质心系在近似处理中的特殊作用-质量悬殊的两体问题的近似处理

1、玉林师范学院本科生毕业论文质心系在近似处理中的特殊作用 质量悬殊的两体问题的近似处理Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal- the Approximate Disposal of Two-Body System with Great Disparity in Mass院 系 物理科学与工程技术学院专 业 物理学学 生 班 级 2008级 2班姓 名 覃 惠学 号 200805401230指导教师单位 物理科学与工程技术学院指导教师姓名 关小蓉指导教师职称 副教授质心系在近似处理中的特殊作用质量悬

2、殊的两体问题的近似处理物理学 2008级 2班 覃惠指导老师 关小蓉摘要质心参考系是一种重要的参照系, 本文主要阐述在实验室参考系与质心参考系 下对质量悬殊的两体问题近似处理进行比较,分析在进行近似处理时,质心参考下 的特点以及其特殊作用。关键词:两体问题,质心系,近似处理,质量悬殊Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal -the Approximate Disposal of Two-BodySystem with Great Disparity in MassPhysics Science 2

3、008-2 QinHuiSupervisor Guan XiaorongAbstractThe centroid reference frame is an important reference system. This paper mainly analyzes the characteristics of the reference system and its special effects, By giving approximatr treatment to two bodies of different quality under the Laboratory frame of

4、reference and centroid reference frame.Key words: great disparity in mass, two-body problem, frame of center of mass, approximate disposal目录1前言 . 12 质心参考系 . 2 2.l 质心的引进及意义 . 22.2质心参考系的定义 . 23 两体问题的动力学分析 . 2 3.1质点组的相对运动方程 . 23.2质点组的动能和相对运动动能 . 44 实例讨论 . 65 质心系的优越性分析 . 10 5.1 质心系及其特点 . 105.2质心系的优越性 .

5、116 结束语 . 127 致谢 . 12 参考文献 . 14玉林师范学院本科生毕业论文1前言自 18世纪以来, 经典力学已逐渐发展成为一门理论严谨、 体系完整的科学, 其中 单体问题通常都能精确求解, 而多体问题中每个质点的运动情况各不相同, 一般不能 精确求解, 而我们研究的多数为两体问题, 原因是许多实际的力学问题都可近似为两 体问题。 所谓两体问题就是指两个物体也就是两个质点组成的系统, 它们彼此以内力 相互作用, 并不受外力作用而运动的问题。 它包括的范围较广, 如单个行星绕太阳的 运动问题; 粒子受原子核的散射问题、 氢原子问题、 双原子问题以及两体弹性相互 作用问题等 1。两体问

6、题是天体力学,卫星空间运动理论的基础,也是粒子碰撞和散 射理论的基础, 在物理理论和物理方法上处于十分重要的地位, 是基础物理开向、 通 往近代物理的窗口和桥梁。两体问题的研究有重要的实际意义, 不但太阳、 行星和天体力学中其它许多天体 的运动属两体问题, 而且许多微观粒子间的相互作用和运动也属两体问题, 碰撞问题 也可以看成两体问题, 同时, 两体问题为解决多体问题打下了基础, 具有方法论的意 义 2。实际上,大多数多体问题,往往是其中两个物体间的相互作用比其它作用要强 得多, 因而就可先将这两个物体按两体问题处理, 而把其它物体对它的作用看成扰动 处于微弱外场或受微小外力作用对两体问题进行

7、修正。近似处理在物理学中用得很普遍, 而且常能突出问题的本质, 简化运算过程, 使 对问题的阐述变得简单明了。 对于两体问题, 可采用一些合理的近似使之简化, 本文 通过两种方法来对两体问题进行近似处理。 方法一是:在质心参考系下对质量悬殊的 两体问题进行近似处理。 方法二是:在实验室参考系下对质量悬殊的两体问题进行近 似处理。在质心参考系下两体问题属于质点系问题, 可以把它分解成质心的运动和相对于 质心的运动。由于不受外力,故质心作惯性运动。因而对两体问题,只需求出两质点 相对于质心的运动即可。 这在知道了相互作用力之后, 是不难解决的问题。 但对于两 体问题, 人们希望找出一个质点相对于另

