勾股定理习题与详细答案

1、勾股定理11111111一选择题（共10小题）1（2016淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）AB2CD1052（2016漳州）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A5个B4个C3个D2个3（2016青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A（）6B（）7C（）6D（）74（2016东营）在ABC

2、中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A10B8C6或10D8或105（2016株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A1B2C3D46（2016黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A13B19C25D1697（2016南京）

3、下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A3，4，4B3，4，5C3，4，6D3，4，78（2016绵阳）如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取ABD=150°，沿BD的方向前进，取BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（）A180mB260mC（26080）mD（26080）m9（2016达州）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）ABCD10（2016杭

4、州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（mn），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）Am2+2mn+n2=0Bm22mn+n2=0Cm2+2mnn2=0Dm22mnn2=0二填空题（共10小题）11（2016资阳）如图，在等腰直角ABC中，ACB=90°，COAB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：DOE是等腰直角三角形；CDE=COE；若AC=1，则四边形CEOD的面积为；AD2+BE22OP2=2DPPE，其中所有正确结论的序号是12（2016枣庄）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交

5、通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45°，MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）13（2016哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为14（2016江西三模）如图，RtABC中，ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，ADBC，且AB=5，BC=12，则AD的长为15（2016南岗区模拟）在ABC中，ABC=30°，AB=8，AC=2，边AB的垂直平分线与直线BC相交于点F，则线段CF的长为16

6、（2016道外区一模）如图，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P为三角形内部一点，且PC=3，PA=5，PB=7，则PAB的面积为17（2016余干县二模）如图，在ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，AOC=120°，则当PAB为直角三角形时，AP的长为18（2016通州区一模）在我国古算书周髀算经中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90°，AB=3，AC=4，则

7、D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为19（2016富顺县校级模拟）如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为20（2016南陵县一模）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过米三解答题（共10小题）21（2016春周口期末）在四边形ABCD中，AB=AD=8，A=60°，D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度22（2016徐州模拟）一、阅读理解：在ABC中，BC=a，CA=b，AB

8、=c；（1）若C为直角，则a2+b2=c2；（2）若C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2c2；（3）若C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系二、探究问题：在ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围23（2016安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：ABC是勾股

9、三角形24（2016陕西校级模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO=60°，BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）25（2016丹东模拟）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得AC

10、l，BAC=60°，再在AC上确定点D，使得BDC=75°，测得AD=40米已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒（1）求CD的长（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.414，=1.73）26（2016长春模拟）探索：如图，以ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，连结BE、CD，试确定BE与CD有怎样数量关系，并说明理由应用：如图，要测量池塘两岸B、E两地之间的距离，已知测得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，

11、求BE的长27（2016东明县一模）如图，已知ABC中，BAC=90°，AB=ACD为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CEAB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明28（2016安徽模拟）如图，在RtABC中，C=90°，AC=BC，点D在AB的垂直平分线上，DAB=15°且AD=10cm，求BC的长29（2016春丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积30（2016春柳江县期末）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90&

12、#176;，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？勾股定理11111111参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2016淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）AB2CD105【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明ABGCDHBCE，可得GE=BEBG=2、HE=CHCE=2、HEG=90°，由勾股定理可得GH的长【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，在ABG和CDH中，ABGCDH（SSS），AG2+

13、BG2=AB2，1=5，2=6，AGB=CHD=90°，1+2=90°，5+6=90°，又2+3=90°，4+5=90°，1=3=5，2=4=6，在ABG和BCE中，ABGBCE（ASA），BE=AG=8，CE=BG=6，BEC=AGB=90°，GE=BEBG=86=2，同理可得HE=2，在RTGHE中，GH=2，故选：B【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出GHE为等腰直角三角形是解题的关键2（2016漳州）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC

14、上的动点（不含端点B、C）若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A5个B4个C3个D2个【考点】勾股定理；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】分类讨论【分析】首先过A作AEBC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案【解答】解：过A作AEBC，AB=AC，EC=BE=BC=4，AE=3，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）3AD5，AD=3或4，线段AD长为正整数，点D的个数共有3个，故选：C【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小

