考研数学历年真题(1987-2010)数(无水印)

1、下的坐标是_. 二、(本题满分 8 分) 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 1 t 2 x 求正的常数 与 使等式 成立. a b, lim dt 1 x0 0 2 bx sin x a t 三、(本题满分 7 分) 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 中横线上) f g ,u f (x, xy),v g(x xy), (1)设 、 为连续可微函数 求 (1)当 =_时,函数 取得极小值. x y x2x (2)由曲线 ln 与两直线 及 所围成的平 y x y e 1 x y 0 u v , . x x (2) 设 矩 阵 和 满

2、 足 关 系 式 其 中 A B AB = A 2B, 面图形的面积是_. x 1 (3)与两直线 1 及 都平行且过原 y t x 1 y 2 z 1 1 1 1 点的平面方程为_. z 2t 3 0 1 A 1 1 0, B. 求矩阵 0 1 4 四、(本题满分 8 分) (4) 设 为 取 正 向 的 圆 周 则 曲 线 积 分 L x2 y2 9, 求微分方程 的通解,其中常数 y y a2 y a 0. 6 (9 ) 1 xy y dx x2 x dy (2 2 ) ( 4 ) = _. L (5) 已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为 1 (1,1, 0),2 (1, 0

3、,1),3 (0,1,1), (2, 0, 0) 则向量 在此基底 五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每小题给出的 四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内) f (x) f (a) (1)设 则在 处 lim 1, x a (x a) 2 xa (A) (B) a 1 a f x f (a) 0 f (x) ( ) (A) 的导数存在,且 (B) 取 a an n 1 (C) (D) 得极大值 六、（本题满分 10 分） (C) f (x) 取得极小值 (D) f (x) 的 导数不存在 1 n1 求幂级数 的收敛域，并求其和函数. x

4、 ng 2 n n1 s (2)设 f (x) 为已知连续函数 , ( ) , 其中 I t f tx dx t 0,s 0, t 0 七、（本题满分 10 分） 则 I 的值 求曲面积分 s t s (A)依赖于 和 (B)依赖于 、 t x 和 I x(8y 1)dydz 2(1 y )dzdx 4yzdxdy, 2 (C)依赖于 、 ,不依赖于 (D)依赖于 , t x s s 不依赖于 t (3)设常数 则级数 k 0, (1)n n1 k n n 2 z y 1 1 y 3 其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而 f (x) y y x 0 成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于 y .

5、 2 (A)发散 (B)绝对收敛 八、（本题满分 10 分） k (C)条件收敛 (D)散敛性与 的取值有关 设函数 f (x) 在闭区间 0,1 上可微,对于 0,1 上的每一个 x, 函 (4)设 为 阶方阵，且 的行列式 而 是 的 A n A | A | a 0, A* A 数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅 f x (0,1) f (x) (0,1) ( ) * 伴随矩阵，则 等于 | A | 有一个 , 使得 x f (x) x. _. 九、（本题满分 8 分） 十一、（本题满分 6 分） 问 a,b 为何值时,现线性方程组 x x x x 0 1 2 3 4 x 2

6、x 2x 1 2 3 4 x (a 3)x 2x b 2 3 4 3x 2x x ax 1 1 2 3 4 设随机变量 相互独立,其概率密度函数分别为 X ,Y f (x) X 1 0 0 x 1 y 0 f y e y , ( ) , Y y 0 其它 0 求 的概率密度函数. Z 2X Y 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中 横线上) (1)设在一次实验中,事件 A 发生的概率为 p,现进行 n 次独立试 验,则 A 至少发生一次的概率为_;而事件 A 至多发生一 次的概率为_. (2)有两个箱

7、子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里, 再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已 知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球 是白球的概率为_. (3) 已 知 连 续 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为 1 f (x) e x x , 则 X 的数学期望为_, X 的方差为 2 2 1 1 x 0 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 0 x 1 数学(一)试卷 _. 2 x 2 , 则 的 傅 里 叶 级 数 在 处 收

8、 敛 于 (Fourier) x 1 一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (4) 设 4 阶 矩 阵 其 中 A , , , ,B , , , , 2 3 4 2 3 4 n (x 3) (1)求幂级数 的收敛域. n3 n n1 A 4, B 1, , , , , 均为 4 维列向量,且已知行列式 则行列 2 3 4 2 (2)设 且 ,求 及其定义 f (x) ex , f (x) 1 x (x) 0 (x) 式 = _. A B 域. 三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 (3) 设 为 曲 面 的 外 侧 , 计 算 曲 面