8、一个质点的运动, 即用相对运动来描述, 也 就是化为所谓的等效单体运动问题,因而显示其特殊性。在实验室参考系下的两体问题可以直接运用牛顿运动定律来解决就可以了。 研究 发现, 上述这两种方法对近似处理质量悬殊的两体问题所得的结果是相同的, 但是质 心参照系在处理问题时比实验室参考系下更加直观、简捷和可靠。12质心参考系2.l 质心的引进及意义物理学的研究,往往是从质点开始的,并由此建立了一系列相应的质点力学规 律,用以描述质点运动所遵守的规律 3。但是,在实际问题中,常常会遇到被研究 对象不是一个质点而是共有很多相互之间有着密切联系的质点组成的质点组。质点 组是二个以上质点的组合,它的每一个质

9、点都遵循质点的运动规律,按理来说,质 点组的运动规律,可以从每一个质点人手,按照质点力学的研究方法逐一分析,然 后根据质点间所存在的联系加以综合、概括、抽象,从而得到整体的规律。所以质 点组实际上是以质点力学为基础,是质点力学的发展,使之不仅能解决单个质点的 力学问题,而且还能使我们认识由多个质点的组合而成的研究对象所遵守的力学规 律。按照上述讨论,在质点组动力学中,原则上可以用隔离体法,写出质点组中每 一个质点的运动微分方程式,由于每一个质点可以列出三个二阶微分方程式,为此 将得出数目繁多的二阶微分方程, 解题繁锁, 难以得到一般解 4。 此外 . 内力一般是 未知量,数目又大,更增加了问题

10、的复杂性。因此对质点组动力学的研究,采取了 整体性的方法。即第一,找出具有反映整体运动特征的物理量,例如总动量、总角 动量总功、总动能、总机械能等,并建立了它们的动力学方程,由这些方程求出系 统作为一个整体的运动特征 5。第二,为了描述质点组的整体的大体位置,我们引 进质心的概念,它是质点组中恒存在的一个特殊点,它的运动是很容易确定的,如 果以这个特殊点作为参考点,又能使问题简单化。2.2质心参考系的定义在研究质量悬殊的两体碰撞问题时,人们常运用两种不同的坐标系 . 一种叫实 验室坐标系,这时观测者在静止坐标系中观测两体问题的碰撞过程,常为实验工作 者所采用 . 另一种是随着质心运动的坐标系来

11、观察,叫质心坐标系,常为理论工作 者所采用。下面分别采用两种参考系解决一些两体问题,并分析讨论运用质心参考 系时的优越性 6。3 两体问题的动力学分析3.1质点组的相对运动方程下面分别运用两种方法来求出质点组的相对运动方程,一是采用实验室坐标 系来求出质点组的相对运动方程,二是采用质心坐标系来求出质点组的相对运动方 程。比较通过两种方法求出的动能,说明采用质心坐标系这一方法更为简便。设质点 1和质点 2的质量分别为 1m 和 2m ,它们不受外力的作用,只有内力相互作用。设质点 2对质点 1的作用力用 12f 表示,质点 1对质点 2的作用力用 21f表 示。 这是一对作用力与反作用力, 即

12、1221f f =-, 某时刻两质点的位置和图 3.1所示, o 为静止坐标系的原点, 两质点相对 o 的位置分别由位置矢 1r 和 2r 表示。 相对原点 o 而言,两点的牛顿运动方程为 7:1112m r f ''=(3.1.1 2221m r f ''= (3.1.21212r r r ''''''=- 212112r r r r ''''''''=-=- (3.1.3 1221f f =-(3.1.4具体计算,还得考虑当两物体运动时,相互作用

13、12f 、 21f的大小和方向随时间 的变化, (例如,相互吸引的两物体 1m 、 2m 之间引力的大小和方向会随 1r 、 2r 的变 化而改变 ,因而实际上是解算由六个二阶微分方程所组成的微分方程组。此外, 内力一般是未知量,更增加了问题的复杂性。但如果利用动力学基本定理,则对两 个物体组成的质点组来讲,常可将这些未知的内力消去(动能定理除外 ,而得到两个物体组成的质点组在外力作用下运动的某些特征。下面就是运用质心坐标系来 求出质量悬殊的两体问题的相对运动学方程。在质心参考系下处理两体问题在做等效单体而把物体 1m 相对于实际上 2m 的 运动, 简化成问题处理后, 把物体 2m 视为静量

