMO211qaYqaX解得aaaaaqYAYBYDXDCEX1Y1O1qYACY1X1O2EYB10YYMAC左半边10YYMBE右半边qaYqaYYYYDBDA2, 02+整体0, 0DXX3、主从刚架求反力： 需要分析其几何组成顺序，确定基本部分和附属部分。先计算附属部分，在计算基本部分。例题3反力计算3返回4m2m2m2m2m2kN4kN/m2kNABCDEFGHKkNYYkNYMKGK203

5、00kNXXK10 kNXA3 XMAD0124224由附属部分ACD由整体校核：+04442222KKAEYXXMXAXKYKYG4.3 刚架内力计算刚架内力计算 计算步骤：求支座反力。求支座反力。简单刚架可由三个整体平衡方程求出支座反力，三铰刚架及主从刚架等，一般要利用整体平衡和局部平衡求支座反力。求控制截面的内力。求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、集中荷载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成受力简单的区段。运用截面法或直接由截面一边的外力求出控制截面的内力值。根据每区段内的荷载情况，利用“零平斜弯”及叠加法作出弯叠加法作出弯矩图。矩图。作刚架Q、N图有两种方法，一

6、是通过求控制截面的内力作出；另一种方法是首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂（如有斜杆），计算内力较麻烦事，采用第二种方法。结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。注意结点的平衡条件注意结点的平衡条件。例题4内力计算18kN1m2m4mABCDQDBNDBMDB8kN6kNDB6kNQDCNDCMDC8kNQDANDAMDA8kN6kN6kN

7、QDC=6kNNDC=0MDC=24kN.m（下拉）QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）QDA=8kNNDA=0MDC=8kN.m（左拉）QDC=6kNNDC=0MDC=24kN.m（下拉）08kN8kN.m6kN024kN.m8kN6kN16kN.mX=88=0Y=6（6）=0M=24816=0QDB=8kNNDB=6kNMDB=16kN.m（右拉）QDA=8kNNDA=0MDC=8kN.m（左拉）校核：8kN1m2m4m8kN6kN6kN81624M kN.m86Q kNN kN6作内力图返回例题5内力计算2作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件为分离体，

8、建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；aaqABCqa2/2qa2/8M图qa2/2QCBQBCCBqa2/2MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2QCAQACqa2/2qMCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qaMA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a =0qa/20NCBNCAX0，NCB 0Y0，NCAqa/2最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。6QDCQCDDC3.35m3kN9kN2kN2kN664.5N图（kN）M图（kN.m）233m3m3mABq=4kN/m1.5mCDEmllEC

9、DC35. 352cos51sin21.79Q图（kN）MD=6QCD3.350QCD=1.79(kN)=QDCMC=6+341.5+3.35QEC0QEC=7.16kNME=6341.5+3.35QCE0QCE=3.58kNQCEQEC4kN/mCE3.35m3.587.169321.79NDCkNNNXDCDC13. 302sin79. 1cos+3.13927.16NECkNNNXECEC82. 505116. 7522+5.8205279. 1558. 345. 0kNNCE0sin)79. 158. 3(cos)13. 3(+NXCEcos)58. 379. 1 (sin)45. 0

10、13. 3(+Y校核NCE3.583.131.790.45返回4.4 刚架弯矩图对误判别刚架弯矩图对误判别 利用前述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。鉴于静定平面刚架M图的重要性，而初学者又常易搞错，故掌握M图正误判别是很有益的。下面结合例子说明画M图时容易出现的错误：M图与荷载情况不符。如图a所示刚架上DE段，有向左的均布荷载，该段弯矩图应向左凸；C点有向下的集中力作用，弯矩图应向下尖；AB段上A处只产生竖向反力，所以AB段只受轴力，该段弯矩图等于零。正确的弯矩图如图b所示。又如图c所示刚架

11、上C截面上有集中力偶作用，弯矩图应发生突变，突变前后两条线平行。因为XB=0，YB通过C截面。所以由C截面以右可得MC右=0。正确的弯矩图如图d所示。M图与结点性质、约束情况不符。如图2-4e所示刚架上，铰结点C、铰支座A和B处无集中力偶作用，该处截面弯矩等于零。正确的弯矩图如图f所示。作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。如图g所示刚架，若取结点C为分离体，将发现它不满足结点的力矩平衡条件。另外AC段上A处只产生竖向反力，所以AC段只受轴力，该段弯矩图等于零。正确的弯矩图如图2-4h所示。4.5刚架弯矩图绘制刚架弯矩图绘制 如静定刚架仅绘制其弯矩图，往往并不需要求出全部反力，

12、只需求出与杆轴线垂直的反力。一、悬臂刚架绘制弯矩图，可以不求反力，由自由端开始作内力图。例题6悬臂刚架一、悬臂刚架绘制弯矩图可以不求反力，由自由端开始作 内力图。qlqlllqql2q2m2mq2q6q如静定刚架仅绘制其弯矩图，往往并不需要求出全部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。返回二、简支型刚架弯矩图，往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起。例题7简支刚架二、简支型刚架弯矩图 简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个于杆件垂直的反力,然后由支座作起ql2/2qaqa2/2qa2/2ql注意:BC杆CD杆的剪力等于零,弯矩图于轴线平行ql2/2qlqll/2l/2DqABCaaaqa2

13、/8返回三、三铰刚架弯矩图，往往只须求一水平反力,然后由支座作起。例题8三铰刚架三、三铰刚架弯矩图1反力计算1整体MA= qa2+2qa22aYB=0(1)2右半边MC=0.5qa2+2aXB aYB=0(2)解方程(1).(2)可得XB=0.5qa YB=1.5qa3再由整体平衡X=0解得XA=0.5qa Y=0解得YA=0.5qa2绘制弯矩图qa2注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！1/2qa20qqaXAYAYBXBACBaaaaqa2/2qa/2qa/2YBXBRAOM/2MM/2画三铰刚架弯矩图注注: : 1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两

14、铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。 2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。 3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/2aACBaaaMABCqlllBC三铰刚架弯矩图qL2/4qL2/4=3/4qlAO整体对O点建立平衡方程得MO=ql1.5l2lXA=0得XA=3ql/4RBYAXA返回四、主从结构绘制弯矩图时，可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。以铰支座、铰结点、自由端作为切入点，先作附属部分，后作基本部分。例题9主从刚架qaaaa2aaaaqqaqaqqaqa2qa

15、2qa2/2qa2/2qa2/2M图（kN.m）ABHCDEFG 绘制弯矩图时，可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之间的对应关系，不求或只求部分约束力。四、主从结构q=20kN/m2m2m3m4m2m5m绘制图示刚架的弯矩图ABCDEF20kN80kN20kN120901206018062.5M图kM.m仅绘M图,并不需要求出全部反力.然后先由A.B支座开始作弯矩图.先由ADY=0得YA=80kN再由整体X=0得XB=20kNMEA=806-206=12012060180AaaaaaaqBYB=0YA=0XA=4.5qaXB=1.5qa4.5qa2 5qa2M图 haP2P2Paa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph右半边Y=0 YB=0YA=0整体：MA03qaa/2XBa0XB=1.5qa求绘图示结构的弯矩图。2qlllll1.5lqlq22ql2qlllqlql222ql1.5ql2l1.5l1.5ql20.9ql20.6ql20.9ql20.6ql2ql2返回五、对称性结构作内力图要注意利用对称性： 对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布，弯矩图和轴力图对称，剪力图反对称；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布，弯