9、积 分 x2 y2 z2 1 四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 I x3dydz y3dzdx z3dxdy. 号内) 1 (1)设 f (x) 可导且 ( ) , 则 时 在 x 处的微 f x x 0 , f (x) 0 0 2 分 dy 是 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.把答案填在题 中横线上) 1 (1)若 f (t) limt(1 ) tx , 则 f (t) = _. 2 x x x x3 1 f (7) (2)设 f (x) 连续且 f (t)dt x,则 =_. 0 (A)与 等价的无穷小 (B) 与 同 x x 阶

10、的无穷小 (C)比 低阶的无穷小 (D) 比 高 x x 阶的无穷小 (3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 上定义为 (1, 1 f (x) (2) 设 ( ) 是 方 程 的 一 个 解 且 y f x y 2y 4y 0 f x f x f (x) ( ) 0, ( ) 0, x 则函数 在点 处 0 0 0值 (A)取得极大值 (B)取得极小 k11 k22 L kss 0 (C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内 单调减少 (3) 设 空 间 区 域 (B) 中任意两个向量均线性无关 L 1, 2 , , s 1 : x2 y2 z2 R2 , z 0, 2 : x2 y2 z2 R

11、2 , x 0, y 0, z 0, (C) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 L 1, 2 , , s 则 (A) (B) xdv 4 dv 1 2 ydv 4 ydv 1 2 (C) zdv 4 zdv (D) 1 2 xyzdv 4 xyzdv 1 2 x 1 x 2 (4)设幂级数 a (x 1) n 在 处收敛,则此级数在 处 n n1 (D) 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 L 1, 2 , , s 四、(本题满分 6 分) x y 设 u yf ( ) xg( ), 其中函数 f 、 g 具有二阶连续导数,求 y x 2 2 u u x 2 y . x xy (A)条

12、件收敛 (B)绝对收敛 五、(本题满分 8 分) (C)发散 (D)收敛性不 能确定 设函数 满足微分方程 其图形在点 y y x y3y 2y 2ex , ( ) (5) n 维向量组 线性无关的充要条件是 1,2 ,L ,s (3 s n) (0,1) y x2 x 1 处的切线与曲线 在该点处的切线重合,求函数 (A) 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 使 k1,k2 ,L ,ks , y y(x). 六、（本题满分 9 分） 九、（本题满分 9 分） k 设位于点 的质点 对质点 的引力大小为 为常 (0,1) A M k 2 ( 0 r f x a,b (a,b) f (x)

13、0, ( ) 设函数 在区间 上连续,且在 内有 证 ,r A M M y 2x x2 数 为 质点与 之间的距离),质点 沿直线 自 (a,b) , y f (x) 明:在 内存在唯一的 使曲线 与两直线 B(2, 0) O(0, 0), A M 运动到 求在此运动过程中质点 对质点 的引力 y f (), x a S y f (x) 所围平面图形面积 是曲线 与两直线 1 所作的功. y f (), x b 所围平面图形面积 的 3 倍. S 2 七、（本题满分 6 分） 1 0 0 1 0 0 已 知 其 中 求 AP BP, B 0 0 0 ,P 2 1 0, 0 0 1 2 1 1

14、A,A . 5 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中 横线上) (1)设在三次独立试验中,事件 A 出现的概率相等,若已知 A 至少 19 出现一次的概率等于 则事件 在一次试验中出现的概率是 , A 27 _. 八、（本题满分 8 分） 6 (2)若在区间 (0,1) 内任取两个数,则事件”两数之和小于 ”的概 5 2 0 0 2 0 0 A 0 y 0 0 0 1 B 已知矩阵 与 相似. 率为_. (3)设随机变量 X 服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知 u 2 1 x (x) e du,(2.5) 0.9938, 0 1 x 0

15、 0 1 (1)求 x 与 y. 2 2 1 (2)求一个满足 的可逆阵 P AP B P. 则 X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为_. 十一、（本题满分 6 分） 1 设随机变量 的概率密度函数为 求随机变 X f (x) , X (1 x ) 2 3 量 的概率密度函数 Y X ( ). 1 f y Y号内) 1989 年全国硕士研究生入学统一考试 (1)当 时,曲线 x y xsin 1 0 x 数学(一)试卷 (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有 铅直渐近线 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

16、 (D)既无水平 中横线上) f (3 h) f (3) f (1)已知 (3) 2,则 lim = _. h0 2h 2h 渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面 上点 处的切平面平行于平面 z 4 x2 y2 P z 4 x2 y2 P f x x f t dt f (x) 1 0 (2) 设 f (x) 是 连 续 函 数 , 且 ( ) 2 ( ) , 则 0 2x 2y z 1 0, 则点的坐标是 =_. (A) (B) (1,1, 2) (1,1, 2) (3) 设 平 面 曲 线 为 下 半 圆 周 则 曲 线 积 分 L y 1 x2 , (x y )ds 2 2 L =_.

