行列式的定义

1、 1n阶行列式的定义 2行列式的性质与计算 3 行列式与矩阵的逆 4 行列式的应用（求矩阵的秩）1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式提示:a11a22x1+a12a22x2=b1a22 a22a11x1+a12x2=b1a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2 a21x1+a22x2=b2(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= b1b2a12a22a11a21a12a22 x1=a11a21 b1

2、b2a11a21a12a22 x2=a11a21a12a22 我们用符号 表示代数和a11a22-a12a21 这样就有211222112122211aaaabaabx-= 211222112112112aaaaabbax-= 用消元法解二元线性方程组a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2 得211222112122211aaaabaabx-= 二元线性方程组与二阶行列式 a11a21a12a22行列式中的相关术语 我们用 表示代数和a11a22-a12a21 并称它为二阶行a11a21a12a22列式 行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线 对角线法则 -a1

3、2a21=a11a22 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二元素之积所得的差 例1 求解二元线性方程组 =+=-1212232121xxxx 解 由于 07) 4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D因此 271411=DDx 07)4(31223=-=-=D 14) 2(12112121=-=-=D 21243121232-=-=D 271411=DDx 372122-=-=DDx a11a21a12a22-a12a21=a11a22 为了便于记忆和计算 我们用符号 表示代数和a11a21a31a12a22a32a13

4、a23a33 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 其中 方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解为DDx11=DDx22=DDx33= D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 三阶行列式 D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3 D2=a11b2a33+b1a23

5、a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31 D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31 我们用符号 表示代数和a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式 行列式中的相关术语 对角线法则 行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-

6、a13a22a31三阶行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 例2 计算三阶行列式 1-2-3224-41-2D= 按对角线法则 有 解 =-4-6+32-4-8-24-(-4)2(-3)+(-4)(-2)4D=12(-2)+21(-3)-114-2(-2)(-2)=-14 采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤 全排列及其逆序数 引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为321=6 所以可以组成6个没有重

7、复数字的三位数321 这6个三位数是123132231213312 我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列) 全排列 n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pn=n(n-1)(n-2) 321=n! 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 逆序数的计算 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti 排列的逆序数为t=t1+t2+ +tn

8、奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 n 阶行列式的定义一、二阶行列式和三阶行列式的结构 二、n阶行列式的定义 三、几种特殊的行列式 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31a11a21a12a22=a11a22-a12a21一、二阶行列式和三阶行列式的共同结构一、二阶行列式和三阶行列式的共同结构 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成例如三阶行列式的结构可归纳如下： 321321pppaaa 其中p1 p2 p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(-

9、1)t 其中t为列标排列的逆序数（3）总共有P3=3!项，即项数等于1、2、3三个数构成的排列总数。 三阶行列式可以写成 -=321321333231232221131211) 1(ppptaaaaaaaaaaaa 其中t为排列p1 p2 p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1 p2 p3取和 二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义 特别规定一阶行列式|a|的值就是a 由矩阵A= (aij) 中的n2个数aij (i j=1 2 n)构成的代数和 -nnppptaaa ) 1(2121 称为n阶行列式 记为nnnnnnaaaaaaaaaD = 212222111211 简记为det

10、(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 注：注：（1）n阶行列式是所有取自不同行、不同列的n个数的乘积 的代数和。其中 构成一个n级排列，当 为偶排列时， 取正号，当 为奇排列时， 取负号。共有n!项。(2)4阶及4阶以上的行列式无对角线法则可言。 nnpppaaa.2121nppp.21nnpppaaa.2121nppp.21nppp.21nnpppaaa.2121三、几种特殊的行列式三、几种特殊的行列式 1.对角行列式对角行列式(1)主对角行列式 n.21321=

11、 证明：若记i=ai n-i+1 则依行列式定义 =(-1)ta1na2 n-1 an1其中t为排列n(n-1) 21的逆序数 故 t=0+1+2+ +(n-1) 2) 1( -=nn nnnnD ) 1( 212) 1(21 -=- 11, 21 nnnaaaD=- nnnD ) 1(212) 1( -=- 因此 =(-1)t12 n (2)次对角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD 0 0 00 002211321333231222111 = = （1）下三角行列式 证明： 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为

12、零第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann因此D=a11a22a33 ann2.三角行列式三角行列式（2）上三角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa.000.00.0.2211333223221131211=（3） 次下三角行列式1 ,1, 2, 12) 1(,1,1 , 21, 2, 1.) 1(.00.0nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa-=（4） 次上三角行列式1 ,1, 2, 12) 1(1 ,1, 221, 11, 111.) 1(00.0.nnnnnnnnnaaaaaaaa

13、a-=nnnnnnaaaaaaaaaD =212222111211jiijaa =jiijaa-=若若则称D为对称行列式则称D为反对称行列式.定义：设3.对称行列式与反对称行列式对称行列式与反对称行列式 例1 在6阶行列式det(aij)中 元素乘积a15a23a32a44a51a66前应取什么符号? 解 列标排列532416 它的逆序数为t=0+1+2+1+4+0=8 它是偶排列 所以在该乘积项的前面应取正号 补充例题补充例题 例2 用行列式定义计算行列式 1100001001011010=D 为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0 第1列只能取a21 第3列只能取a43 第4列只能取a14

14、 第2列只能取a32 四个元素的乘积为a21a43a14a32 即a14a21a32a43其列标排列为4123 它的逆序数为3 是奇排列 所以D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1 解 排列的对换 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换v对换举例 在排列21354中 对换1与4 排列21354的逆序数是2 经过对换 排列的奇偶性发生了变化得到的排列是24351 排列24351的逆序数是5 v性质1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性其中t为行标排列p1p2 pn的

15、逆序数 n阶行列式也可定义为v定义1的等价定义 -nppptnaaa ) 1(2121 v性质2 在行列式的每项乘积中交换两元素的位置，行标和列标同时变换，行标和列标的逆序数之和保持奇偶性。v定义定义1的另一个等价定义的另一个等价定义n阶行列式也可定义为的逆序数。为排列的逆序数为排列级排列。均为与其中nnnnqpqpqpstqqqsppptnqqqpppaaann.,.) 1(212121212211+-二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则（1）、余子式与代数余子式 在n n阶行列式D=

16、=det(aij)中中 把元素把元素aij所在的第i i行和第j j列划去后 剩下来的n n- -1 1阶行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记 Aij= =(- -1)i+ + jMij Aij叫做元素aij的代数余子式的代数余子式 55453525155444342414534333231352423222125141312111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD= 5545351554443414524232125141311123aaaaaaaaaaaaaaaaM= A23= =(- -1)2+ +3M23=-=-M23 例如 已知 则a23的余子式和代数余子式为 v引理 在在n n阶行列式阶行列式D D中中 如果第如果第i i行元素除行元素除aij外都为零外都为零 那那么这行列式等于么这行列式等于aij与它的代数余子式与它的代数余子式Aij的乘积的乘积 即即D D= =aij Aij（2）、行列式按行行列式按行( (列列) )展开法则展开法则v定理1(行列式按行(列)展开法则)