拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

1、拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划 第一章拓扑空间和拓扑不变量 数学分析中连续函数的定义和和域是欧几里德空间(直线、平面或空间)或其一部分。本章将首先抽象连续函数的定义域和值域的主要特 征来定义度量空间， 然后抽象连续函数的主要特征来定义度量空间的 连续映射。 然后将两者再次抽象， 给出了拓扑空间和拓扑空间之间的 连续映射。然后是拓扑空间的一些基本问题，如邻域、开集、闭集、 闭包、聚集点、导集、内部、边界、序列、极限等。都是一步步提出 来的。此外，还介绍了重要的拓扑不变性，如紧性、连通性、可数性 和可分性1.1 拓扑空间，开集，闭集，聚集点，闭包，邻域

2、一、问题介绍 在数学分析中， 我们知道在连续函数的定义中只涉及距离的概念。 该 域是一维欧几里德空间，即实空间。距离d(x，y)=|x-y| ，即两个实数之差的绝对值。 该域是 n 维欧几里德空间。 两点 x=(x1 ，x2，？，xn)， Y=(y1 ， y2，？， yn) d(x，y)= 1(x1 ? y1)2?+(xn ? yn)2 .无论它是多维空间，它的距离都有以下属性 :1. d(x, y) >p ? x, y R； 2.d(x, y) = 0? x = y。3.d(x, y) = d(y, x)? x, y R； 4.d(x, z) < d(xy) + d(y, z),

3、? x, y, z R;这些属性反映了距离的特征。通过将 R 推广到一般集合，我们可以从距离中抽象出度量和度量空 间的定义。Nnnn （1）度量空间1.定义定义1设X是一个集合，P : x x x严如果对于任何X, y, z X,有（正定性）p （x y）且 p （x y） = 0 ? x = y。（2）（对称性）p （xy） = p （y，x）；（3）（三角形不等式）p （xz） <p, yx+ p ,z）在集合x中称为p测度。1吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划如果p是集合x中的度量，那么偶对（x, p是度量空间，或者直径x 是度量空间。p （x y）叫做从x点到y点的距离。2.

4、 度量空间的例子 实数空间 R对于一组实数，p : r x r定义如下:x, y R,设p （x y）=|x-y|，很 容易知道p是R的度量，所以（R, p是一个度量空间。 显然，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。示例维欧洲空间r对于实数集R的n重笛卡儿积，R=FX Rx? X r，定义为p : r x r - r 如下:对于任意两点 x=（x1，x2，？，xn），Y=（y1，y2，？，yn） R， 设 p （x y）= 1 nnnnnn？ （xi？ 1ni？ yi）2，N可以证明p是R的度量，偶对（R, p被称为N维欧氏空间。有时 直径r被称为n维欧氏空间。当n=2时，R2常被称为

5、欧几里得平面 或平面。例 希尔伯特空间 h记住， H 是一组平方收敛的实数序列， 也就是说， H= x=（x1 ， x2，？，xn） | xi R, i Z+ ,? xi ? 1? 2hR如下:对于任何x=（x1 , x2, ?什么？ ,定义p : h x? xn），Y=（y1，y2，？，yn） H，设 p （x y）= 1？ ？ （xi ? 1i?易）2 .这个定义的合理性和检验证书？ （xi ？ 12岁？ y）ii ?并验证p是H的度量，参见P49附录。因 此（H, p）这是一个度量空间，叫做希尔伯特空间。示例 离散度量空间设（X , p是一个度量空间，（X , p是一个离散的度量空间或p

6、是一2吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划对于每个离散测度， 每个 x X 是否有一个实数？ x？ 0 表示 p （x， y）？ 对于任何y X, y半成立。例如，让X是一个集合，定义p : x xx严这样对于任何X, y X,都有? （x, y） ?离散的。思考问题? 0如果x?很容易知道p是X的离散度量，度量空间（X, p是1 如果 x? y。例 使 X= C (a , b) = f: a , b f R |f在a, b上连 续，对于任何 f, g C (a, b)，使 d(f, g)= 1? |f(x)-g(x)|dx ， d 是 C (a， b) 的度量吗?Ab( 答案 :d 是 C

