平面向量的意义

1、平面向量的意义已知两个力已知两个力F1和和F2同时作用在一个物体上同时作用在一个物体上,其中其中F1=40N,F2=30N,求它们的合力求它们的合力.东东B 北北A O C F2 F1F 。表表示示合合力力则则为为邻邻边边作作平平行行四四边边形形，、以以，表表示示，表表示示如如右右图图所所示示，FOCOBOAFOBFOA21NOBACNOAOACRt3040 ，中中，在在22ACOAOCF 由由勾勾股股定定理理得得223040 N50 tan1，则则的的夹夹角角为为与与力力设设合合力力FF75. 04312 FF 37 。，方方向向是是东东偏偏北北答答：合合力力大大小小为为 3750N什么是向

2、量？向量和数量有何不同？什么是向量？向量和数量有何不同？向量：即有大小又有方向的量向量：即有大小又有方向的量（数量：只有大小，没有方向的量）（数量：只有大小，没有方向的量）向量的向量的模模向量的向量的长度长度在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？量中，哪些是数量？哪些是向量？数量有：质量、身高、面积、体积数量有：质量、身高、面积、体积向量有：重力、速度、加速度向量有：重力、速度、加速度2. 向量如何表示？向量如何表示？AB, ,a b c 向量AB向量AB几何表示几何表示向量常用有向线段表示：有向线段的长向

3、量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。注注: 以以A为起点，为起点，B为终点的有向线段记为为终点的有向线段记为 线段线段AB的长度记作的长度记作 （读为模）；（读为模）；ABAB也可以表示：也可以表示：大小记作大小记作: cba、FG练习练习:1.:1.温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？2.2.向量向量 AB AB 和和 BA BA 同一个向量吗？为什么？同一个向量吗？为什么？我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，我们所说的向量，与起点无关

4、，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量. .如图：他们都表示如图：他们都表示同一个向量。同一个向量。不是，温度只有大小，没有方向。不是，温度只有大小，没有方向。不是，方向不同不是，方向不同aa说明说明1 1：有向线段与向量的区别：有向线段与向量的区别：有向线段：有固定起点、大小、方向有向线段：有固定起点、大小、方向向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。ABCDABCD有向线段有向线段ABAB、CDCD是不同的。是不同的。向量向量 ABAB、CD CD 是同

5、一个是同一个向量。向量。说明说明2 2：3. 什么是零向量和单位向量？什么是零向量和单位向量？零向量：零向量： 长度为长度为0的向量，记为的向量，记为 ；单位向量：长度为单位向量：长度为1的向量的向量.0注注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.4. 什么是平行向量？什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量.注：注：1.1.若是两个平行向量，则记为若是两个平行向量，则记为ba /2.2.我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量 ，a都有都有a/0三、

6、向量之间的关系：三、向量之间的关系：练习练习.判断下列各组向量是否平行？判断下列各组向量是否平行？ab ab ABCABC向量的平行与线段的平行有什么区别向量的平行与线段的平行有什么区别?0 .)5(; 00)4(;)3(;)2(;)1(ACDABBAAB其其中中正正确确命命题题的的个个数数是是大大于于向向量量向向量量向向量量向向量量就就是是有有向向线线段段定定不不平平行行方方向向不不同同的的两两个个向向量量一一长长度度相相等等和和向向量量向向量量否否正正确确练练习习：判判断断下下列列命命题题是是 1 .B2 .C2 .DB例例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置试根据图中的比例尺以及三地的位

7、置,在图中分别用在图中分别用 向量表示向量表示A地至地至B、C两地的位移，并求出两地的位移，并求出A地至地至B、 C两地的实际距离两地的实际距离(精确到精确到1km).1:80000005.什么是相等向量和共线向量？什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量注：注：1.若向量若向量 相等，则记为相等，则记为 ； 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的起点无关。表示，并且与有向线段的起点无关。, a b ababc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4

8、A1B1A2B2A3B3A4B4平行向量也叫共线向量平行向量也叫共线向量注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.OabcABC,aOA bOB cOC 2 ./,/,/)6(;,)5(;)4(;)3(;|,|)2(;)1(AcacbbakmknnmDCABABCDABCDDCABbaba是是其其中中不不正正确确命命题题的的个个数数则则若若则则若若中中，一一定定有有平平行行四四边边形形是是平平行行四四边边形形，则则四四边边形形若若则则若若的的起起点点相相同同，终终点点相相同同两两个个向向量量相相等等，则则它它们们否否正正确确练练习习：判判断断下下列列命命

9、题题是是 3 .B4 .C5 .DB0, 0.,.|,.,/.|,|.0, 0|.|,|. 1 aaGbabaFbabaEbabaDbababaCaaBbabaA则则若若不不是是共共线线向向量量与与则则若若则则若若则则若若或或则则若若则则若若则则若若下下列列说说法法是是否否正正确确的的长长度度与与的的方方向向与与的的单单位位向向量量，则则是是若若000|. 2aaaaaaa 相等相等几几何何图图形形为为这这些些向向量量的的终终点点构构成成的的处处，上上点点移移动动到到直直线线的的所所有有向向量量的的起起点点平平行行把把平平行行于于直直线线Pll. 3l直直线线以以上上都都有有可可能能同同一一条

