欧氏几何公理体系

1、欧氏几何公理体系第一讲欧氏几何公理体系目录一、几何概述P1二、公理化方法的内涵与意义 P1三、欧几里得几何原本简介 P2四、完备化的希尔伯特公理体系 P5五、中学几何公理系统 P8一、几何概述二、公理化方法的内涵与意义1. 什么是公理化方法公理化方法是“从某些基本概念和基本命题 出发，依据特定的演绎规则，推导一系列的定理, 从而构成一个演绎系统的方法。”一般由4部分组成：(1) 原始概念的列举(2) 定义的叙述(3) 公理的列举(4)定理的叙述和证明4个部分不是独立地叙述和展开，而是相互 交叉、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎 和展开的。原始概念和公理决定几何体系的基 础，不同的基础决定不

2、同的几何体系。如欧氏几 何、罗氏几何等。原始概念包含原始元素(图形) 和原始关系两类.原始元素如点、直线和平面等， 原始关系如结合关系、顺序关系、合同关系等。 原始概念没有定义，但它们的属性隐含在公理 中，如平面的属性，中学给出三个公理： 一直线上的两点在一个平面内，则直线上所有 点都在平面内；两平面有一公共点，则它们有且仅有一条过公 共点的直线；过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平 面。公理是“在一个系统中已为反复实践所证实 而被认为不需要证明的真理，具有自明性 ”。 一般来说，公理被人们普遍接受，无须证明，但 后来发现，有些公理并非十分显然，如第五公设。 因此，人们选用某些命题作为一种

3、演绎推理的出发点，并非一定要自明，只要大家能接受就行， 实质在于符合经验。2. 公理系统的三个基本问题（1）相容性（无矛盾性）若由公理系统不能推出两个矛盾的命题，则 称该公理系统是相容的。靠演绎推理的方法证明 系统（刀）的无矛盾性是不可能的，因为无论推出 多少个命题没有出现矛盾，也不可能保证继续推 下去保证永远不会发生矛盾。要证明无矛盾性， 数学上用解释（即作模型）的方法。先找一个模型 M使M的事物与刀的命题形成 对应关系， 我们先确定M的事物是存在的，或假设它是存在 的，后一情况，我们只证明了公理系统在 M存在 的条件下是无矛盾的，即刀相容是有条件的，如 欧氏几何的相容性归结为自然数的皮亚诺

4、公理 的相容性，而它又归结为集合的相容性，而集合 的无矛盾性至今也没有解决。（2）独立性（公理数量最少问题）确定刀中每个公理是必要的，不是多余的， 不能由其它公理导出，保证公理是最少个数问 题。解决起来很困难，如第五公设。在实际教学中，从学生的现有知识水平出发，为了提高教学 效率，故意多列一些公理，便于论证。（3）完备性（公理个数最大化问题）公理个数尽可能多，保证每个定理均能推 出。几何原本所列的公理是不够的，证明中 借助了几何直观和其它默契，如无顺序性等。公 理的完备性相当复杂，到目前为止，希尔伯特在 几何基础中才将欧氏几何的公理完备性解 决。一般地，多数数学理论是以不完备的公理系 统为基础

5、的，如群论（存在不同构的群）。对于一 个刀，要求必须是相容的，最好是独立的，是 否完备则视需要而定。3. 公理化方法的意义和作用关于公理化思想方法的作用，徐利治归结为 以下4点：这种方法具有分析、总结数学知识的作用。凡 取得了公理结构形式的数学，由于定理和命题 均已按逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也 较方便。公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚 楚，这就有利于比较各门数学的实质性不同，并能促使和推动新理论的创立。数学公理化方法在科学方法上有示范作用。 这 种方法对现代理论力学及各门自然科学理论 的表述方法都起到了积极的借鉴作用。例如，19世纪40年代波兰的Banach曾完成了理论力 学的公

6、理化；而物理学家亦把相对论表述为公 理化形式公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和 结构的和谐性确实符合美学的要求，因而为数 学活动中贯彻审美原则提供了范例。三、欧几里得几何原本简介欧几里得是柏拉图的学生，以其几何原本 闻名于世，但身世不详，没有哪位伟人能象他那 样声誉持久。其贡献在于对前人的材料加以整 理，并在书中作了系统阐述，于公元前300年完 成几何原本。本人是一个温和敦厚的教育家， 受托勒密一世之邀，长期在亚历山大城进行教学 和研究工作。他反对学数学投机取巧，也反对狭 隘的实用观点。一次，托勒密问他有无学习几何 的捷径，回答说：“在几何里，没有专为国王铺 设的大道。成为千古传诵的学习

