分形理论及其在自然景物模拟中的应用

1、科技信息SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION2011年第25期0引言几个世纪以来,人类不断地认识和改造世界,同时也在创造事物,大部分人造对象都有比较规则的外形,即可以用欧式几何可以表示的形体,但还有一部分现象如,云雾、植物、山脉、海岸线、星辰等,这样的事物或现象,称之为不规则对象。对于这些,传统的欧式几何显得无能为力。20世纪70年代B.Mandelbrot 创立了分形几何学,用以表示那些自然界不规则的几何现象和物体,因此被称为“大自然本身的几何学”。由于分形几何在自然景物模拟方面的具有较好的效果,因此随着今年来计算机技术的发展,分形思想在虚拟场景、地理信息系

2、统、影视游戏的场景造型和真实感图形的绘制方面有着广泛应用。1关于分形 分形在英文中为fractal,原意是破碎,产生无规则碎片的意思。 B.Mandelbrot 以其英国的海岸线有多长著名论文,逐步提出了分形的理论。他指出这个问题的答案依赖于其测量时用的尺度。如果用公里作为单位,那么从几米到几百米的曲折就会被忽略;如果用米做单位,比用公里作单位所测得的结果会增加,但米级以下的曲折仍然不能反映出来。由于海岸线的不规则性,使得这样的测量在一定的范围内无法得到定值,但在大小两个方向上存在限制,高于或低于这个界限,所得的结果都是无意义的。其间这一范围称为无标度区,即海岸线的长度不是可以用特定定量维数来

3、表示的,存在分维。分形几何学就是研究存在分维对象的几何学。关于分形几何,一个著名的例子就是“魔鬼曲线”,即Koch 曲线,是由瑞典数学家科赫提出的。它的构造方法为:取一条长度为L 的直线段,将其三等分,保留两端的线段,将中间的线段用夹角为60°的两条等长线段代替,如图1,n=1的情况;再将长度为L/3的四条线段三等分,并作同样的替换,重复上述操作至无穷,便可以得到具有自相似结构的折线Koch 曲线,如果初始元不是线段而是一个三角形,那将会产生Koch 雪花,如图2。 图1图2由于分形几何所描述对象的特殊性,分形具有以下特征:(1自相似性。无论放大多少倍,局部总可以表示总体,或在统计意

4、义下代表总体。(2无限可分性。有精细的结构,有任意小的比例细节,局部与整体总有相似的结构。(3分数维数性。分形的分维数大于其拓扑维数。分形中维数突破了一般拓扑集为整数的界限,使得分形的维数具有非整数性。(4迭代(或递归性。一般的分形用传统的几何方法难以描述,但可以通过定义简单规则,通过递归和迭代的方法实现,这种方法称为过程式模拟。分形理论基于自相似性和迭代生成两个重要原则,自相似性意味着整体和局部的关系,迭代生成说明了自相似性分形对象的生成方法。2在自然景物模拟中的应用由于分形几何的特点,使其在一些自然景物的模拟方面具有极好的模拟效果,能够逼真的模拟如云、山、水、植被等自然景物。下面介绍两种常

5、用的分形几何景观建模方法。2.1Diamond-square 算法Diamond-square 算法是一种常见的随机中点位移算法,其算法的基本过程为:构造一个n ×n (n=2m +1,n 为维数,m 为参数的数组。如下图所示,在四脚点赋初始高度值,用黑点表示,通过以下过程进行迭代:Diamond 步:在正方形中点生成一随机值,中点为两对角线的交点,中点的值是四脚点的平均值加上一随机量得到的。如b 中,新值以黑色显示,已存在点用灰色表示,这样就形成一个棱锥。Square 步:取相邻四点形成的棱锥,在棱锥的中心生成一个随机值。平均顶点值加上与Diamond 步相同的随机量。计算每条边的

6、中点值(图c ,这样又得到一个正方形,迭代下去,如图d ,e 。利用此算法石贱弟等人已经可以生成云彩,加上纹理贴图技术和矩阵扰动技术甚至可以生成真实感动态云彩;顾大权等用以生成三维地形,并取得了较好效果2.2分形插值算法通过构造分形插值函数,运用通过已知局部点进行分形连续插值,其核心思想是随机数和递归算法的应用。用分形插值可以得到两相邻信息点之间的局部变化信息,因此插值结果更加实际。这种算法用于山脉的模拟,形成的山脉过度自然,逼真度高。3结束语本文从认识方法角度出发论述了分形几何学的基本理论,并在此基础上简单说明了其在自然景物模拟方面的应用。被称为“后现代空间”的分形几何学,是人们对于自然认识

7、的新突破。基于自相似性和迭代的核心,使得它与计算机图形学结合可以逼真的模拟自然景物,并由此广泛应用于真实感场景的设计中。【参考文献】1邓碧琴.分形及其对自然景物的模拟J.科技资讯,2007,NO.18:198-199.2赵国增,郭恒川.基于分形的真实感景物模拟研究J.河池学院报,2008,28(2:83-85.3龚琳,顾大权.基于分形的三维动态自然场景仿真J.测绘科学,2008,33(4:79-81.4石贱弟,姜昱明.基于分形几何的动态云模拟J.计算机仿真,2006,23(4:197-200.5刘鹏.分形在自然景观仿真研究中的发展与展望J.电脑学习,2008,2(1:18-19.作者简介:左进波,男,汉族,地理信息系统专业。责任编辑:王静分形理论及其在自然景物模拟中的应用左进波(聊城大学环境与规划学院山东聊城2520