14、止质为 1212( u m m m m =+的物体在静 止力心的作用下运动,其微分方程为 8:1212m m r r f m m ''''=+(3.1.5式中 1212( u m m m m =+是折合质量 , r为由 2m 向 1m 所作的矢径,由于这一简化是 取 2m 为参照系 r 与 12f共线, 这样计算就简单很多了, 由于 21m m >>, 则方程可变成 112m r f ''= (3.1.6综上可以看出,采用质心系来求出两物体的相对运动方程较实验室坐标系更为 方便、快键。3.2质点组的动能和相对运动动能下面分别运用两种方

15、法来求出质点组的动能,一是采用实验室坐标系来求出质 点组的动能,二是采用质心坐标系来求出质点组的动能。比较通过两种方法求出的 动能,说明采用质心坐标系这一方法更为简便。已知两个质点 1m 和 2m , 21m m >>, 1r 是质点 1m 对实验室参考系坐标原点 o 的 位矢 , 2r 是质点 2m 对同一实验室参考系坐标原点 o 的位矢 , 4r 是质心 c 对质点 1m 的 位矢, 5r 是质心 c 对质点 2m 的位矢 。 如下图(3.2.1 134r r r =+(3.2.1 235r r r =+(3.2.2对(3.2.1 、 (3.2.2求一阶导134r r r &#

16、39;''=+(3.2.3 235r r r '''=+ (3.2.4令 11v r '= , 22v r '= , 33v r '= , 44v r '= , 55v r '= , 1v 、 2v分别为质点 1m 、 2m 相对静止参 考系的速度, 4v 、 5v 分别是 1m 、 2m 相对质心的速度, 3v为质心相对于静止参照系 的速度。在实验室参考系下求质点组的动能 k E :2211221122k E m v m v =+ 134342353511( ( ( ( 22m v v v v m v v v v

17、 =+ 222213141422525311112222m v m v m v m m v m v v =+ 222123142514253111( ( 222m m v m v m v m v m v v =+2221425314251312111( 222c m v m v m v m v m v m m v m m +=+ (3.2.5 因为质心位置 1122312m r m r r m m +=+ ,所以质心速度 1122312m v m v v m m +=+而 142512m v m v m m + 显然是质心相对质心的速度,故为零。质点组的动能则为22231425111222c

18、m v m v m v =(3.2.6 由 (3.2.6 式知, 质点组的动能由两部分组成, 一部分是质心运动动能 2312c c E m v =,另一部分是两质点相对质心 c 的动能之和 2214251122k E m v m v '=+。在质心参考系下求质点组的动能 k E ': 由于413v v v =- , 523v v v =- , 1122312m v m v v m m +=+所以11224112121m v m v v v v m m m +=-=+11225212122m v m v v v v m m m +=-=-+式中, 1212v v v =-是 1m

19、 对 2m 的速度。则221122121221211( ( 2212kE m v m v m m v '=+-=(3.2.7当 21m m >>时, 1m ,则 211212k E m v '=(3.2.8 从上面式子可以看得出来采用质心参考系来处理质量悬殊的两体问题的时候 可以忽略质量大的物体的动能变化,而在实验室参考系下处理质量悬殊的两体问题 时则不能忽略。 4实例讨论下面运用几个例题来证明上面所讨论的内容。例一, 一质量为 M 的货车车尾载着一质量 m 的小车以速度 v 行驶在比较光滑 (假设车受到路面的作用力可以忽略的路面上,开始时,小车静止在货车上,某 一

20、时刻小车向货车头驶去,经过一段时间后小车的速度达到 1v (为简便,设 1v 为小 车相对于货车与小车质心系的速度大小现分别在实验室参考系和质心系讨论货车 与小车动能的改变。 (M m >>解法一: 在实验室参考下解答,由于两车这一系统所受的合外力为零,所以 其质心的速度 v 将保持不变。 小车动能的增量:22111( 22m E m v v mv =+-整理得:21112M E mv mvv =+ (4.1 货车动能的增量: 2221122M E Mv Mv =- (4.2 其中 2v 为小车的速度达到 1v时货车相对地面的速度由动量守恒有: 12( ( m v v Mv m M

