线性代数概念的几何意义

1、主要内容二元、三元线性方程组的几何意义二阶、三阶行列式的几何意义平面上线性变换的几何意义二阶矩阵特征值的几何意义 中向量组的线性相关性的几何意义2R二元、三元线性方程组的几何意义 二元一次方程在几何上表示的是一条直线，则含两个二元一次方程的方程组在几何上则表示两条直线的位置关系： 相交=有唯一解 平行=无解 重合=无穷多解 121225(1)234xxxx 121232(2)396xxxx121235(3)266xxxx12121223(4)2235xxxxxx例1 求解下列四个线性方程组 以方程组（以方程组（1）为例：在）为例：在MATLAB的的M文件编辑器中，输入文件编辑器中，输入 sym

2、s x1 x2 % % 定义定义x1x1、x2x2为符号变量为符号变量 U1=rref(1,2,5;2,-3,-4) % % 把增广矩阵通过初等行变换把增广矩阵通过初等行变换 % % 变为最简阶梯矩阵变为最简阶梯矩阵 subplot(2,2,1) % % 准备画准备画2 22 2个图形中的第一个个图形中的第一个 ezplot(x1+2*x2=5) % % 绘制直线绘制直线x1+2x1+2* *x2=5x2=5 hold on % % 保留原来图形保留原来图形 ezplot(2*x1-3*x2=-4) % % 再绘制直线再绘制直线2 2* *x1-3x1-3* *x2=-4x2=-4 title

3、(x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4) % % 在图上标注在图上标注x1+2x1+2* *x2=5 2x2=5 2* *x1-3x1-3* *x2=-4x2=-4 grid on % % 显示网格显示网格绘制图形如图绘制图形如图1所示：所示： 方程组（1）的解为 ； 方程组（2）的通解为： ； 方程组（3）和方程组（4）这两个方程组无解。2121xx0213k从运行结果可以看出: 方程组（1）的两条直线有一个交点，故有唯一解（适定）； 方程组（2）的两条直线重合，则有无穷组解（欠定）； 方程组（3）的两条直线相平行，永远没有交点，即无解； 方程组（4）的三条直线不共点，则也无解（超定

4、），可求最小二乘解。 从图从图1中可以形象地看出中可以形象地看出: AX=b 最小二乘解 命令：x=pinv(A)*b x=Ab 三个三元一次方程构成的方程组： 若三个平面只有一个交点，即方程组有唯一解； 若三个平面相交于一直线，即方程组有无穷多解； 若三个平面没有交点或交线，即方程组无解。 三元一次方程组的几何表示三元一次方程组的几何表示 12312312351(1)33220.53xxxxxxxxx12312312380(2)2030 xxxxxxxxx123123123575(3)412425xxxxxxxxx2323358(4)71015xxxxx例例2 求解下列线性方程组，并画出三维

5、 图形来表示解的情况。利用利用MATLAB的的M文件编辑器绘图可得：文件编辑器绘图可得： 图图2 三元线性方程组解的几何意义三元线性方程组解的几何意义 方程组（方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组）的解为三个平面的交点，故该方程组有有唯一解唯一解； 方程组（方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，）的三个平面刚好相交于同一条直线，该该齐次齐次线性方程组有无穷多解，且其对应的线性方程组有无穷多解，且其对应的解空间解空间是是一维一维的；的； 方程组（方程组（3）的三个平面没有共同的交点，即方程）的三个平面没有共同的交点，即方程组组无解无解； 方程组（方程组（4）也）也无解无解。从图2中

6、可以看出： 二阶、三阶行列式的几何意义 二维情形： 在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为： 、 ，如下图所示，求平行四边形OACB的面积。11,ba22,ba 分析：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过点B做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相交于点D。显然可以得到三角形CDB和三角形AEO全等，则有：OACBOEDBCDBAEOAEDCOEDBAEDC1 22 1S=S+S-S-S=S-S=ab -a b 根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列式:2211baba二阶行列式的几何意义二阶行列式的几何意义O AO B ， 一般情况下也可

7、以证明：过原点的两条直线(向量) ，如 构成的一个平行四边形的面积为A、B两点坐标所构成的二阶行列式的绝对值。 三维情形 已知三个向量 由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为 三阶行列式的绝对值 （如图） ),(),(),(321321321cccwbbbvaaau111222333abcabcabc平面上线性变换(y=Ax)的几何意义例3 已知向量及矩阵 请分析经过线性变换 后，向量 与原向量 的几何关系 。 21x 10011A10012A2005 . 03Acossinsincos4A3xAyiiiyx4 , 3 , 2 , 1i 绘制图形如下图所示： 图3 线性变换的几何意义 例4.

