2016新课标创新人教A版数学选修41 13 相似三角形的判定及性质

1、第1课时相似三角形的判定核心必知1相似三角形知识的回顾(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似2相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

2、引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似3直角三角形相似的判定定理(1)定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似问题思考1两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是

3、两个三角形相似的一种特殊情况相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等2如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3 cm，BC7 cm，B60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得APEB.求证：ABPPCE. 精讲详析本题考查相似三角形判定定理1的应用解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件因为BC，所以只需在ABP与PCE中再找到

4、一组对应相等的角即可ADBC，PADAPB.BBAD180°，BAPPAD120°.又APBCPE120°.BAPCPE.又BC，ABPPCE.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多1.如图，已知：DEAB，EFBC.求证：DEFABC.证明：DEAB，.又EFBC，.由知，而FODCOA，FODCOA.在ABC和DEF中，有.ABCDEF.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，顶点D、C分别在AM、BN上运动(点D不与A重合、

5、点C不与B重合)，E是AB边上的动点(点E不与A、B重合)，在运动过程中始终保持DEEC.求证：ADEBEC. 精讲详析本题考查直角三角形相似的判定方法解答此题需要证明RtADE和RtBEC中，除直角外有一组锐角对应相等因为DEEC，所以DEC90°.所以AEDBEC90°.又因为AB90°，所以AEDADE90°.所以BECADE.所以ADEBEC.(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似2如图，BD、CE是ABC的高求证：ADEABC.证明：BD、CE是ABC的高，A

6、ECADB90°.又AA，AECADB，.又AA，ADEABC.如图，已知在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，CFBA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2PE·PF.精讲详析本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰ABC底边上的高，所以PBPC，从而将所求证的结论转化为PC2PE·PF.进而可以证明PCEPFC来解决问题连接PC，在ABC中，因为ABAC，D为BC中点，所以AD垂直平分BC.所以PBPC，12.因为ABAC，所以ABCACB，所以ABC1ACB2，即34.因为CFAB，所以3F，所以4F.又因为EPCCPF，所

7、以PCEPFC，所以，所以PC2PE·PF.因为PCPB，所以PB2PE·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边(2)要说明线段的乘积式abcd，或平方式a2bc，一般都是证明比例式或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式3.在ABC中，BAC90°，BC边的垂直平分线EM和AB以及CA的延长线分别交于D、E，连接AM，求证：AM2DM·EM.证明：BAC90°，M是BC边的中点，AMCM，MACC.又EMBC，EC90°.又BAMMAC

8、90°，EBAM.又EMAAMD，AMDEMA.，AM2DM·EM.相似三角形的判定及应用是几何证明的重点内容之一新课标全国卷以圆为载体，以解答题的形式考查了直线的平行问题以及相似三角形的判定考题印证(新课标全国卷)如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD. 命题立意本题考查平行关系的证明及相似三角形的判定证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故C

9、DAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.由BCCD知CBDCDB，而DGBEFCDBC，故BCDGBD.一、选择题1 如图，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与ODB相似的三角形的个数是() A1B2C3 D4解析：选CBEAC，CDAB，ODB，ABE，ADC，OCE都是直角三角形又DBOEBA，AA，DOBEOC，ODBAEBADC，ODBOEC，与ODB相似的三角形有3个2 如图，ADBC于D，CEAB于E，交AD于F，图中相似三角形的对数是()A3 B4C5 D6解析：选DCDFC

10、EB，CDFADB，AEFADB，AEFCEB，AEFCDF，ADBCEB.3三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：选D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似4 如图所示，AOD90°，OAOBBCCD，则下列结论正确的是()ADABOCABOABODACBACBDADOACABD解析：选C设OAOBBCCDa，则ABa，BD2a.，且ABCDBA，BACBDA.二、填空题5如图，已知ABC，DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，与DBE相似的三角形的

