弹性力学第二章 应力状态ppt课件

1、第二章第二章 应力形状应力形状研讨对象三维弹性体微分单元体入手超静定问题静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观念出发，讨论一点的应力形状，建立平衡微分方程和边境条件。目录目录2.1 2.1 膂力和面力膂力和面力2.2 2.2 应力与应力张量应力与应力张量2.3 2.3 二维应力形状与平衡微分二维应力形状与平衡微分方程方程2.4 2.4 应力形状的描画应力形状的描画2.5 2.5 边境条件边境条件2.6 2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向2.7 2.7 应力球张量和球应力偏张应力球张量和球应力偏张量量2.1 膂力和面力膂力和面力 物体外力物体外力 分为两类分为两类 膂

2、力膂力 面力面力 膂力和面力分别为物体单位体积或者单位面膂力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。积的载荷。2.2 应力与应力张量应力与应力张量内力内力外界要素作用下，物体内部各个部外界要素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。分之间的相互作用力。附加内力附加内力应力应力应力矢量应力矢量pn随截面的法线方向随截面的法线方向n的方向改动而变化的方向改动而变化 SSFplim0n应力形状一点一切截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力应力形状必然存在一定的关系。应力形状分析讨论一点截面方位改动引起的应力变化趋势。应力形状对于构造强度是非常重要的。准确描画应力形状，合理的应

3、力参数。为了讨论各个截面应力的变化趋势，确定可以描画应力形状的参数，通常将应力矢量分解。2.2 应力应力2应力矢量沿坐标分解应力矢量沿坐标分解没有工程意义没有工程意义正应力和切应力正应力和切应力正应力正应力s n与切应力与切应力t n 与构造强度关系亲密与构造强度关系亲密根据截面方位不能完全确定切应力根据截面方位不能完全确定切应力应力分量应力分量应力张量应力张量应力张量可以描画一点应力形状应力张量可以描画一点应力形状2.2 应力应力3333231232221131211zzyzxyzyyxxzxyxij应力张量应力张量应该留意应该留意应力分量是标量应力分量是标量箭头仅是阐明方向箭头仅是阐明方向

4、 2.2 应力应力42.3 平衡微分方程平衡微分方程平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必需讨论一点的平衡。微分平行六面体单元平衡微分方程切应力互等定理 jiij0,bjiijF0bxzxyxxFzyx00bzzyzzbyzyyxyFzyxFzyx2.5 平衡方程平衡方程22.4 应力形状应力形状假设应力张量可以描画一点的应力形状，那假设应力张量可以描画一点的应力形状，那么么应力张量可以描画其它应力参数；应力张量可以描画其它应力参数； 坐标变换与应力张量关系；坐标变换与应力张量关系； 最大应力及其方位确实定。最大应力及其方位确实定。公式阐明：知应力张量，可以确定恣意方位微公式

5、阐明：知应力张量，可以确定恣意方位微分面的应力矢量。分面的应力矢量。当然可以确定正应力当然可以确定正应力s n与切应力与切应力t n。jijinp应力矢量与应力分量的关应力矢量与应力分量的关系系2.4 应力形状应力形状2l应力不仅随位置改动而应力不仅随位置改动而变化，而且随截面方位变化，而且随截面方位改动而变化。改动而变化。l同一点由于截面的法线同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应方向不同，截面上的应力也不同。力也不同。l讨论应力分量在坐标变讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。换时的变化规律。 2.4 应力形状应力形状3 恣意斜截面的应力恣意斜截面的应力 转轴公式转轴公式 应力分量满足张量

6、变化规那么应力分量满足张量变化规那么 应力张量为二阶对称张量应力张量为二阶对称张量 转轴公式阐明：新坐标系下的六个应转轴公式阐明：新坐标系下的六个应力分量可经过原坐标系的应力分量确力分量可经过原坐标系的应力分量确定。定。 应力张量可以确定一点的应力形状。应力张量可以确定一点的应力形状。 坐标轴转轴后，应力分量发生改动。坐标轴转轴后，应力分量发生改动。但是作为整体所描画的应力形状没有但是作为整体所描画的应力形状没有变化。变化。 2.4 应力形状应力形状4jjiiijjinn平面应力形状转轴公式平面应力形状转轴公式弹性力学以坐标系定义应力分量；弹性力学以坐标系定义应力分量； 资料力学以变形效应定义

7、应力分量。资料力学以变形效应定义应力分量。正应力二者定义没有差别正应力二者定义没有差别而切应力定义方向不同而切应力定义方向不同2.4 应力形状应力形状5)sin(cossincos)()sin(cos2cossin)sincos2sincos2212222xyyxyxxyyxyxyyxx2.5 边境条件边境条件弹性体的外表，应力分量必需与外表力满足面弹性体的外表，应力分量必需与外表力满足面力边境条件，维持弹性体外表的平衡。力边境条件，维持弹性体外表的平衡。边境面力知边境面力知面力边境面力边境Ss iijsjnF面力边境条件确定的是弹性体外表外力与弹性体内部趋近于边境的应力分量的关系。2.5 边