17、(C) (D) (1,1, 2) (1,1, 2) (4)向量场 在点 处的散度 =_. (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数, divu P(1,1, 0) divu 3 0 0 1 0 0 A I (A 2I)1 1 4 0, 0 1 0, (5)设矩阵 则矩阵 0 0 3 0 0 1 =_. 则该非齐次方程的通解是 (A) (B) c y c y y 1 1 2 2 3 c y c y c c y 1 1 2 2 ( 1 2 ) 3 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 (C) (D) c y c y c c y c y c y

18、 c c y 1 1 2 2 (1 1 2 ) 3 四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 c y c y c c y 1 1 2 2 (1 1 2 ) 3 (4) 设 函 数 而 f x x x ( ) 2 ,0 1, (0) 0, 续的导数,且 计算 S(x) b sin n x, x , 其中 n n1 1 b f x n xdx n L 2 ( ) sin , 1, 2,3, , S( ) 1 则 等于 n 0 2 (A) (B) 1 1 2 4 1 1 (C) (D) 4 2 (5)设 是 阶矩阵,且 的行列式 则 中 A n A A 0, A (1,1) 2

19、 xy dx y(x)dy 的值. (0,0) (x z)dv, (3)计算三重积分 其中 是由曲面 与 所围成的区域. z 1 x2 y2 z 1 x2 y2 四、(本题满分 6 分) 1 x 将函数 展为 x 的幂级数. f (x) arctan 1 x z x2 y2 (A)必有一列元素全为 0 (B)必有两列 五、(本题满分 7 分) 元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D)任一列向 量是其余列向量的线性组合 f x x x t f t dt f f (x). ( ) sin ( ) ( ) , x 设 其中 为连续函数,求 0 六、（本题满分 7 分） 三、(

20、本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)设 其中函数 二阶可导 z f (2x y) g(x, xy), f (t) , g(u,v) x 证明方程 在区间 内有且仅有 ln x 1 cos 2xdx (0,) e 0 两个不同实根. 具有连续二阶偏导数,求 2 z xy . 七、（本题满分 6 分） (x) (2)设曲线积分 与路径无关,其中 具有连 xy2dx y(x)dy c 问 为何值时,线性方程组 x x 1 3 4x x 2x 2 1 2 3 (2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.

21、6x x 4x 2 3 1 2 3 (3)若随机变量 在 上服从均匀分布,则方程 (1, 6) x2 x 1 0 有解,并求出解的一般形式. 有实根的概率是_. 八、（本题满分 8 分） 假设 为 阶可逆矩阵 的一个特征值,证明 n A 十一、（本题满分 6 分） 1 1 (1) 为 的特征值. A 设随机变量 与 独立,且 服从均值为 1、标准差(均方差) X Y X 为 2 的 正 态 分 布 , 而 Y 服 从 标 准 正 态 分 布 . 试 求 随 机 变 量 A (2) 为 的伴随矩阵 的特征值. A A* Z 2X Y 3 的概率密度函数. 九、（本题满分 9 分） 设半径为 的球

22、面 的球心在定球面 R x2 y2 z2 a2 (a 0) 上,问当 为何值时,球面 在定球面内部的那部分的面积最大? R 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中 横线上) (1)已知随机事件 的概率 随机事件 的概 率 A P(A) 0.5, B P B P(B | A) 0.8, AUB ( ) 0.6 及 条 件 概 率 则 和 事 件 的 概 率 P(AUB) =_.四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 1990 年全国硕士研究生入学统一考试 号内) 数学(一)试卷 x F(x) e (1)设 是连续函数,且 F(x) f

23、(t)dt,则 等于 f (x) x 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 (A) (B) ex f (ex ) f (x) 中横线上) x t 2 ex f (ex ) f (x) (1)过点 且与直线 垂直的平面方程 是 M (1, 2 1) y 3t 4 (C) (D) ex f (ex ) f (x) _. z t 1 x a (2)设 为非零常数,则 =_. a lim( )x x a x ex f (ex ) f (x) (2)已知函数 具有任意阶导数,且 则当 f x f (x) f (x)2, n ( ) x 1 1 (3)设函数 ,则 =