11、个数为_解析：在DBE与ECH中，BC60°，BDEBED120°，BEDCEH120°，BDECEH.DBEECH.同理可证ADG和FHG也都和BED相似答案：36如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，BACADC，AC8，BC16，那么CD_解析：先根据已知条件和隐含条件证明ABCDAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段答案：47(陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_解析：由PEBC知，ACPED.在PDE和PEA中，APEEPD，APED，故PDEPEA，则，于是

12、PE2PA·PD3×26，所以PE.答案：8 如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_解析：DEBC，EFCD，FDEDBC，DFEBDC.FDEDBC，即BD.由，得2.AF2，AB.答案：三、解答题9 如图，已知：D是ABC内的一点，在ABC外取一点E，使CBEABD，BCEBAD.求证：ABCDBE.证明：CBEABD，BCEBAD，ABDCBE，ABCDBE，即，ABCDBE.10.如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB，E为AC的中点，ED，CB延长线交于一点F.求证：FD2FB·FC.证明：E是Rt

13、ACD斜边中点，EDEA，A1，12，2A，FDCCDB290°2，FBDACBA90°A，FBDFDC.F是公共角，FBDFDC，FD2FB·FC.11.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.(1)求证：CDEFAE；(2)当E是AD的中点，且BC2CD时，求证：FBCF.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD.又点F在BA的延长线上，DCFF，DFAE，CDEFAE.(2)E是AD的中点，AEDE.由CDEFAE，得.CDFA.ABCDAF，BF2CD，又BC2CD，BCBF，FBCF.第2课时相似三角形的性质

14、核心必知1相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方2两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方问题思考两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方如图，梯形ABCD，ABCD，E是对角线AC和BD的交点，SDECSDBC13，求：的值 精讲详析本题考查相似三角形的判定及性

15、质的应用解答本题需要利用相似三角形的性质求得之比，进而求得的值，最后求得的值SDECSDBC13，DEDB13，即DEEB12.又DCAB，DECBEA.SDECSBEA14.又DEEBCEEA12，SDECSDEA12.SDECSABD16.即.相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、对应角的平分线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长1已知：ABC与ABC中，CC90°，AA，BC6，AC8，ABC的周长为72.求ABC各边的长解：CC90°，

16、AA，ABCABC.在RtABC中，AB10.ABC的周长为681024.3.又AB10，BC6，AC8，AB30，BC18，AC24.如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC200 mm，高AD300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长精讲详析本题考查相似三角形性质的应用解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助AEHABC求解设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.因为EHBC，所以AEHABC.所

17、以.所以，解得x(mm)，2x (mm)答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用2 如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中ABC与ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度解：(1)ABCADE.BCAE，DEAE，ACBAED90°.AA，ABCADE.(2)由(1)得ABCADE，.AC2 m，AE21820 m，BC1.6 m.，DE16

18、m.答：古塔的高度为16 m.如图，已知矩形ABCD的边长AB2，BC3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点连AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F.(1)求证：APEADQ；(2)设AP的长为x，试求PEF的面积SPEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，SPEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明) 精讲详析本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用解答问题(1)只需证明APE和ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意ADQ的面积为定值，且SPEF(SADQ

19、SAPESPDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A，利用三点共线解决(1)证明：因为PEDQ，所以APEADQ，AEPAQD，所以APEADQ.(2)因为APEADQ，所以.因为ADBC，所以ADQ的高等于AB.所以SADQ3.所以SAPEx2.同理，由PFAQ，可证得PDFADQ，所以.因为PD3x，所以SPDF(3x)2.因为PEDQ，PFAQ，所以四边形PEQF是平行四边形所以SPEFSPEQF(SADQSAPESPDF)x2x.所以当x时，即P是AD的中点时，SPEF取得最大值，最大值为.(3)作A关于直线BC的对称点A，连接DA交BC于Q，则这个Q点就是使ADQ周长最小

20、的点，此时Q是BC的中点在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积3如图(1)，已知矩形ABCD中，AB1，点M在对角线AC上，AMAC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为27，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为16时，求AE的长解：(1)证明：四边形ABCD为矩形，OAAC.AMAC，AMOM.在RtABD中，AB1，AD，BD2.BOOAAB1，AOB是