15、值，然后求出AD的取值范围3（2016青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A（）6B（）7C（）6D（）7【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=（）n3”，依此规律即可得出结论【解答】解：在图中标上字母E，如图所示正方形ABCD的边长为2，CDE为等腰直角三角形，DE2+CE2=CD2，DE=CE，S2+S2=S1观察，发现规律：S1=22=4，S

16、2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，Sn=（）n3当n=9时，S9=（）93=（）6，故选：A【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“Sn=（）n3”本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键4（2016东营）在ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A10B8C6或10D8或10【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长【解答】解：

17、根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD=8，CD=2，此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD=8，CD=2，此时BC=BDCD=82=6，则BC的长为6或10故选C【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键5（2016株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A1B2C3D4【考点】勾股定理菁优网版权所有【专

18、题】计算题；推理填空题【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3【解答】解：（1）S

19、1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3综上，可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个故选：D【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆

20、以及正方形的面积的求法，要熟练掌握6（2016黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A13B19C25D169【考点】勾股定理的证明菁优网版权所有【专题】数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=1

21、31=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故选C【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键7（2016南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A3，4，4B3，4，5C3，4，6D3，4，7【考点】勾股定理的逆定理菁优网版权所有【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可【解答】解：A、因为32+4242，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、

22、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+46，且32+4262，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意故选：C【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键8（2016绵阳）如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取ABD=150°，沿BD的方向前进，取BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD

23、和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（）A180mB260mC（26080）mD（26080）m【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】先根据三角形外角的性质求出E的度数，再根据锐角三角函数的定义可求BE，再根据线段的和差故选即可得出结论【解答】解：在BDE中，ABD是BDE的外角，ABD=150°，D=60°，E=150°60°=90°，BD=520m，sin60°=，DE=520sin60°=260（m），公路CE段的长度为26080（m）答：公路CE段的长度为（26080）m故选：C【点评】本题考查的是解直角

24、三角形的应用，熟知三角形外角的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键9（2016达州）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）ABCD【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中ABD，ADC，ABC是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为故选D【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系和勾股定理的逆定理运用，用到的知识

25、点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型10（2016杭州）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n（mn），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）Am2+2mn+n2=0Bm22mn+n2=0Cm2+2mnn2=0Dm22mnn2=0【考点】等腰直角三角形；等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m2+m2=（nm）2，整理即可求解【解答】解：如图，m2+m2=（nm）2，2m2=n22mn+m2，m2+2mnn2=0故选：C【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角

26、形的性质，根据勾股定理得到等量关系二填空题（共10小题）11（2016资阳）如图，在等腰直角ABC中，ACB=90°，COAB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：DOE是等腰直角三角形；CDE=COE；若AC=1，则四边形CEOD的面积为；AD2+BE22OP2=2DPPE，其中所有正确结论的序号是【考点】勾股定理；四点共圆菁优网版权所有【分析】正确由ADOCEO，推出DO=OE，AOD=COE，由此即可判断正确由D、C、E、O四点共圆，即可证明正确由SABC=×1×1=，S四边形DCEO=SDOC+SCEO=S

27、CDO+SADO=SAOC=SABC即可解决问题正确由D、C、E、O四点共圆，得OPPC=DPPE，所以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，由OPEOEC，得到=，即可得到2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明【解答】解：正确如图，ACB=90°，AC=BC，COABAO=OB=OC，A=B=ACO=BCO=45°，在ADO和CEO中，ADOCEO，DO=OE，AOD=COE，AOC=DOE=90°，DOE是等腰直角三角形故正确正确DCE+DOE=180°，D、C、E、O四点共圆，C