10、条直直线线上上同同一一个个点点上上同同一一个个圆圆上上量量的的终终点点将将落落在在到到同同一一起起点点后后，这这些些向向把把所所有有相相等等的的向向量量平平移移. 4DCBAB5.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 OA OB OC 、 、OABCDEFOACBDO ：解解OBDCEO OCABEDFO ABCDEF6.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 OA OB OC 、 、O7 7：如图如图,EF,EF是是ABCABC

11、的中位线的中位线,AD,AD是是BC BC 边是的中边是的中 线线, ,在以在以A A、B B、C C、D D、E E、F F为端点的有向线为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出段表示的向量中请分别写出（1 1）与向量）与向量CDCD共线的向量有共线的向量有_个个, ,分别是分别是_；（2 2）与向量）与向量DFDF的模一定相等的向的模一定相等的向量有量有_个个, ,分别是分别是_；（3 3）与向量）与向量DEDE相等的向量有相等的向量有_个个, ,分别是分别是_。 ABCDEF7DC,DB,BD,FE,EF, CB, BC5FD,EB,BE,EA,AE2CF, FA8 8：如图：如图,D,

12、D、E E、F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBCMF是平行四边形，请分别写出是平行四边形，请分别写出： （1 1）与）与EDED共线的向量；共线的向量；（2 2）与）与EDED相等的向量；相等的向量；（3 3）与）与FEFE相等的向量。相等的向量。ABCDFEM解：（解：（1）DE、BF、FB、FA、 AF、CM、MC、AB、BA（2 2）FBFB、AFAF、MCMC（3）BDBD、DCDC、EMEM课本课本 P8687嘉祥一中高一、一科数学组嘉祥一中高一、一科数学组知识回顾知识回顾 1. 向量与数量有何区别向量与数量有何区别? 2. 怎样来表示向

13、量向量怎样来表示向量向量? 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向数量只有大小没有方向,如如:长度长度,质量质量,面积等面积等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向线段来表示用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示字母表示.如aAB,长度相等长度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因为如此正因为如此,我们研究的向量是

14、与起点无关的自由向量我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.) 上海上海香港香港台北台北引入引入1：上海上海香港香港台北台北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点 ，则与，记 则 这称为 已已知知非非零零向向量量在在平平面面任任取取一一作作向向量量叫叫做做的的和和作作即即种种求求向向量量和和向向量量加加法法的的三三角角方方法法，形形法法的的。首尾连首尾连首尾相接首尾相接

15、尝试练习一：尝试练习一：ACABCDE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根据图示填空：）根据图示填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 则则 OBab OABaba 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa ABb b例题讲解：例题讲解：思考思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？则是否还适用？如何作出两个向量的和？abab（1）（2）| |ababa

16、b 若 ， 方向相同，则ABCBCAabab00aaa规 定 ：| |abababba 若 ， 方向相反，则（或） 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边| |ababab 当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：| |abab 图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸长了伸长了EOEO；图；图2 2表示橡皮条在一个力表示橡皮条在一个力

17、F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度EOEO。从力学的观点分析，力。从力学的观点分析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以以同同一一起起的的已已知知向向量量 、 作作, ,以以起起的的角角就就是是 的的和和即即向向量量加加法法的的种种求求向向量量和和的的方方法法，形形法法。起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则：

18、向量加法的平行四边形法则：OABCabba 起点相同起点相同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则： 文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。和向量。例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 为邻边作为邻边作 OACB ，.OCOAOBab 连结连结OC，则，则abba BCA平

19、行四边形法则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的三角形法则和平行四边形，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出法则作出a b 、ab abbba思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请画图进行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常

20、常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图， 、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表

21、示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来

22、表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBC（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考思考：如设如设,x yR xy()xy 实数实数 的相反数记作的相反数记作 。aa如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？ 向量的减法运算及其几何意义向量

23、的减法运算及其几何意义回顾：回顾：一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的减法：二、向量的减法：()abab （2）()aa()aaa00BACab设设,AB b ACa DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b ababab你能利用我们学

24、过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ ()ab 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ a b三、几何意义：三、几何意义： 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba ba（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当）当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起点必须相同。（）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。）指向被减向量的终点。b

25、a一般地一般地abBabbAO（三角形法则）（三角形法则）a练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 三、几何意义三、几何意义注意：注意：（1）起点必须相同。（）起点必须相同。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地abBabbAO 可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量ba ba练习：练习：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 已知向量已知向量 ，求

26、作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd abcd OBACDabd c作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，,OA a ,OB b ,OC c ,OD d 则则BAab DCcd 作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。a b c d 练习：练习：ab已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。ab,a b （1）（2）ab（3）（4）abbaa b a b a b a b 例例4在在 ABCD 中，中，,ABa ,ADb你能用你能用 表示表示 吗？吗？,AC DB DBACabACa b DBa b ,