21、 v +=+ 整理得:2mvv v M=- (4.3 由(4.3代入(4.2并整理得1M E mvv =- (4.4很显然, (4.4与(4.1比较不能被忽略,也就是说货车的动能变化不能忽略。解法二: 在质心系中解答,设 3v 为小车以速度 1v 相对于两者质心系运动时, 货车相对于质心系的速度,则有 小车动能的增量21102m E m v =- 2112mv = (4.5货车的动能增量23102M E Mv =- 2312Mv = (4.6 由动量守恒有130mv Mv += 得13mv v M=- (4.7 把(4.7代入(4.6并整理得 2112M m E mv M =m mE M= (

22、4.8 所以/1M m E E M =<<所以在质心系下货车的动能变化可以忽略。例二,下面我们来分析地球绕太阳运动,我们可以将太阳和地球看着一个两体 问题,太阳的质量是地球质量的 33万倍,分别采用用两种方法讨论地球绕太阳运 动的动力学方程 10。首先讨论由行星和太阳组成的两体相对于静止参考系的动力学问题。 如图 1所示,令 S 代表太阳, P 代表某一行星。 并设 p r是行星 P 对某一惯性坐标系原点 O 的位矢, 而 s r 是太阳对同一惯性坐标系原点 O 的位矢。以 M 及 m 分别代表太阳和行星的质量。 图 4.1 两体系统Fig. 4.1 two-body system

23、解法一: 运用实验室坐标系来力求地球对太阳的相对运动方程,则有r rGMm dt r d M s322= (4.9式中 r =, G 为万有引力常数,而行星对同一坐标系的动力学方程为: r r GMm dt r d mp322-=(4.10 求地球对太阳的相对运动方程,由方程(4.9 、 (4.10得: r m M rGMmdt r d dt r d Mm s p( (32222+-=- (4.11代入固有关系 r r r s p=-,得;r r GMm dt r d m M Mm322-=+ (4.12 令 mM Mm+=, 叫做折合质量,则(4.12可写成: r rGMm dt r d32

24、2-= (4.13由于太阳的质量是地球质量的 33万倍,则 M m >>,所以 m 。则地球对太阳的 动力学方程为:223d r GMm m r dt r=-(4.14解法二: 在质心系来求地球对太阳的相对运动方程 . 在做等效单体处理后, 可 直接得出方程:r rGMm dt r d322-= (4.15由于 M m >>,所以m ,则地球对太阳的动力学方程为: 223 d r GMm m r dt r=-(4.16 由于质心的性质 , 使得质心参照系在解决质量悬殊的天体组成的两体问题中具 有重要的地位 , 这是上述所讨论的。 . 此外 , 在近似处理这类的两体碰撞问

25、题时 , 质心系 仍发挥特殊的作用 , 是实验室参考系系所不及的 . 下面从实例出发对质量悬殊的两体 碰撞问题进行讨论。例三, 一质量为 M 的大球与一质量为 m 的小球在水平方向发生完全弹性正碰 , 碰前 , 大球的速度为 v (相对于地 , 小球处于静止状态 . 现分别在实验室参考系和质 心系讨论大球和小球的能量改变情况 11。 在实验室参考系下讨论大球能量的变化:设碰后大球的速度为 M v , 大球的速度改变量为 m v ,大球的能量改变量为k E 。则2211( 22k M M M E M v v Mv =+- 212M M M M v M v v =+ (4.17 在质心系参考下讨论

26、大球能量的变化:在质心系来看大球几乎是静止的,而小球是以速度为 v 朝大球碰来的,设碰撞前大球的速度为 M v ,碰撞后大球的速度改变量 M v ,则大球的能量改变量为 K E '. 则2211( 22kM M M E M v v Mv '=+- 212KM M M E M v Mv v '=+ 212M M v = =0 (4.18上式(4.17中 M v 一般不为零且不一定是数值小,而式(4.18中的 0M v ,0M M v v =。在 K E 中,第一项与 K E '相同,为一高阶小量,可以忽略。第二项 则由于 M 较大,一般不可以忽略。综上几道例题可以