24、_. f (x) f f (x) x 1 0 为大于 2 的正整数时 的 阶导数 是 , f (x) n f (n) (x) (A) (B) n! f (x)n1 n! f (x)n1 2 2 2 (4)积分 的值等于_. dx e y dy 0 x n f (x)n1 (5) 已 知 向 量 组 (C) (D) f (x)2n f (x)2n 1 (1, 2,3, 4),2 (2, 3, 4, 5),3 (3, 4,5, 6),4 (4, 5, 6, 7), n! f (x)2n 则该向量组的秩是_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 (3)设 a

25、为常数,则级数 na sin( ) 1 n n 2 n1 (A)绝对收敛 (B)条件收敛 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) a (C)发散 (D)收敛性与 的取值有关 (4) 已 知 在 的 某 个 邻 域 内 连 续 , 且 ( ) f x x 0 (1)求 1 0 ln(1 x) dx. (2 x) 2 f (x) (0) 0, lim 2, 1 cos x x0 f x 0 f (x)则在点 处 (A)不可导 (B) 可 导 , 且 (0) 0f (2)设 z f (2x y, ysin x), 其中 f (u,v) 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z xy .

26、(C)取得极大值 (D)取得极小 (3)求微分方程 的通解(一般解). y 4y 4y e2x y 4y 4y e2x 值 , 1 AX b (5)已知 、 是非齐次线性方程组 的两个不同的解 1 2 、 是对应其次线性方程组 的基础解析 、 为任意 AX 0 ,k k 2 1 2 四、(本题满分 6 分) (2n 1)x n 求幂级数 的收敛域,并求其和函数. n0 常数,则方程组 的通解(一般解)必是 AX b (A) 1 1 2 ( 1 2 ) (B) k k 1 2 2 k1 1 k2 ( 1 2 ) 1 2 2 (C) k1 1 k2 ( 1 2 ) (D) 1 2 2 k1 1 k

27、2 ( 1 2 ) 1 2 2 五、(本题满分 8 分) 求曲面积分 I yzdzdx dxdy 2 S 其中 是球面 外侧在 的部分. S x2 y2 z2 4 z 0 六、（本题满分 7 分） 设不恒为常数的函数 在闭区间 上连续,在开区间 f (x) a,b 九、（本题满分 8 分） 质点 沿着以 为直径的半 P AB (a,b) f (a) f (b). (a,b) , 内可导,且 证明在 内至少存在一点 使得 圆周,从点 运动到点 A(1, 2) B(3, 4) f ( ) 0. 的过程中受变力 作用(见图). 的 F F 大小等于点 与原点 之间的距离, P O 七、（本题满分 6

28、 分） 设四阶矩阵 其方向垂直于线段 且与 轴正 OP y 1 1 0 0 2 1 3 4 0 1 1 0 0 2 1 3 B ,C 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 向的夹角小于 求变力 对质点 . F 2 P 所作的功. 且矩阵 A 满足关系式 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中 A E C B C E ( 1 ) 横线上) (1)已知随机变量 X 的概率密度函数 其中 为四阶单位矩阵 表示 的逆矩阵 表示 的转置矩 E ,C1 C ,C C 1 f (x) e , x x 2 阵.将上述关系式化简并求矩阵 A. 则 X

29、 的概率分布函数 F(x)=_. 八、（本题满分 8 分） (2)设随机事件 A 、 B 及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6, 求 一 个 正 交 变 换 化 二 次 型 若 表 示 的 对 立 事 件 , 那 么 积 事 件 的 概 率 B B AB P(AB) f x1 4x2 4x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 2 2 2 成标准型. =_. (3)已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松(Poisson) 分布,k 2 2 e 即 则随机变量 的数学 PX k ,k 0,1, 2, , L Z 3X 2 k! 期望 E(Z) =_. 十一、（本题满分 6

30、分） 设二维随机变量 在区域 内服从均匀 (X ,Y) D:0 x 1, y x 分布,求关于 的边缘概率密度函数及随机变量 的方差 X Z 2X 1 D(Z). 1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 5 2 0 0 2 1 0 0 (5) 设 4 阶 方 阵 , 则 的 逆 阵 A A A1 0 0 1 2 0 0 1 1 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 =_. 中横线上) x 1 t 2 2 d y (1)设 ,则 =_. y cost dx 2 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 四个选