8、境条件边境条件2面力边境条件描画弹性体外表的平衡，平衡微分方程描画弹性体内部的平衡。这种平衡只是静力学能够的平衡。真正处于平衡形状的弹性体，还必需满足变形延续条件。 2.5 边境条件边境条件3位移边境条件位移边境条件边境位移知边境位移知位移边境位移边境Su 位移边境条件就是弹性体外表的变形协调位移边境条件就是弹性体外表的变形协调弹性体临近外表的位移与知边境位移相等弹性体临近外表的位移与知边境位移相等 wwuvuu2.5 边境条件边境条件4混合边境条件混合边境条件弹性体边境弹性体边境 SSsSu部分边境位移知部分边境位移知位移边境位移边境Su 部分边境面力知部分边境面力知面力边境面力边境Ss不论

9、是面力边境条件，位移边境条件，还是不论是面力边境条件，位移边境条件，还是混合边境条件，恣意边境的边境条件数必需混合边境条件，恣意边境的边境条件数必需等于等于3个。个。2.6 主应力与应力主方向主应力与应力主方向转轴公式描画了应力随坐标转动的变化规律构造强度分析需求简化和有效的参数最大正应力、最大切应力以及方位主应力和主平面应力形状分析重要参数应力不变量进一步讨论应力形状 主应力和主平面 主应力分析0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即0zzyzxyzyyxxzxyx2.6 主应力主应力2展开

10、032213III032213IIIzyxI1其中：其中： 主元之和主元之和 ij2222xzyzxyxzzyyxI代数主子式之和代数主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxI3应力张量元素应力张量元素构成的行列式构成的行列式主应力特征方程2.6 主应力主应力3 应力形状特征方程应力形状特征方程 确定弹性体内部恣意一点主应力和确定弹性体内部恣意一点主应力和应力主轴方向。应力主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、外主应力和应力主轴方向取决于载荷、外形和边境条件等，与坐标轴的选取无关。形和边境条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即因此，特征方程的根是确定的，即I1I1、

11、I2I2、I3I3的值是不随坐标轴的改动而变化的值是不随坐标轴的改动而变化的。的。 I1I1、I2I2、I3 I3 分别称为应力张量的第一、分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。第二和第三不变量。2.6 主应力主应力4特征方程有三个实数根特征方程有三个实数根s1s1，s2s2，s3s3分别表示这三个根，代表某点三分别表示这三个根，代表某点三个主应力。个主应力。对于应力主方向，将对于应力主方向，将s1s1，s2s2，s3s3分别代入分别代入和和 l2+m2+n2=1l2+m2+n2=1那么可求应力主方向。那么可求应力主方向。0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx2

12、.6 主应力主应力5主应力和应力主方向取决于构造外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。恣意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改动导致应力张量各分量变化，但应力形状不变。应力不变量正是对应力形状性质的描画。2.6 主应力主应力6l不变性l实数性l正交性主应力正交性证明：主应力正交性证明：下面证明下述结论：下面证明下述结论：1. 1. 假设假设s1s2s3s1s2s3，特征方程无重根；，特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直；应力主轴必然相互垂直；2.

13、2. 假设假设s1s1s2s3s2s3，特征方程有两重根；，特征方程有两重根； s1 s1和和s2s2的方向必然垂直于的方向必然垂直于s3s3的方向。而的方向。而s1s1和和s2s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3. 3. 假设假设s1=s2=s3s1=s2=s3，特征方程有三重根；，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力7 设s1，s2，s3 的方向分别为l1，m1，n1，l2，m2，n2和l3，m3，n3，那么 0)(0)(0)(111

14、111111111nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx0)(0)(0)(222222222222nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx0)(0)(0)(333333333333nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx分别乘以l2，m2，n2 分别乘以-l1,-m1,-n1六式相加，可得 0)(21212121nnmml l0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmll2.6 主应力主应力80)(21212121nnmml l0)(0)(3131311333323232nnmml lnnmmll假设 s1s2s3000313131323232

15、212121nnmmllnnmmllnnmmll3个应力主方向相互垂直 假设 s1=s2s300313131323232nnmmllnnmmll212121nnmmll可以等于零，也可以不等于零。 3与1和2的方向垂直，而1和2的方向可以垂直或不垂直。3的垂直方向都是1和2的应力主向。2.6 主应力主应力9假设 s1=s2=s3那么 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。任何方向都是应力主方向。 因此问题可证。1.假设s1s2s3，应力主轴必然相互垂直；2.假设s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3. 假设s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。2.6 主应力主应力10 主应力是一点一切微分面上最大或最小的主应力是一点一切微分面上最大或最小的正应力。正应力。 主应力和主平面分析确定最大正应力及其主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；作用方位； 最大切应力确实定。最大切应力确实定。 讨论恣意截面正应力和切应力的变化趋讨论恣意截面正应力和切应力的变化趋势势应力圆。应力圆。 最大切应力以及方位确实定。最大切应力以及方位确实定。2.6 主应力主应力11正应力和切应力分析1 2 3应力圆最大切应力方位2.6 主应力主应力122.7 应力球张量和应力偏张