21、等边三角形，又AMOM，BMAO，点B在直线l上(2)设ADa，则AC.EAMCAD，AMED90°，AEMACD，.又AMAC ，AE.由AEHC，得AEMCHM，HC3AE.又BHBCHCa，而S梯形ABHE(AEBH)·AB·1.S梯形ABHES梯形EHCD27，S梯形ABHES矩形ABCDa，a，解得a3，即AD3.(3)如图，l分别交AD、AC、AB于E、M、G三点，则有AEGDCA，.DC1，AE.SAEGAE·AG，即.AE2，AE.相似三角形的判定及其在有关计算问题中的应用是高考模拟的热点内容本考题以解答题的形式将相似三角形的判定及性质综

22、合考查，是高考命题的一个新亮点考题印证在ABC中，D是BC边上中点，且ADAC，DEBC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)证明：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长命题立意本题主要考查相似三角形的判定及性质的综合应用解(1)证明：因为ADAC，所以ACBADC.又因为D为BC的中点，EDBC，所以EBEC.所以BECB，所以ABCFCD.(2)如图，过A作AHBC，垂足为H，因为ADAC，所以DHDCBD.又DEBC，所以BDEBHA90°，BB，所以BDEBHA.所以.因为ABCFCD，所以4.所以SABC4SFCD4×520.又SA

23、BCBC·AH×10×AH20，所以AH4.所以DEAH×4.一、选择题1ABCABC，AD和AD分别是ABC和ABC的角平分线，且ADAD53，下面给出四个结论：BCBC53；ABC的周长与ABC的周长之比为53；ABC与ABC的对应高之比为53；ABC与ABC的对应中线之比为53.其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：选D由相似三角形的性质知4个命题均正确，选D.2D、E、F是ABC的三边中点，设DEF的面积为4，ABC的周长为9，则DEF的周长与ABC的面积分别是()A.，16 B9，4 C.，8 D.，16解析：选A如图，D、E、F

24、分别为ABC三边中点EF綊BC，ED綊AC，FD綊AB，DEFABC，且.，又lABC9，lDEF.又，且SDEF4，SABC16.3 如图所示，已知在ABC中，C90°，正方形DEFG内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，则AFFC等于()A13 B14 C12 D23解析：选C设正方形边长为x，则由AFEACB，可得AFACFECB，即.所以x，于是.4 如图所示，D是ABC的AB边上一点，过D作DEBC交AC于E.已知ADDB13，则ADE与四边形BCED的面积比为()A13 B19C115 D116解析：选C因为DEBC，所以ADEABC.又因为ADDB13.所以

25、ADAB14，其面积比为116，则所求两部分面积比为115.二、填空题5已知ABC的三边长分别为、2，ABC的两边长分别为1和.如果ABCABC，那么ABC的第三边长应为_解析：ABCABC，可设ABC的第三边长为x，则有，x.答案：6 如图，ABEFCD，已知AB20，DC80，那么EF的值是_解析：ABEFCD，EFAB×2016.答案：167 如图，在ABC中，D为AC边上的中点，AEBC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BGGA31，BC10，则AE的长为_解析：AEBC，BGFAGE.BFAEBGGA31.D为AC中点，1.AECF.BCAE21，BC10，AE5.答案

26、：58.如图所示，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形ABCD40 cm2.SABESDBA15，则AE的长为_解析：因为BAD90°，AEBD，所以ABEDBA.所以SABESDBAAB2DB2.因为SABESDBA15，所以ABDB1.设ABk cm，DBk cm，则AD2k cm.因为S矩形ABCD40 cm2，所以k·2k40，所以k2(cm)所以BDk10 (cm)AD4(cm)又因为SABDBD·AE20，所以·10·AE20.所以AE4 (cm)答案：4 cm三、解答题9.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DECD，BE与AD交于点F.(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，BAFB