28、DE=COE，故正确正确AC=BC=1，SABC=×1×1=，S四边形DCEO=SDOC+SCEO=SCDO+SADO=SAOC=SABC=，故正确正确D、C、E、O四点共圆，OPPC=DPPE，2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，OEP=DCO=OCE=45°，POE=COE，OPEOEC，=，OPOC=OE2，2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2，CD=BE，CE=AD，AD2+BE2=2OP2+2DPPE，AD2+BE22OP2=2DPPE故正确【点评】本题考查勾股定理、四点共圆、全等三角形的判定和

29、性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用四点共圆解决问题，题目比较难，用到的知识点比较多12（2016枣庄）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45°，MBC=30°，则警示牌的高CD为2.9米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2=（2MC）2，代入数可得答案【解答】解：由题意可得：AM=4米，MAD=45

30、76;，DM=4m，AM=4米，AB=8米，MB=12米，MBC=30°，BC=2MC，MC2+MB2=（2MC）2，MC2+122=（2MC）2，MC=4，则DC=442.9（米），故答案为：2.9【点评】此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方13（2016哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为或【考点】等腰直角三角形菁优网版权所有【分析】如图1根据已知条件得到PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；如图2，根据已知条件得到PC=BC=1，根据勾股定理即可得

31、到结论【解答】解：如图1，ACB=90°，AC=BC=3，PB=BC=1，CP=2，AP=，如图2，ACB=90°，AC=BC=3，PC=BC=1，AP=，综上所述：AP的长为或，故答案为：或【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键14（2016江西三模）如图，RtABC中，ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，ADBC，且AB=5，BC=12，则AD的长为【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【分析】连接AE，根据垂直平分线的性质可得AE=EC，然后在直角ABE中利用勾股定理即可列方程求得EC

32、的长，然后证明AODCOE，即可求得【解答】解：连接AEDE是线段AC的垂直平分线，AE=EC设EC=x，则AE=EC=x，BE=BCEC=12x，在直角ABE中，AE2=AB2+BE2，x2=52+（12x）2，解得：x=即EC=ADBC，D=OEC，在AOD和COE中，AODCOE，AD=EC=故答案是：【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确列方程求得EC的长是关键15（2016南岗区模拟）在ABC中，ABC=30°，AB=8，AC=2，边AB的垂直平分线与直线BC相交于点F，则线段CF的长为或【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质菁优网版权所有

33、【分析】在ABC中，已知两边和其中一边的对角，符合题意的三角形有两个，画出ABC与ABC作ADBC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出CD=CD由EF为AB的垂直平分线求出AE和BE长，根据勾股定理和解直角三角形求出AD、CD、BD、BF，即可求出答案【解答】解：如图，作ADBC于D，AC=AC=2，ADBC于D，CD=CD，EF为AB垂直平分线，AE=BE=AB=4，EFAB，ABC=30°，EF=BE×tan30°=，BF=2EF=，在RtABD中，ADB=90°，ABD=30°，AD=AB=4，由勾股定理得：CD=2，BD=4，即F在C

34、和D之间，BC=BDCD=42=2，CF=BFBC=2=，CF=BCBF=4+2=，故答案为：或【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，根据题意画出图形进行分类讨论是解题的关键16（2016道外区一模）如图，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P为三角形内部一点，且PC=3，PA=5，PB=7，则PAB的面积为14【考点】勾股定理；等腰直角三角形菁优网版权所有【分析】过P作PDAC于D，PEBC于E，根据四边形CDPE是矩形，得到CD=PE=y，CE=PD=x，设PD=x，PE=y，AC=BC=a，列方程组即可得到

35、结论【解答】解：过P作PDAC于D，PEBC于E，则四边形CDPE是矩形，设PD=x，PE=y，AC=BC=a，CD=PE=y，CE=PD=x，a2ayax=28，SAPB=SABCSAPCSBCP=a2axay=14故答案为：14【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各性质是解题的关键17（2016余干县二模）如图，在ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，AOC=120°，则当PAB为直角三角形时，AP的长为2或2【考点】勾股定理菁优网版权所有【专题】分类讨论【分析】利用分类讨论，当APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1