31、项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内) (2)由方程 所确定的函数 xyz x2 y2 z2 2 z z(x, y) (1)曲线 y 1 e 2 x 2 1 e x x 2 在点 处的全微分 =_. (1, 0,1) dz (A)没有渐近线 (B)仅有水平 渐近线 (3) 已 知 两 条 直 线 的 方 程 是 x y z x y z 1 2 3 2 1 l : ;l : . l l 则过 且平行于 的 1 2 1 2 1 0 1 2 1 1 平面方程是_. (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平 渐近线又有铅直渐近线 t 2 (2)若连续函数 f (x) 满足关系式

32、f (x) f ( )dt ln 2, 则 2 0 1 2 3 (4)已知当 时 与 是等价无穷小,则 x 0 ,(1 ax ) 1 cos x 1 f (x) 等于 常数 a =_. (A) (B) ex ln 2 e2x ln 2 (C) (D) ex ln 2 e2x ln 2 (1)n 2, 5, 1 (3)已知级数 a a 则级数 a 等于 n 2n1 n n1 n1 n1 (A)3 (B)7 (1)求 lim (cos x) . 2 x0 (2)设 是曲面 在点 处的指向外侧的 n 2x2 3y2 z2 6 P(1, 1, 1) (C)8 (D)9 (4)设 是平面 上以 、 和

33、为顶点的三角 D xoy (1, 1) (1, 1) (1,1) 6x 8y 2 2 法向量,求函数 在点 处沿方向 的方向导数. u P n z 形区域, D 是 D 在第一象限的部分,则 1 D (xy cos xsin y)dxdy 等于 y2 2z (3) 其中 是由曲线 绕 z 轴 旋 转 (x y z)dv, 2 2 x 0 一周而成的曲面与平面 z 4 所围城的立体. (A) 2 cos xsin ydxdy (B) D 1 四、(本题满分 6 分) 2 D 1 xydxdy 过点 和 的曲线族 中,求一条曲 O(0, 0) A(,0) y asin x(a 0) (C) (D)

34、0 4 (xy cos xsin y)dxdy D 1 线 使沿该曲线 从到 的积分 L, O A (5)设 阶方阵 、 、 满足关系式 其中 是 阶 n A B C ABC E, E n (1 y )dx (2x y)dy 3 的值最小. L 单位阵,则必有 (A) (B) ACB E CBA E (C) (D) BAC E BCA E 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 五、(本题满分 8 分) 将函数 展开成以 2 为周期的傅里叶级 f (x) 2 x (1 x 1) 1 数,并由此求级数 的和. n n 1 2 等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数( Q 是

35、法线与 x 轴的交 六、（本题满分 7 分） 设 函 数 f (x) 在 0,1 上 连 续 , (0,1) 内 可 导 , 且 (1, 1) x 点),且曲线在点 处的切线与 轴平行. 3 f (x)dx f (0), (0,1) c, f (c) 0. 1 证明在 内存在一点 使 2 3 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中 横线上) 七、（本题满分 8 分） 已 知 (1)若随机变量 服从均值为 2、方差为 的正态分布,且 X 2 1 (1, 0, 2, 3),2 (1,1, 3, 5),3 (1,1,a 2,1),4 (1, 2, 4,a 8) P

36、2 X 4 0.3, 则 PX 0=_. 及 (1,1,b 3, 5). (2)随机地向半圆 为正常数)内掷一点,点落 0 y 2ax x2 (a 0 y 2ax x2 (a (1) a 、 b 为何值时, 不能表示成 1, 2 , 3, 4 的线性组合? (2) a 、b 为何值时, 有 1, 2 , 3, 4 的唯一的线性表示式?写出 在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线 与 轴的夹角小于 的概率为_. x 4 该表示式. 十一、（本题满分 6 分） 设二维随机变量 的密度函数为 (X ,Y) 八、（本题满分 6 分） 1. 设 是 阶正定阵 是 阶单位阵,证明 的

37、行列式大于 A n ,E n A E f (x, y) 2e x y x 0, y 0 ( 2 ) 0 其它 求随机变量 的分布函数. Z X 2Y 九、（本题满分 8 分） 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P(x, y) 处的曲率1992 年全国硕士研究生入学统一考试 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 数学(一)试卷 四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内) 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 中横线上) x 1 2 1 (1)当 时,函数 ex1 的极限 x 1 ex1

38、 x 1 (1) 设 函 数 由 方 程 确 定 , 则 y y x ex y cos(xy) 0 dy ( ) dx =_. (A)等于 2 (B)等于 0 (C)为 (D)不存在但 不为 2 2 2 (2) 函 数 在 点 处 的 梯 度 u ln(x y z ) M (1, 2,2) gradu =_. M a a 0) (1)n (1 cos )( (2)级数 常数 n n1 1 x 0 (3)设 ,则其以 为周期的傅里叶 f (x) 2 1 x x 2 0 a (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 有关 x 级数在点 处收敛于_. (3) 在 曲 线 的 所 有