8、设二维平面上第一象限中的一个单位方块， 其四个顶点的数据可写成 把不同的A 矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 Ci = AiB。 令B=（X1，X2，X3，X4），则 AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）01100011B 用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形： B=0,1,1,0;0,0,1,1; subplot(2,3,1), fill(B(1,:),0,B(2,:),0,r)A1=-1,0;0,1,C1=A1*Bsubplot(2,3,2), fill(C1(1,:),0,C1(2,:),0,g) 绘制几何图形可得：-101

9、-1012(a) B=0,1,1,0;0,0,1,1-101-1012(b)A1=-1,0;0,1-101-1012(c)A2=1.5,0;0,1-101-1012(d)A3=1,0;0,0.5-101-1012(e)A4=1,0.5;0,1-101-1012(f)A5=cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t) 对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上是两个向量所构成的平行四边形的面积。 一个变换所造成的图形的面积变化，取决于该变换矩阵的行列式,A1 ,A4 和A5 的行列式绝对值都是1，所以变换后图形的面积不改变。而A2 和A3 的行列式分别为1.5和0.5，变换后图形的面

10、积的增加或减少倍数等于对应行列式的绝对值。平面上线性变换的几何意义图像变换中的示例在二维的图像变换模型中，最基本的图像变换有平移、旋转、缩放（包括各向同性和各向异性）、反射和错切。由这些基本的图像变换组合，可以得到刚性变换、相似变换、仿射变换、透视变换等复合变换。二阶矩阵特征值的几何意义 例例5.5.已知矩阵 求它们的特征值和特征向量，并绘制特征向量图，分析其几何意义。11325A21215A42213A23124A解： 在MATLAB命令窗口输入： A1=-1,3;2,5; V1,D1=eig(A1) eigshow(A1) A2=1,-2;-1,5; V2,D2=eig(A2) eigsh

11、ow(A2) A3=1,2;2,4; V3,D3=eig(A3) eigshow(A3) A4=2,-1;3,2; V4,D4=eig(A4) eigshow(A4) 当用鼠标拖动向量 顺时针旋转时， 也开始旋转。向量 的轨迹为一个圆，而向量 的轨迹一般情况为一个椭圆。同理，可以对其它三个矩阵进行同样的操作，绘制图形如图5所示。xAx绘制图形如图所示绘制图形如图所示图图5 特征值及其演示特征值及其演示xAx 函数eigshow(A)描述了向量 随向量 的变 换关系： 当向量 在旋转的过程中，如果向量 与向量 共线(包括同向和反向)，则有等式 为一实数乘子， 为正表示两个向量同向， 为负表示两个

12、向量反向。人们把向量 与向量 共线的位置称为特征位置，其中实数 就称为矩阵的特征值，而此时的 即为矩阵 的属于 的特征向量。 特征值表示线性变换Ax在特征向量x方向上的放大(缩小)量。AxxxAxx1AxxxAxxA 针对矩阵 ，当向量 顺时针旋转时，向量 逆时针旋转，则矩阵 存在(一正一负)两个特征值(四个特征位置); 针对矩阵 ，当向量 匀角速度顺时针旋转时，向量 也顺时针旋转，其角速度一会变大，一会变小，存在四个特征位置(两个特征值均为正)； 针对矩阵 ，当向量 匀角速度顺时针旋转时，向量 沿一条过圆心的直线运动，此时矩阵 有一个特征值为零； 针对矩阵 ，当向量 顺时针旋转时，向量 也顺时针旋转，但它永远也追不上向量 ，它们之间总保持着一定的角度，则矩阵 没有实特征值 。1AxxA11A2AxxA23AxxA33A4AxxA4x4A 二维向量组的线性相关性的几何意义例例6. 设平面上的向量设平面上的向量112223,41uvuv