7、箴言。又一个 学生问学习几何后能得到什么，欧几里得回答 说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实 利。几何原本先以手抄本流传，在有印刷术后， 先后有1000多种版本，在西方是仅次于圣经 的出版量最多的书，其影响之深远，以致使欧几 里得和几何学成了同义词。1 .几何原本简介几何原本由希腊数学家欧几里得 Euclid，公元前300年前后所著，是用公理 方法建立演绎数学体系的最早典范。是至今流传 最广、影响最大的一部世界数学名著。几何原本共13卷。每卷或几卷一起 都以定义开头。第一卷首先给出23个定义，摘要列举如下：(1) 点没有大小.(2) 线有长度没有宽度；(3) 线的界是点.(4) 直线是与

8、其上的点看齐的线.(5) 面只有长度和宽度.(6) 面的界是线.(7) 平面是与其上的直线看齐的面.(8) 平面角是平面上两相交直线的倾斜度.(15) 圆是包围在一(曲)线里的平面图形，使从 其内某一点到该线的所有直线段彼此相等.(16) 于是那一点便叫做圆的中心(简称圆心).(23)平行直线是这样的一些直线，它们在同一 平面内，而且往两个方向无限延长时， 在两个方 向上都不会相交.接着给出五条公设：I 从每个点到另一点可引直线.II 每一直线都可无限延长.III 以任意点为中心可用任意半径作圆.W.所有直角彼此相等.V .(在同一平面内)如果两条直线与第三条直 线相交，某一侧的两个内角之和小

9、于二直角， 则 把两条直线向该侧充分延长后一定相交.接着给出五条公理：I 等于同一量的量相等.II 等量加等量其和相等.川等量减等量其差相等.W.彼此重合的量相等.V 整体大于部分.这里，欧几里得把公设看成仅适于几何的公 理，把公理看成既适用于算术又适用于几何.现在的几何学把两者都称为公理，不再区分公设和 公理，而后五条算术公理一般不再明文列出.第一卷的后面提出 49个命题和证明等论 述，讨论有关平行线的判别和性质，三角形的全等和边角关系，垂线、平行四边形、多边形面积 和勾股定理等.第二卷 本卷编写的是用几何方法研究代数恒 等式，即几何中的代数共提出 14个命题，其 中包括线段的计算，黄金分割

10、，多边形变形为等 积正方形等.第三卷 本卷编写了与圆有关的定理，共提出37 个命题.其中有关于弦、圆心角、圆周角、切线、 割线、圆幂等定理，这些就是现在中学几何中所 提出的定理，证法也基本相同.第四卷 本卷编写了圆的内接和外切多边形的 性质，以及正多边形的作图等，最后一个命题是 作圆的内接正十五边形，共提出16个命题.第五卷 本卷编写了比例论，是在欧多克斯研究 成果的基础上发展而成的.欧几里得首先给出同 类的两个量之比，四个量成比例等定义，提出更 比、反比、合比、分比等性质，共提出 25个命 题.第六卷 本卷编写了相似形理论，以及求作一些 比例量的作图，共提出33个命题大部分和现 行中学几何教

11、材一致，其中第 31命题是毕达哥 拉斯定理的推广.第七、八、九卷 是有关数论的知识，讨论了整 数及整数比的性质，是纯粹讨论数的，其论证不 依赖于几何.第十卷本卷叙述了整数开平方的几何运算，以 及对无理数度量的分类，共提出115个命题.第十一到十三卷编写的是立体几何，以及求面 积、体积的“穷竭法”.第一卷叙述了立体几何的基本定理，包 括空间点、直线、平面相互位置关系的一系列定 理；关于多面角的理论；相似立体形、棱柱、棱 锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等概念和性质.其 中大部与现行中学立体几何课本的内容相同.第十二卷 本卷编写了几何体的表面积和体 积的有关定理，包括曲线和曲面所围成的形体的 面积和

12、体积.集中研究了欧多克斯研究过的“穷 竭法”.本卷共提出18个命题.所谓“穷竭法”，举例说，为证明两圆面积之 比等于其直径平方之比，可以通过圆的内接正多 边形，当边数不断增加时，正多边形的面积逐渐 接近圆的面积，而定理对正多边形成立，就证明 它对圆也成立.“穷竭”一词起因于相继作圆的 内接多边形，当边数无限增多时，穷竭了圆的面 积，不过欧几里得避开了极限的概念. 欧几里得 把这种方法推广到求空间图形的体积上.第十三卷 编写了正多边形本身的性质及内 接于圆的性质、球的内接正多面体的性质和作 图，以及确定五种类型正多面体等共提出19个命题.正多面体不能多于五种的证明，是根据第十一 卷命题21 “多

