推理与证明周测

1、推理与证明一、选择题1 将正整数排成下表：12345678910111213141516则在表中数字2010出现在()B .第45行第75列D .第45行第74列A .第44行第75列C.第44行第74列答案D2解析第n行有2n- 1个数字，前n行的数字个数为1 + 3+ 5+ (2n 1) = n ；2 244 = 1936,45 = 2025，且 1936<2010,2025>2010 ,二 2010 在第 45 行.又 2025 2010 = 15,且第 45 行有 2X 45 1= 89 个数字，二 2010 在第 89 15= 74 列, 选D.2.设 ABC的三边长分别

2、为2Sa、b、c,AABC的面积为S,内切圆半径为r，则r = a+b+ c；类比这个结论可知：四面体S ABC的四个面的面积分别为 S" 存 &、Q，内切球的半径为r，四面体S ABC的体积为V,则r =()VA .S1 + S2+ S3 + S42VB. S1 + S2 + S3 + S43VC.S1 + S2 + S3 + S44VD. S1 + S2 + S3+ S4答案C解析设三棱锥的内切球球心为0,那么由 Vs- ABC= VO-ABC + vo- sab+ vo-sac+ vo-SBC,可得 r = S1 + 昇S3+ S4.1111即v=申仃+ 尹+ 尹+ 3

3、&r,3.若定义在区间 D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值X1, x2, , , xn,总满足f(xj + f(X2)+ , + f(xn) > nfj + X2； + Xn j,则称 为d上的凹函数，现已知f(x)=tanx在0,亦 上是凹函数，则在锐角三角形 ABC中，tanA+tanB + tanC的最小值是()2 _ _A. 3B.T C. 3 .3D. 33答案CtanC3tan A+B+C = 3tanf= 3J3故所求的最小值为3 3.4.观察(x2)'= 2x, (x4)'= 4x3, (cosx)'= sinx,由归纳推理可得：若定

4、义在函数f(x)满足f( x) = f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，贝U f( x)=(R上的A. f(x)B . - f(x)C. g(x)D . - g(x)答案D解析观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,-g(-x)=- g(x),选D.5如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1 1n（n > 2）,每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11 1= + _2+ 2,养 1+6,3=4+12,，则第7行第4个数（从左往右数）为（120丄丄13020 5C.601d.42答案解析第6行从左到右各数依次为1111

5、6 30' 60' 60' 30' 61，第7行从左到右各数依次11111为7,舊盘九，盘，右7，故选A.A与/ B是两条平行直线的同旁内角，则/A +6下列几种推理过程是演绎推理的是 A 两条直线平行，同旁内角互补，如果/ B = 180°B 某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人C. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质11an-1 + 摹（n>2）,由此归纳出an的通项公式7.若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：（a- b）2 + （b- ©2+ （c a）2 工

6、 0；D. 在数列an中，a1= 1，an= ? a>b与a<b及a= b中一定有一个成立； aMc, bMc, aM b不能同时成立.其中判断正确的个数是A. 0B. 1 C. 2D. 3解析正确，中aMc, bMc, aMb可能同时成立，如a= 1, b= 2,c= 3.答案 C&用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A. 假设三内角都不大于 60°B. 假设三内角都大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°答案B二、填空题9观察下列等式：13

7、+ 23= 32,13+ 23+ 33= 62,13+ 23+ 33+ 43= 102,根据上述规律， 第五个等式为.答案13+ 23+ 33+ 43+ 53+ 63= 212解析由 13+ 23+ 33+ , + n3=即；1 2 知 n = 6 时为 13+ 23 + 33 + 43 + 53 + 63= 212.10. (2010福建文)观察下列等式：2 COS2 a= 2cos a 1 ; cOS4 a= 8cOS4 a 8COS? a+ 1 ; cos6 a= 32cos6 a 48COS° a+ 18COS2 a 1 ； cos8 a= 128cos8 a 256cos6

8、 a+ 160cos4 a 32co a+ 1 ；108642 cos10a= mcos a 1280cOS a+ 1120cos a+ nC0S a+ pcos a 1.可以推测， m n + p =.答案962解析由题易知：m= 29= 512, p= 5X 10= 50m 1280 + 1120+ n + p 1= 1,/ m+ n+ p = 162. / n = 400, / m n + p= 962.11 .(文)设f(X)定义如表，数列Xn满足X1= 5 , Xn +1= f(Xn),则X2011的值为 .X123456f(x)451263答案5解析 由条件知 X1 = 5 , x

9、2 = f(x1) = f(5) = 6, X3= f(x2)= f(6)= 3 , X4= f(x3)= f(3) = 1 , X5 =f(x4)= f(1) = 4 , X6= f(x5)= f(4) = 2 , X7 = f(x6) = f(2) = 5= X1,可知xn是周期为 6 的周期数 列，-x2011 = X1 = 5.据此可知,xn周期为 6 ,二 X2011= X1 = 5.12.(文)(2010湖南文)给出下面的数表序列：表1表2表3,11 313 544 812其中表n(n = 1,2,3,)有n行，第1行的n个数是1,3,5, , , 2n 1，从第2行起，每 行中的

10、每个数都等于它肩上的两数之和.写出表4,解析表4为1357481212 2032三、解答题13 先解答(1)，再根据结构类比解答(2):(1) 已知 a, b 为实数，且 |a|<1, |b|<1,求证：ab+ 1>a+ b.(2) 已知 a, b, c 均为实数，且 |a|<1, |b|<1, |c|<1，求证:abc + 2>a + b + c.解析(1)ab+ 1 (a+ b)= (a 1)(b 1)>0.(2) / |a|<1, |b|<1, |c|<1，据(1)得(ab) + 1>ab+ c, abc+ 2= (ab) + 1 + 1>(ab+ c) + 1= (ab+ 1) + c>a+ b+ c.14.在厶ABC中，三个内角 A B、C对应的边分别为 a、b、c,且A B C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证： ABC为等边三角形.分析：要证明三角形 ABC为正三角形，可证三条边相等或三个角相等.证明：由A、B、C成等差数列，有 2B= A+ C.因为A、B CABC的内角，所