39、 切 线 中 , 与 平 面 x t, y t2 , z t3 x t, y t2 , z t3 (4)微分方程 tan cos 的通解为 =_. y y x x y x 2y z 4 平行的切线 a b a b L a b 1 1 1 2 1 n a b a b L a b A , 2 1 2 1 2 n (5) 设 其 中 L L L L a b a b L a b n 1 n 2 n n (A)只有 1 条 (B)只有 2 条 (C)至少有 3 条 (D)不存在 f (x) 3x x x , f (n) (0) n 3 2 (4)设 则使 存在的最高阶数 为 (A)0 (B)1 a 0,

40、b 0, (i 1, 2,L ,n). A r(A) 则矩阵 的秩 =_. i i (C)2 (D)3 1 0 (5)要使 0 , 1 都是线性方程组 的解,只要 AX 0 1 2 2 1 系数矩阵 A 为 2 1 2 (A) (B) z 2 . xy 1 x x 0 2 (3)设 f (x) ,求 x 0 e x 3 1 f (x 2)dx. 2 0 1 0 1 1 四、(本题满分 6 分) 求微分方程 的通解. y 2y3y e3x 1 0 2 (C) (D) 0 1 1 五、(本题满分 8 分) 计 算 曲 面 积 分 0 1 1 4 2 2 0 1 1 (x az )dydz (y a

41、x )dzdx (z ay )dxdy, 3 2 3 2 3 2 其中 为上半 2 2 2 球面 的上侧. z a x y 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 六、（本题满分 7 分） (1)求 (2)设 其中 具有二阶连续偏导数,求 z f (e sin y, x y ), x f 2 2 e sin x 1 x lim . x0 1 1 x 2 设 证 明 对 任 何 有 f x f x x ( ) 0, (0) 0, 1 0, 2 0, f (x x ) f (x ) f (x ). 1 2 1 2 七、（本题满分 8 分） 在变力 的作用下,质点由原点沿直线运动到

42、 F yzi zxj xykx y z 2 2 2 2 2 2 1 M (, ), 椭球面 上第一卦限的点 问当 、 、 a b c 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中 横线上) 取何值时,力 F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值. 八、（本题满分 7 分） 设向量组 线性相关,向量组 线性无关,问: 1, 2 , 3 2 , 3, 4 1, 2 , 3 2 , 3, 4 (1) , 能否由 线性表出?证明你的结论. 2 3 1 (1) 已 知 1 1 P(A) P(B) P(C) , P(AB) 0, P(AC) P(BC) , 则 事 4 6 件

43、 A 、 B 、C 全不发生的概率为_. (2)设 随机变量 X 服 从参 数为 1 的指数 分布 ,则数学 期望 EX e2X =_. (2) 能否由 1, 2 , 3 线性表出?证明你的结论. 4 十一、（本题满分 6 分） 设随机变量 与 独立 服从正态分布 服从 X Y , X N(, 2 ),Y 九、（本题满分 7 分） , Z X Y 上的均匀分布,试求 的概率分布密度(计算结果用 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 3, 对应的特征向量 依次为 t 2 1 x 标准正态分布函数 表示,其中 . (x) e 2 dt) 2 1 1 1 1 , 2 , 3 , 1

44、 2 3 1 4 9 又向量 1 2. 3 (1)将 用 1,2 ,3 线性表出. (2)求 An(n 为自然数).线性方程组 的通解为_. AX 0 1993 年全国硕士研究生入学统一考试 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 数学(一)试卷 四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内) 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 中横线上) (1) 设 则 当 时 f x t dt g x x x x 0 ( ) sin( ) , ( ) , sin x 2 3 4 0 1 (1) 函 数 F(

45、x) (2 )dt(x 0) 的 单 调 减 少 区 间 为 x 1 t , f (x) g(x) 是 的 (A)等价无穷小 (B)同价但非 _. 等价的无穷小 3x 2y 12 2 2 (2)由曲线 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 z 0 小 (C)高阶无穷小 (D)低价无穷 (2)双纽线 所围成的区域面积可用定积分表 (x2 y2 )2 x2 y2 (0, 3, 2) 处的指向外侧的单位法向量为_. 示为 a 0 2 (3)设函数 的傅里叶级数展开式为 f (x) x x2 ( x ) f (x) x x2 ( x ) (a cosnx b sin nx), b 则其中系数 的值为_.