27、ab变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， 与与 互相垂直？互相垂直？ ,abababab变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， ,ab?ababab与 互相垂直巩固练习：巩固练习：1 1、在、在 中，中， ， ，则，则ABCBCa CAb AB a b bc ab2 2、如图，用、如图，用 表示下列向量：表示下列向量：a b c ，DBACEabcg fd e(1) e g (2) f d (3) d g ab c BACab)+=+=+abba( ab )ca( bc向量的减法向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。一、定义（利

28、用向量的加法定义）。二、几何意义（起点相同，由减向量的终点二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。指向被减向量的终点）。向量的概念向量的概念: :向量的表示方法：向量的表示方法：零向量、单位向量概念：零向量、单位向量概念： 平行向量定义：平行向量定义： 相等向量定义：相等向量定义： 共线向量与平行向量关系：共线向量与平行向量关系： 复习复习(1)两个有共同起点且相等的向量两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同其终点可能不同.(2) (3)若非零向量若非零向量 共线共线,则则(4)四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,则必有则必有 = (5)向量向量 平行平行,

29、则则 的方向相同或相反的方向相同或相反ab与ab=ABDCab与判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确, ,若不正确若不正确, ,请简请简述理由述理由. .ab与(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。 则若若 m m = = n n, ,n n = = k k, ,m m = = k k; ;CAB1 1、位移、位移ABBCAC+= OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间它们之间有什么关有什么关系系2 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F数的加法启发我们数的加法启发我们, ,从运算的角度看从

30、运算的角度看,AC,AC可以认为是可以认为是ABAB与与BCBC的的和和,F,F可以认为是可以认为是F F1 1与与F F2 2的和的和, ,即位移即位移, ,力的合成可看作向量的加力的合成可看作向量的加法法. .,abab +已知向量 求作向量向量的加法ab作法（1）在平面内任取一点O OAaAB =(2)作 ,bO Bab 作=+(3 )AB这种作法叫做向量加法的三向量加法的三角形法则角形法则,abab +已知向量 求作向量还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则位移的合成可以看位移的合成可以看作向量加法三角形作向量加法三角形法 则 的 物 理 模

31、型法 则 的 物 理 模 型oabABC作法（1）在平面内任取一点OOAa OBb =(2)作 ,O Cab作=+(3 ) 还有没有其他的做法？还有没有其他的做法？向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则这种作法叫做向量加法的平行四向量加法的平行四边形法则边形法则力的合成可以看作向力的合成可以看作向量加法的平行四边形量加法的平行四边形法则的物理模型法则的物理模型o已知向量a,b,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的四边形法则作出a+babACa b= + AC a b= + ABC(1) 同向ab(2)反向ab00aaa+=+=规定：ABC,a bab 当线时来向 量是 共向 量,又

32、 如 何作 出?判断判断 的大小的大小|abab+与1 1、不共线、不共线aboABb+aba |abab+ab+ababab+| |abab+=+2 2、 共线共线(1)同向(2)反向| |abab+判断判断 的大小的大小|abab+与BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b()()abbaabcabc+=+=+ 数的加法满足交换律与结合律数的加法满足交换律与结合律,即对任即对任意意a,bR,有有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量任意向量a,b的加法是否也满足交换律的加法是否也满足交换律与结合律与结合律?是否成立？是否成立？根据图示填空根据图示填空:(

33、1)a+d=_(2)c+b=_ACDBOabcdDA CB DCBAEgefdcab根据图示填空根据图示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_cffg例例2 2 长江两岸之间没有大桥的地方长江两岸之间没有大桥的地方, ,常常通过轮渡进行运输常常通过轮渡进行运输. .如如图所示图所示, ,一艘船从长江南岸一艘船从长江南岸A A点出发点出发, ,以以5km/h5km/h的速度向垂直于对的速度向垂直于对岸的方向行驶岸的方向行驶, ,同时江水的速度为向东同时江水的速度为向东2km/h.2km/h.(1)(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度试用向量

34、表示江水速度、船速以及船实际航行的速度( (保留保留两个有效数字两个有效数字) )解解:(1)CAD船速B 水速船实际航行速度(2)(2)求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向( (用与江水速度间的夹角用与江水速度间的夹角表示表示, ,精确到度精确到度).).在在RtABC中中,CADB=2,=5ABBC 22ACABBC 2225 = 295.429 tan,2CAB因为70CAB船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70()()abbaabcabc+=+=+小结小结1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则(要点：两向量首尾连接要点：两向量首尾连接)2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则(要点：两向量起点重合组成平行四边形两要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边邻边)3.向量加法满足交换律及结合律向量加法满足交换律及结合律学习目标学习目标:1、向量的加法运算，及其几何意义、向量的加法运算，及其几何意义 2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量的和向量 ABC1、位移、位移ABBCAC+= 2、力的合成、力的合成F1F2FF1 + F2 = F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数