36、，易得PBA=30°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；情况二：利用锐角三角函数得AP的长；如图2，当BAP=90°时，如图3，利用锐角三角函数得AP的长【解答】解：当APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，AO=BO，PO=BO，AOC=120°，AOP=60°，AOP为等边三角形，OAP=60°，PBA=30°，AP=AB=2；情况二：如图2，AO=BO，APB=90°，PO=BO，AOC=120°，BOP=60°，BOP为等边三角形，OBP=60°，AP=

37、ABsin60°=4×=2；当BAP=90°时，如图3，AOC=120°，AOP=60°，AP=OAtanAOP=2×=2故答案为：2或2【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，利用分类讨论，数形结合是解答此题的关键18（2016通州区一模）在我国古算书周髀算经中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90°，AB

38、=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为110【考点】勾股定理的证明菁优网版权所有【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形CBF=90°，ABC+OBF=90°，又直角ABC中，ABC+ACB=90°，OBF=ACB，在OBF和ACB中，OBFACB（AAS），AC=OB，同理：ACBPGC，PC=AB，OA

39、=AP，矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，KL=3+7=10，LM=4+7=11，矩形KLMJ的面积为10×11=110【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键19（2016富顺县校级模拟）如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为150cm【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】根据题意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色丝带的长即可【解答】解：如下图，彩色丝带的总长度为=150cm，故答案为：150cm【点评】本题考查了勾

40、股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大20（2016南陵县一模）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过4米【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形连接PO，与BC交于点G，利用CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米【解答】解：设平板手推车的长度不能超过x米则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形连接PO，与BC交于点N直角走廊的宽为2m，PO=4m，GP=POOG=

41、42=2（m）又CBP为等腰直角三角形，AD=BC=2CG=2GP=4（m）故答案为：4【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形知识，解答的关键是由题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形三解答题（共10小题）21（2016春周口期末）在四边形ABCD中，AB=AD=8，A=60°，D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度【考点】勾股定理；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】如图，连接BD，构建等边ABD、直角CDB利用等边三角形的性质求得BD=8；然后利用勾股定理来求线段BC、CD的长度【解答】解：如图，连接B

42、D，由AB=AD，A=60°则ABD是等边三角形即BD=8，1=60°又1+2=150°，则2=90°设BC=x，CD=16x，由勾股定理得：x2=82+（16x）2，解得x=10，16x=6所以BC=10，CD=6【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质根据已知条件推知CDB是解题关键22（2016徐州模拟）一、阅读理解：在ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若C为直角，则a2+b2=c2；（2）若C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2c2；（3）若C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系二、探究问题：在ABC中，BC=a=

43、3，CA=b=4，AB=c，若ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围【考点】勾股定理菁优网版权所有【分析】一、（1）由勾股定理即可得出结论；（2）作ADBC于D，则BD=BCCD=aCD，由勾股定理得出AB2BD2=AD2，AC2CD2=AD2，得出AB2BD2=AC2CD2，整理得出a2+b2=c2+2aCD，即可得出结论；（3）作ADBC于D，则BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD2=AB2=BD2，AD2=AC2CD2，得出AB2BD2=AC2CD2，整理即可得出结论；二、分两种情况：当C为钝角时，由以上（3）得：ca+b，即可得出结果；当B为钝角时，得：bac，即可得出结果

44、【解答】一、解：（1）C为直角，BC=a，CA=b，AB=c，a2+b2=c2；（2）作ADBC于D，如图1所示：则BD=BCCD=aCD，在ABD中，AB2BD2=AD2，在ACD中，AC2CD2=AD2，AB2BD2=AC2CD2，c2（aCD）2=b2CD2，整理得：a2+b2=c2+2aCD，a0，CD0，a2+b2c2；（3）作ADBC于D，如图2所示：则BD=BC+CD=a+CD，在ABD中，AD2=AB2=BD2，在ACD中，AD2=AC2CD2，AB2BD2=AC2CD2，c2（a+CD）2=b2CD2，整理得：a2+b2=c22aCD，a0，CD0，a2+b2c2；二、解：当