13、面角各面角之和小于360”来完 成的假设正多面体各面都是正三角形时，当时每个顶点都有三个正三角形时，则正四面体；当过每个顶点都有四个正三角形时，则得正八面 体；当过每个顶点都有五个正三角形时， 则得正 二十面体.过每个顶点不能有六个以上的正三角 形，因为这时多面角之和就要等于或者大于 360 假设正多面体的面都是正方形，过每个 项点的正方形只能有三个，这便是正六面体；假 设正多面体的面都是正五边形，过每个顶点只能 有三个正五边形，这便是正十二面体.此外再不 能有其他情形了。2.几何原本的伟大贡献几何原本内容是相当丰富的.我们说几 何原本是一部不朽的经典著作，可以举出很多 事例，但归纳起来主要有

14、三个方面：第一，从科学和数学本身来看，它是历史上 第一部真正的、系统的数学科学理论著作.它把 公元前3世纪以前所积累的经验几何和早期推 理几何的庞大的几何知识，加工整理成理论体 系，为后来几何发展奠定了坚实的基础. 实际证 明，它是几何学发展的一个重要的里程碑， 是人 类文明遗产中的瑰宝.第二，从科学方法论的角度来看，欧几里得 吸取了亚里士多德的关于建立科学理论的思想， 总结了古希腊各个学派对几何学方法的研究成 果，在几何原本中确立了古典公理化方法.几 何原本从少数基本概念和公理出发，运用形式 逻辑的原理，把几何学编排成由概念、公理、命 题组成的演绎体系.他的思想方法和示范性的工 作，为几何学

15、的研究开创了史无前例的新的途 径，为公理化方法奠定了良好的开端. 在此基础 上公理化方法逐步发展成为近代公理化方法，并 超越几何学的界限，被应用到整个数学和其他科 学领域.第三，从数学教育方面来看，由于几何原 本已把几何知识编排成系统的科学著作， 自然 就成为传播几何知识的重要教材，它在世界上引 起的巨大影响，使欧几里得的名字几乎成为几何 学的代名词了.世界上各国的中学几何教材，几 乎都是以几何原本的内容、方法编排而成的.3.几何原本不足之处几何原本虽是不朽的著作，但由于时代 和当时科学发展的局限性，难免存在许多缺陷主要的是以下三个方面：第一，欧几里得在几何原本中试图对每 个概念都给出定义，实

16、际上是不可能的.因此一 些定义，如开头的7个定义不过是对点、线、面 等几何概念的直观描述，它们在以后的推理论证 中根本不起作用；还有一些定义含糊不清，令人 费解，如“直线” “平面”等概念；还有一些定 义利用了未加定义的概念，如“界限”“长度”等等总之，在概念的处理上存在一些问题.第二，几何原本中作为演绎、推理基础 的公设不够用.希尔伯特对欧几里得几何给出了 20条公理，不多不少正好够用，而几何原本 仅给出5条公理（即5条公设，不含算术公理）, 显然缺少很多，有许多命题的证明由于缺少论 据，不得不借助于图形的直观感觉或未加证明的 一些事实为根据，即离不开几何实体.后来过了 2000多年的时间，

17、才逐步补齐了所缺的公理.第三、叙述上格式单调、割裂；有的命题的 证明过于烦琐、重复，以特例证明一般，甚至出 现逻辑错误等.四、完备化的希尔伯特公理体系几何原本的公理系统尽管具有伟大的历史 意义，成为表述科学真理的典范，但毕竟是初创 时期，存在许多的不足之处，那该怎样修改、补充几何原本中的定义、公理才能使几何成为 逻辑上完美无缺的科学呢？如何建立几何学牢 固的逻辑基础？两千年来，数学家们致力于研究 的重要课题，一方面增加或改换公理，促使几何 基础的严密化；另一方面，试证第五公设，导致 非欧几何的产生。在前一方面，做出伟大贡献的 是德国数学家希尔伯特。基本元素：点、线、面基本概念基本关系结顺合关系

18、基本关系顺序关系合同关系几何基础关联公理（I1 IJ顺序公理（II2 II4） 基本公理合同公理（III1 III5）平行公理（V）连续公理（V V）1 结合公理原始元素和关系点用大写拉丁字母A、等表示 直线用小写字母、八、等表示 平面用希腊字母八等表示结合关系（属于关系）用“二等术语表达 公理11对于任意两点刀、，恒存在直线卫通过 它们。（两点指不同的点）公理12 对于任意两点 ，至多存在一条直 线通过它们。上面两条公理肯定了通过任意两点存在惟一一 条直线。公理13在一条直线上至少有两个点，；至少存在三个点不在一条直线上。以上三条公理只确定点与直线的结合关系， 是平面几何的结合公理，建立空间