27、看出:质量悬殊的两体问题,在质心坐标系下,大质量物体 M 的动能改变量近似为零, 而在实验室坐标系下, 尽管大质量物体的速度改变一小 量,但其动能的改变不可忽略。5 质心系的优越性分析5.1 质心系及其特点在质心系中,质点组受到的合外力不管是否为零,对于质点组总存在如下 12:11220m r m r ''+=11220m v m v ''+= (5.1 表明在质心坐标系中,两质点对质心的位矢方向总是相反,速度方向也总是相 反,动量也总是等值反向。通过上文的推导看出,质点组的能量守恒定律与实验室坐标系具有相同的形式。但对于质心而言,不管其是否做惯性运动,力学规律

28、形式不变。而实验室参考 系则不具有这一点, 由此可见质心是一特殊点, 质心参考系就是一个特殊参考系 13。 5.2质心系的优越性质心系在处理力学问题上表现出的优越性很多, 下面仅列出其在处理质量悬殊 的两体问题时表现出的优越性的几个重要物理量 14质量悬殊的两体问题相对于实验室参考系下的运动微分方程为:11( m r f r ''=22( m r f r ''=-(5.2.1 上面两式就是在实验室参考系下求解两体问题的基本方程, 而两体系统对于该 惯性系的质心位置矢量为:112212( /( c R m r m r m m=+(5.2.2 由(5.2.1 、 (

29、5.2.2两式得( r f r ''=(5.2.3其中 1212/( m m m m =+为折合质量, 12r r r =-是 1m 相对于 2m 的位置矢量。这就是 两体问题的动力学方程。下面来求出两质点的相对质心坐标系的动量表达式:质心是一个特殊点,不管它是否作惯性运动,在质心中的质点组相对于质心的 总动量恒等于零 15。由定义求出两质点相对质心坐标系的动量表达式,则有:1122c p m r m r ''=+(5.2.4由于在质心坐标系中(5.2.2恒为零,两边再对时间求导得:11220m r m r ''+= 则 11220c p m r

30、 m r ''=+=(5.2.5所以两质点对质心坐标系的动量恒为零。对于质量悬殊的两体问题可作等效一体问题处理,处理后把一物体 2m 视为静 止 , 而 把 另 一 物 体 1m 相 对 于 实 际 上 运 动 的 物 体 的 运 动 , 简 化 成 质 量 为覃惠 质心系在近似处理中的特殊作用质量悬殊的两体问题的近似处理 u = m1 m 2 ( m1 = m 2 的物体在静止力心 m 2 的作用下运动。则两物体相对质心坐标系 的动能表达式为： v2 v 2 Tc = ( m1 r1¢ + m 2 r2 ¢ / 2 = ( m1 m 2 / m1 + v2

31、 m 2 v / 2 = 1 2 mv v2 （5.2.6） 上式就是两体系统相对坐标系的动能表达式。 总的来说，在近似处理质量悬殊的两题问题时，质心系较实验室坐标系特殊在 于在计算质量悬殊的两体动能时，在质心系中可以被忽略的大质量物体的动能改 变，在实验室坐标系中一般是不能忽略的。质心系较实验室坐标系的另一特殊性在 于求质量悬殊的两体相对运动方程时，在质心系中可以把两体问题转化为简单的单 体问题来解答，而实验室坐标系则不能。所以在解决质量悬殊的两体问题时，采用 质心系来更为方便、简捷。 6 结束语 一般来说，质心系是非惯性系，牛顿定律以及它的结论都不成立，由于质心系 的独特性，使得许多力学规

32、律与惯性中的规律在形式上能够保持一致，这给我们解 决问题带来很多方便，实际上，质心系的优越性不仅仅是我上面讨论的那些，在研 究粒子的散射问题，微观粒子的对碰问题等，质心系都起了很重要的作用，随着人 们对质心系理解的不段加深，人们会对质心系的运用会更加灵活，质心系在科学研 究中也将发挥更大作用。 7 致谢 四年的学习生活即将结束，回首往事，自己一生最宝贵的时光能于这样的校园 之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极。在这 四年的时间里， 我在学习上和思想上都受益匪浅。 这除了自身努力外， 与各位老师、 同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的。 论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的，然而在老师