45、C为钝角时，由以上（3）得：ca+b，即5c7；当B为钝角时，得：bac，即1c；综上所述：第三边c的取值范围为5c7或1c【点评】本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键23（2016安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：ABC是勾股三角形【考点】勾股定理菁

46、优网版权所有【专题】新定义【分析】（1）直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出即可；（2）利用已知得出等量量关系组成方程组，进而求出x+y的值；（3）过B作BHAC于H，设AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，进而得出A=45°，C=60°，B=75°，即可得出结论【解答】（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+

47、y=102；（3）证明：过B作BHAC于H，如图所示：设AH=xRtABH中，BH=，RtCBH中，（）2+（1+x）2=4，解得：x=，AH=BH=，HC=1，A=ABH=45°，tanHBC=，HBC=30°，BCH=60°，B=75°，452+602=752ABC是勾股三角形【点评】此题主要考查了新定义、多元方程组解法、勾股定理和锐角三角函数关系，利用勾股定理得出AH，HC的长是解题关键24（2016陕西校级模拟）超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为10

48、0米的P处这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO=60°，BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度【解答】解：由题意知：PO=100米，APO=60°，BPO=45°，在直角三角形BPO中，BPO=45°，BO=PO=100m在直角三角形APO中，APO=60°，AO=POtan60°=100AB=AOBO=（10

49、0100）73米，从A处行驶到B处所用的时间为3秒，速度为73÷324.3米/秒=87.6千米/时80千米/时，此车超过每小时80千米的限制速度【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键25（2016丹东模拟）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得ACl，BAC=60°，再在AC上确定点D，使得BDC=75°，测得AD=40米已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B

50、到C匀速行驶用时10秒（1）求CD的长（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.414，=1.73）【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【分析】（1）作DEAB交BC于E，则CDE=A，设CD=x米，求出CED=30°，得出DE=2CD=2x，CE=x，证明BE=DE=2x，由BC=AC得出方程，解方程即可；（2）由（1）得：x=20，得出BC的长，求出校车从B到C匀速行驶的速度，即可得出结论【解答】解：（1）作DEAB交BC于E，如图所示：则CDE=A=60°，设CD=x米，ACl，ACB=90°，CED=30°，DE

51、=2CD=2x，CE=x，BDC=75°，BDE=15°，CED=BDE+DBE，DBE=15°=BDE，BE=DE=2x，又A=60°，BC=AC，x+2x=（x+40），解得：x=20，即CD=20米；（2）这辆车在本路段不超速；理由如下：由（1）得：x=20，BC=CE+BE=×20+2×20=60+40（米），校车从B到C匀速行驶用时10秒，速度为（60+40）÷10=6+4（米/秒）46.67千米/小时50千米/小时，这辆车在本路段不超速【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质、三角函数的运用；熟练掌握勾股定

52、理的运用，通过作辅助线求出CD是解决问题的关键26（2016长春模拟）探索：如图，以ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，连结BE、CD，试确定BE与CD有怎样数量关系，并说明理由应用：如图，要测量池塘两岸B、E两地之间的距离，已知测得ABC=45°，CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长【考点】勾股定理的应用；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】根据全等三角形的判定方法得出CADEAB（SAS），进而利用全等三角形的性质结合勾股定理得出DC的长，进而得出答案【解答】解：探索：BE=CD，理由：BAD=CAE=90°，CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEAB（SAS），BE=CD；应用：如图，过点A作ADAB，且AD=AB，连接BD，由探索，得CADEAB，BE=DC，AD=AB=100m，DAB=90°，ABD=45°，BD=100m，ABC=45°，DBC=90°，在RtDBC中，BC=100m，BD=100m，CD=100（m），则BE=100m，答：BE的长为100m【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性