46、 n n 3 n1 (A) 4 (B) 2 cos 2d 0 4 cos 2d 4 0 (C) 4 (D) 2 cos 2 d 0 (4) 设 数 量 场 ln , 则 u x2 y2 z2 div(gradu) =_. 1 2 4 0 (cos 2 ) d 2 (5)设 阶矩阵 的各行元素之和均为零,且 的秩为 则 n A A n 1, x y 6 x 1 y 5 z 8 (3)设有直线 l : 与 l : 则 l 与 1 2 2y z 3 1 1 2 1 P (A) 时 的秩必为 1 (B) 时 t 6 P t 6 的秩必为 2 (C) 时 的秩必为 1 (D) 时 t 6 P t 6 l

47、 2 的夹角为 P 的秩必为 2 4 2 (A) (B) 6 (C) (D) 3 (4)设曲线积分 与路径无关, f (t)ex sin ydx f (x) cos ydy L 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 2 1 lim(sin cos )x. x x x (2)求 xe x e 1 x dx. 其中 ( ) 具有一阶连续导数,且 则 等于 f x f (0) 0, f (x) (3)求微分方程 满足初始条件 的特解. x2 y xy y2 , y 1 1 x x x e e x x e e (A) (B) 2 2 x x e e (C) 1 (D) 2

48、 四、(本题满分 6 分) 2 2xzdydz yzdzdx z dxdy, 计 算 其 中 是 由 曲 面 z x2 y2 z 2 x2 y2 与 所围立体的表面外侧.z x2 y2 z 2 x2 y2 1 x x e e 2 1 2 3 Q 2 4 t ,P PQ 0, (5)已知 为三阶非零矩阵,且满足 则 3 6 9 五、(本题满分 7 分) 2 n ( 1) (n n 1) 求级数 的和. 2 n n0 六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 0,) f (x) (1) 设 在 上 函 数 有 连 续 导 数 , 且 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满

49、分 6 分.把答案填在题中 f x k f f (x) (0,) ( ) 0, (0) 0, 证明 在 内有且仅有一个零点. 横线上) (1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个, (2)设 证明 b a e, ab ba. 抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_. (2)设随机变量 服从 上的均匀分布,则随机变量 X (0, 2) Y X 2 七、（本题满分 8 分） 已知二次型 通 f (x , x , x ) 2x2 3x2 3x2 2ax x (a 0) f (x , x , x ) 2x2 3x2 3x2 2ax x (a 0) 1 2 3 1

50、2 3 2 3 在 内的概率分布密度 =_. (0, 4) f (y) Y f y y y a 1 2 2 5 3 , 2 2 2 过正交变换化成标准形 求参数 及所用的正交 变换矩阵. 十一、（本题满分 6 分） 1 X f (x) e , x . x 设随机变量 的概率分布密度为 2 (1)求 的数学期望 和方差 X EX DX. 八、（本题满分 6 分） (2)求 X 与 X 的协方差,并问 X 与 X 是否不相关? 设 是 矩阵 是 矩阵,其中 是 阶单位 A nm ,B mn n m,I n (3)问 X 与 X 是否相互独立?为什么? 矩阵,若 AB I, 证明 B 的列向量组线性

51、无关. 九、（本题满分 6 分） 设物体 A 从点 (0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动. 物体 从点 与 同时出发,其速度大小为 方向始终指向 B (1, 0) A 2v, A, 试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件. 1994 年全国硕士研究生入学统一考试 四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 号内) 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 (1) 设 sin x M cos xdx,N (sin x cos x)dx,P (x sin x cos x)dx, 4 3

52、4 2 3 4 2 2 2 1 x 2 2 2 2 中横线上) 1 1 (1) lim cot ( )= _. x x x sin 0 (2) 曲 面 在 点 处 的 切 平 面 方 程 为 z ex 2xy 3 (1, 2, 0) 则有 (A) (B) N P M M P N (C) (D) N M P P M N _. (2)二元函数 在点 处两个偏导数 、 f (x, y) (x , y ) ( , ) f x y 0 0 x 0 0 x 2u 1 (3) 设 u e x sin , 则 在 点 (2, ) 处 的 值 为 y xy f x y f (x, y) ( , ) 存在是 在该

53、点连续的 y 0 0 _. (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件 而非充分条件 (4) 设 区 域 为 则 D x2 y2 R2 , x y 2 2 ( )dxdy a b 2 2 D (C)充分必要条件 (D)既非充分 条件又非必要条件 =_. 1 1 (5)已知 1, 2, 3, 1, , , 设 A , 其中 是 的转 2 3 a (3)设常数 且级数 收敛,则级数 2 0, a (1)n n n n2 n1 n1 (A)发散 (B)条件收敛 置,则 A =_. n (C)绝对收敛 (D)收敛性与 有关 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 a

