每日一题型7恒成立之分离全参数最值法

1、每日一题型 7 恒成立之分离参数最值法 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下 某些结论恒成立问题这类问题涉及到一次函 数、二次函数的性质、 图象 ,渗透着换元、 化归、 数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考 查学生的综合解题能力， 在培养思维的灵活性、 创造性等方面起到了积极的作用因此也成为 历年高考的一个热点分离参数最值法主要通过两个基本思想解 决“恒成立问题”思路 1、 xD, f(x) a,bmf (x)在xD上恒成立mbmf (x)在 xD上恒成立mamf (x)在 xD上恒成立mbmf (x)在 xD上恒成立ma思路 2、 xD, f(x) a,bmf (x)在xD上恒成立mbm

2、f (x)在 xD上恒成立mamf (x)在 xD上恒成立mbmf (x)在 xD上恒成立ma先看看几道例题：2二X亠2斗盘K己決)1 .函数：，若对任意-门，恒成立，数一;的取值围。解：若对任意* 卩皿)，畑 。恒成立，,、xJ +-2x 十 a即对，八 x “恒成立， 考虑到不等式的分母-,只需 工在二L厂时恒成立而得.2 2即a x 2x而x 2x 3所以a 32. 已知当 x三R 时，不等式 a+cos2x (a - 2)解得:注：注意到题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。另解：a+cos2

3、x5-4sinx+即a+1-2sin2x0,(坛卜1,1)恒成立。 设f(t)= 2t2-4t+4-a+八则二次函数的对称轴 为t=1,f(x)在-1 , 1单调递减。只需 f(1)0,即 a-2.(下同)3. (2016 一模)已知函数1f(x) = lnx ax2 2x.(1) 若函数f(x)在x = 2处取得极值，数 a的值;(2) 若函数f(x)在定义域单调递增，数a的取 值围；1 1(3) 当a= 2时，关于x的方程f(x) = 2x + b在1 , 4上恰有两个不相等的实数根，数 b 的取值围.比/ax2 + 2x 1解：(1)f (x) = -(x0) , x = 2x3 时，f

4、(x)取得极值， f (2) = 0,解得 a= 3, 经检验知符合题意.(2)函数f(x)的定义域为(0 ,+ ),依题意f(x) 0在x0时恒成立，即ax2 + 2x11 0 恒成立，即 a 0),1当=1时，(丄一1)2 1取最小值一1, a的取值围是(一， 1.1113(3)a= , f(x) = 2 + b,即4x2 2 + lnx b= 0.1 设 g()=42 -3-2 + lnx b(0),则 g(x)c(x 2)( 1)0 =2当 x(0,1),g(x)0,g(x)单调递增.当 x(1,2), g(x)0 ,g(x)单调递减.当 x(2,4), g(x)0,g(x)单调递增.

5、-g(x) 极小值= g(2) = ln2- b 2, g(x) 极大值= g(i)=又 g(4) = 2ln2- b-2.方程g(x) = 0在1 ,4上恰有两个不相等的实g (i) 0,5 数根，则 g (2) 0,解得 ln2 - 2b 0,4. (2016 一模)已知函数 f(x) = ax3- 3x +1对x (0, 1总有f(x) 0成立，贝U实数a的取值围是.解析：当 x (0, 1时不等式 ax3- 3x + 13x 13x 1玄0可化为 a x3 ，设 g(x) = x3 , x (0,1,1 3x3-( 3x - 1) 3x2 6x - 2g(x)=x6=-x4x (0,1

6、),2g(x)0,g(x)单调递增.1x(21),g(x)0,g(x)单调递减.1因此g(x)的最大值为g(b 4,则实数a的取值I / 围是4 ,+ ).5. (13分)(2016 模拟)已知函数 错误！未找 到引用源。(a0).(1) 若x=1是函数f(x)的一个极值点，求a的 值.(2) 若f(x) 0在0,+ a)上恒成立，求a的取值 围.提示：(1)x=1是函数f(x)的一个极值点，即 f(1)=0.f(x) 0在0,+)上恒成立，即 f(X)min0.解：(1)因为 f(x) ln(1 x)axx 1(a0), f (x)x 1 a(x 1)2错误!未找到引用源。因为x=1是函数f

7、(x)的一 个极值点，所以f (1)=0,即a=2.经检验a=2满足题意.(2)因为f(x) 0在0,+)上恒成立，所以f(x) min0.当0 0在0,+)上恒成立，即f(x)在0,+ a)上为增函数，所以 f(x) min =f(0)=0 成立，即 0a1 时，令 f(x)0,则 xa-1,令 f (x)0,则0 xf(a-1),矛盾. 综上,a的取值围为(0,1.下面完成几道练习：1. (2016 模拟)已知函数 f(x)=x-2lnx-错误！ 未找到引用源。+1,(1) 若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的 取值围.(2) 求g(x)的最大值.答案：(1) a的取值围是1,+ 8).(2) g(x)最大值 g(1)=-e.2. 已知函数f (x) =xlnx(1) 求函数f (x)的最小值；(2) 若对一切 x ( 0, +8),都有 f(x) 0 对于 t 1,2恒成立，数 m的取值围t 2t 1t 1、2 (22t) m(2r) 0解：当 t 1,2时，(22t)(2t)即 m(22t 1)(24t 1) , 22t 1