19、几何还需要引 进以下公理14|8公理I4 对于任意三个不在一条直线上的点XB、存在平面。通过它们。每个平面上至少有一个点。公理15 对于任意三个不在一条直线上的点-4、 三、T,至多有一个平面通过它们。公理16 如果直线卫上的两个点八、在平面口上， 则直线卫上的每个点在平面口上。公理17如果两个平面有一个公共点，则它们至少还有另一个公共点。公理18至少有四个点不在同一平面上。该公理所能导出的定理很少，不能证明点、直 线、平面的集合是无限的，甚至不可能证明“每 直线上至少有三个点”。在中学教材中，绝大部 分是直观承认了。2 顺序公理顺序公理是确定原始关系介于”或一点在两 点之间”的公理公理II1

20、如果B介于点M和点C之间，则HB、c是直线上三点，而且B也介于和卫之间。公理II2对任意两点用、匸，在直线皿上至少存在一个点万，使亡介于和万之间公理II3在一直线上的任意三点中，至多有一点介于其余两点之间.以上三条公理是直线上的顺序关系。公理|4（帕施Pasch公理）设上、是不在一条直线上的三个点，职是m、三点所决 定平面上的一条直线，并且不通过三点中任何一 个。如果直线卫通过线段拙的一个内点，则直线日 一定要通过线段M或线段眈之一的一个内点。3 合同公理合同公理所涉及的原始关系是“线段相等”和 “角相等”，它们的属性由下列公理来制约。公理III1设人B是直线4上的两点，如是同一直线或另一直线

21、X上的一点。则在X上卅的已知一 侧，一定可以找出一个点却，使线段朋合同于（或 相等于）线段丹，记做血却。对于每个线段肿有 亦朋。（这里的线段是无向线段，即长度） 公理III2如果两线段都合同于第三线段，则这两个线段也合同。公理III3设腼和耽是直线卫上的两个线段，没有公共的内部点。又设如和齢是同一直线或另 一直线上的两条线段，没有公共的内部点。如 果朋矽，比fL, 打月。这条公理肯定了合同线段的可加性。公理III4如果在平面:上已知；，在同一 个或另一个平面二上给定一直线,并且在平面 上二指定了直线的确定一侧，以及泊上从一点 出发的射线。则在平面二上直线*予先指的那一 侧，存在惟条以，为端点的

22、射线，使得冷血 合同于（或相等于）绞。公理III5 如果两个三角形 临口和之间有 合同关系， AC=AtCt， dBAC =则必有 ABC = AA（SrCf， dACB=伫4 连续公理W公理W 1（阿基米德命题）设观兔是任意两个线段，则在直线 肿上存在有限个点斤, 它们排成顺序：点人介于真和之间，点吗介于点X 和為之间等等，又*4并且使得点万介 于点虫和点九之间。（康托尔命题）公理W 2（康托尔命题）设直线。上存在线段的无穷序列佔忍场丘，其中后一线段都在前 一个线段的内部，且对于任何线段 陀，恒有理使 心吨则必有一点.落在所有线段的内部。前面合同公理川中讨论二线段比较大小的 问题，是进行直接

23、的比较，而非比较它们的长度 因为只用前三组公理不能说明每条线段有长度， 只有引入了连续公理后同，才能做到这一点。这 以后，两线段大小的比较转化为两个数目的比 较，在实践中方便多了。不仅如此线段与数目的 对应沟通了形与数，使我们在必要时可把几何问 题转化为代数问题，或把代数问题转化为几何问 题，解析几何就是这样。有了公理I到公理W之 后，可建立空间直角坐标系，进而解析几何的根 本问题解决了。在有了长度概念、角的测量问题 之后，可推导直线的连续性命题及直线上的点与 实数之间能建立对应关系，也能推导直线交 圆命题（在平面上过圆内部的点的直线交圆于两 点）和圆交圆命题（在一平面上一圆通过圆内部一 点和外部一点，则两圆必有两交点 ），从而解决 了初等几何的尺规作图问题。5 平行公理公理V （欧几里得平行公理） 在平面上，通 过直线外一点至多存在一条直线与已知直线不 相交。五、中学几何公理系统1中学几何属于欧几里得几何范畴中学几何是以欧几里得几何原本为原型建 立的。其方法采用了欧几里得实体公理化方法， 即以不完备的公理系统加上一些直观承认的客 观事实为基础，通过逻辑推理建立演绎体系，其 内容基本上是几何原本的内容2中学几何的