54、 tan x b(1 cos x) (4) 其中 则必有 lim 2, a2 c2 0, cln(1 2x) d(1 ex ) 2 x0 (A) (B) b 4d b 4d (C) (D) a 4c a 4c 四、(本题满分 6 分) xdydz z2dxdy S , 2 2 2 计 算 曲 面 积 分 其 中 是 由 曲 面 x y z S (5)已知向量组 1, 2 , 3, 4 线性无关,则向量组 x y R z R, z R(R 0) 2 2 2 及 两平面所围成立体表面的外 (A) 线性无关 (B) 1 2 ,2 3,3 4 ,4 1 侧. 1 2 ,2 3,3 4 ,4 1 线性无

55、关 五、(本题满分 9 分) 设 具 有 二 阶 连 续 函 数 且 f x , f (0) 0, f (0) 1, ( ) (C) 线性无关 (D) , , , 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 ,2 3,3 4 ,4 1 线性无关 xy(x y) f (x)ydx f (x) x2 ydy 0 为 一 全 微 分 方 程 , 求 f (x) 及此全微分方程的通解. 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) x cos(t ) 2 2 dy d y (1)设 1 ,求 、 在 t t 2 y t cos(t ) cosudu dx 2 dx 2 2 1 2 u 的值.

56、1 1 x 1 (2)将函数 f (x) ln arctan x x 展开成 的幂级数. x 4 1 x 2 六、(本题满分 8 分) 设 在 点 的 某 一 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且 f x x 0 ( ) f x ( ) 1 lim 0, 证明级数 ( ) 绝对收敛. f x0 x n n1 (3)求 dx . sin(2x) 2 sin x 七、（本题满分 6 分） 已知点 与 的直角坐标分别为 与 线段 绕 A B (1, 0, 0) (0,1,1). AB x S. S z 0, z 1 轴旋转一周所成的旋转曲面为 求由 及两平面 所 (2)设相互独立的两个

57、随机变量 具有同一分布率,且 的分 X ,Y X 围成的立体体积. 布率为 X 0 1 八、（本题满分 8 分） x x 0 1 2 设四元线性齐次方程组()为 , x x 0 2 4 1 P 2 Z maxX ,Y 则随机变量 的分布率为_. 1 2 又已知某线性齐次方程组()的通解为 k k k k 1(0,1,1, 0) 2 ( 1, 2, 2,1). 十一、（本题满分 6 分） (1)求线性方程组()的基础解析. (2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有 设随机变量 和 分别服从正态分布 和 且 X Y N(1, 32 ) N(0, 42 ), 的非零公共解.若没

58、有,则说明理由. 九、（本题满分 6 分） 1 X Y X Y , Z , 与 的相关系数 设 xy 2 3 2 (1)求 的数学期望 和 方差. Z EZ DZ 设 为 阶非零方阵 是 的伴随矩阵 是 的转置矩 A n ,A* A ,A A (2)求 与 的相关系数 X Z . xz 阵,当 时,证明 A* A A 0. (3)问 与 是否相互独立?为什么? X Y 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中 横线上) (1) 已 知 、 两 个 事 件 满 足 条 件 且 A B P(AB) P(AB), P(A) p, 则 P(B)=_.1995 年全国硕

59、士研究生入学统一考试 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的 四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括 数学(一)试卷 号内) 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题 中横线上) x 3y 2z 1 0 (1) 设 有 直 线 , 及 平 面 L : 2x y 10z 3 0 2 (1) =_. lim(1 3x) x sin x0 : 4x 2y z 2 0, L 则直线 d dx 0 cos 2 (2) x t dt = _. x 2 (A)平行于 (B)在 上 (C)垂直于 (D)与 斜交 (3

60、)设 则 =_. (ab)g c 2, (a b)(b c)g (c a) 0,1 f (x) 0, f (0), f (1), f (1) f (0) (2) 设 在 上 则 或 n R 2n1 (4)幂级数 x 的收敛半径 =_. 1 2 (3) n n n f (0) f (1) 的大小顺序是 (A) (1) (0) (1) (0) (B) f f f f (5) 设 三 阶 方 阵 , 满 足 关 系 式 且 A B A1BA 6A BA, f f f f (1) (1) (0) (0) 1 0 0 3 1 A B 0 0 , 4 则 =_. 1 0 0 7 (C) (D) f f f