7、 的度量 (a , b) ,所以 (C (a , b) , d) 是度量空间 )3. 邻域,开放集(1) 度量空间的球面邻域及其基本性质定义2。设(X , p是一个度量空间，x X，对于任何£ >0B(x , £ )= X | p (x y)定理度量空间(X , p的球面邻域具有以下性质 :每个点 x X 至少有一个邻域， X 属于每个邻域；(2) 对于点 x X 的任意两个球面邻域，都包含一个球面邻域；(3) 如果 y X 属于 X 的球面邻域，则 y 具有包含在 X 的球面邻域中 的球面邻域证明 : ?度量空间的开集及其基本性质定义3。让x是一个度量空间，a? x

8、,如果呢？ a。杜。？ 0,使B(a, £)？那么 a 是 x 的开集。根据定理 ，x 的球面邻域是开集。3吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划例 实数空间 R 中的开区间都是开集，而半开半闭区间和闭区间 不是开集。两个开放区间的并集也是一个开放集。可见，度量空间的开集是实空间开集的推广。定理 度量空间 X 的开集具有以下性质：集X本身和空集巾都是开集；(2)任意两个开 集的交集都是开集； (3)任何开集族都不是开集。证书？ 推导出 U 是度量空间开集的充要条件， U 是该空间中几个球面邻域 的并。度量空间中点 X 的球面邻域的扩展定义4。设X是一个度量空间，x X, U ? x,

9、如果有一个开集V , 那么x V? u是x的邻域。注：根据定义,开集 V 是每个点的邻域,但邻域不一定是开集。例如, 0, 2是 1 的邻域,但它不是开集。定理让X是一个度量空间，x X, U?那么u是x的邻域？救 援在B(x, e ?美国.证明：？这个定理为邻域提供了一个等价的陈述。演绎x是一个度量空间，u?那么u是x的开集？ u是其中每个点的 邻域。根据定义 和定理 的证明。(2)度量空间之间的连续映射定义5设x和y是两个度量空间，f: x t和x0 x。如果对于f (x0) 的任何球面邻域b (f (x0), e,)存在x0的某个球面邻域B(x0，门使 得f (B(x0 , S ) B(

10、f(x0) , e )那么映射f在x0是连续的。吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划如果映射 f 在 x 的每一点都是连续的，那么 f 就是一个连续函数。显 然，这个定义是数学分析中连续函数定义的一个纯粹形式上的扩展。定理如果x和y是两个度量空间，f: x -,y那么(1) F在x0处是连续的？ f (x0)的每个邻域的原始图像是x0的邻域；(2) f是连续的？ y中每个开集的原始图像是x中的开集。证据:” ”如果f在点x0是连续的，让u是f (x0)的邻域。根据第 节，有B(f(x0) , £?因为f在点x0处是连续的，所以存在B(x0 , 3,)使得 f (B(x0, 5 而

11、f-1 b (f (x0, £ ? F-1(U)和 B(x0, S? f-1 B(f(x0)£ ) ? B(f(x0) , £)那么B(x0 , 5呢？ F-1(U)，意思是f-1(U)是x0的邻域。?假设f (x0)的每个邻域的原始图像是x0的一个邻域，并给出f (x0) 的任意邻域b (f (x0), £,)则f-1 B(f(x0) , £ 是 x0的一个邻域，并且 根据 , x0 有一个球面邻域 B(x0, 5? F-1 B(f(x0) , £ )那么 f B(x0 , 5 )? B(f(x0) , £,)所以 f 在 x0 是连续的。” ”设f是连续的，因此V是y中的开集，U= f-1(V)。因为v是开 集，v是f(x)的邻域。因为f在每个点x上是连续的，u是x的邻域， 从上面的推