行列式知识点汇总

1、行列式矩阵，n阶行列式中，共有项，其中正、负各一半，若负项个数为偶数，必有伴随矩阵 （为的代数余子式）(1) (2)（5）代数余子式定理为的余子式，为的代数余子式；， 克莱姆法则n元n阶非齐次线性线性方程组：即 当有且仅有唯一解其中n元n阶齐次线性线性方程组：（1）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：。（2）如果，齐次线性方程组只有唯一的零解转置矩阵及对称矩阵，A为对称矩阵；A为反对称矩阵阶数n为奇数时，A和B均为对称矩阵，为对称矩阵的充要条件：A为正交矩阵时也为正交矩阵；A为对称矩阵时也为对称矩阵；A为反对称矩阵时A阶数n为奇数，为对称矩阵；n为偶数时，为反对称矩阵；时不一定有范德蒙行列式

2、逆矩阵矩阵可逆的充分必要条件： （A为非奇异矩阵）（可逆矩阵一定是方阵）(1)(2) （3）分块矩阵，准对角矩阵，分块矩阵转置求逆矩阵：求的解：矩阵的秩矩阵存在一个K阶子式不为零，并且所有的K+1阶子式全为零，则称A的秩为K，记为：（1）矩阵可逆的充分必要条件：（2）任一矩阵每减少一行（或列）其秩减少不超过1（3）矩阵（4）设，（5）A,B均为n阶方阵（6）A为矩阵，B为矩阵，当时， n为A的列数（7），当由若A可分解为，且A的特征值， 当时， 其中时，A和B可以不为方阵，中的n为A的列数理解为中X的个数（1）和同解；（2）若；（3）若A可逆，若B可逆型表示的列向量组可由A的列向量组线性表示表

3、示B的列向量是齐次线性方程组的解（A和B均非零矩阵），A的列秩<nA的列向量线性相关，B的行秩<nB的行向量线性相关等价（1）向量组与它的极大无关组等价；（2）向量组的任意两个极大无关组之间等价；（3）两个等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相同向量组可由向量组线性表示，则 向量组可由向量组线性表示，则 是方程组的解A和B为任意两个非零矩阵，A的列向量线性相关，B的行向量线性相关A为矩阵，B为矩阵，当A的行向量线性无关，B的列向量线性无关线性方程组有解（1） 唯一解;（2） 无穷多个解；（3） 无解，其中设，方程组有解（1） 等同 （2）可由线性表示（类似系数）齐次线性方程组（1

4、） 仅有零解；（2） 无穷多个解（包括零解）如果方程的个数<未知量的个数，即A的行数<列数必有非零解A是矩阵,有非零解A的列向量线性相关A列向量组线性无关只有零解；A行向量组线性无关列向量组线性无关只有零解，若列向量=只有零解设线性无关，可以由线性表示，且线性无关的充要条件是如果是的基础解系，要使也是的基础解系线性无关，且可由线性表示，即向量可以表为向量组的线性表示法唯一的充分必要条件：线性无关向量组线性无关，而向量组线性相关向量可以表为向量组线性组合如果为的解向量组的一个极大无关组，则称为该方程组的一个基础解系只有当齐次线性方程组存在非零解时，才会存在基础解系中系数矩阵A的秩方程

5、组得解向量组的秩为（1）向量组可由向量组线性表示，且的线性相关 三个向量可以由两个向量线性表示，则该三个向量必线性相关（2）向量组线性无关，且可由向量组线性表示如果向量组可由向量组线性表示，则（解释：中的极大线性无关组可由中的极大线性无关组来表示，根据性质（2）通解：；通解：（为的特解，为其导出组的一个基础解系）如果是的两个解是其导出组的解设是的解，且也是的解设是的解，且也是的解线性组合极大线性无关组正交化 （s=1，2，.），., 如果一个向量组中的部分向量组（1）线性无关（2）向量组中的每一个向量都可以表为的线性组合（将向量组中的任意一个向量添加到部分组中，得到新的向量组都线性相关）为该向

6、量组的一个极大线性无关组的标准正交基向量内积性质：（1）（2），且 （3）向量的长度（或模）为，记为（自身内积）如果存在一组数，使得向量可以表为向量组线性表示零向量，可由中的任意向量组线性表示；在中任意向量均可为的线性表示向量组的秩：向量组的极大无关组所含的向量个数，为该向量的秩，记向量组线性无关（两个向量组等价，则两个向量组的极大无关组所含向量个数相等）向量长度性质且；，且线性相关非零向量化为单位向量或标准化向量的方法：线性相关：存在R中S个不全为零的数，使得线性无关：只有时，才成立单位向量组线性无关充分必要条件可以表示任一个n维向量与等价线性无关充分必要条件：可表示任一个n维向量向量可以表

7、为向量组的线性组合的充分必要条件：s元非齐次线性方程组有解向量组线性相关 s元齐次线性方程组有解；向量组线性无关 s元齐次线性方程组仅有零解在中向量组的线性相关的充分必要条件：中至少有一个向量可以表为其他向量的线性组合两个向量线性相关的充要条件：对应元素成比例施密特正交化方法设是中的一个线性无关的向量组，令， 是一个正交向量组，且中的几个向量满足：（1）中任意两个向量都正交（2）称为的一个标准正交基即：，为标准正交基，A为正交矩阵向量组的线性无关，若将该向量组的每一个向量都增加m个分量，得到向量组线性无关；若或者线性相关，则前者也必然相关。向量组的个数大于向量组的维数此向量组线性相关（列>

8、;行）中的任意n+1个向量一定线性相关矩阵特征值和特征向量相似矩阵与矩阵可对角化设A为n阶矩阵，如果对于数，存在非零列向量，使得，则称为A的一个特征值，为A的属于特征值的特征向量相似矩阵设A、B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得矩阵A与B相似，记性质：（1）（反身性） （2）（传递性），,；,；当A可逆时, 相似矩阵都可逆或都不可逆；A，B具有相同特征值A、B有相同特征值,A和B不一定相似， （其中：为n阶方阵A的多项式），设为n阶矩阵，则为A的特征值，为A的属于特征值的特征向量的充分必要条件：（1）为特征方程根；（2）为齐次线性方程组非零解（1）设是A的一个特征值对应的特征向量与其

9、他特征值对应的特征向量也相同注：的特征向量不一定是A的特征向量是的一个特征值是的一个特征值是的一个特征值是的一个特征值（2）设A是n阶矩阵A与有相同的特征值特征向量不一定相同（3）相似矩阵的特征向量是不一样的,若为A的特征向量,B的特征向量是（4）n阶矩阵A可逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零（1）A是实对称矩阵,B为对角矩阵,若；（2）,且B是实对称矩阵A与B有相同秩和特征值,且A也是实对称矩阵（2）A经过行的初等变换变为B,则A的行向量组与B的行向量组等价A经过列的初等变换变为B,则A的列向量组与B的列向量组等价；A和B行列向量组都等价（3）同型矩阵A和B等价的充分必要条件： 矩阵A

10、和B等价表明A经初等变化可得到B实对称矩阵（1）实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交；（2）实对称矩阵必可对角化,即（3）n阶实对称矩阵A，则存在正交矩阵Q，使得成为对角矩阵实对成矩阵对角化方法：（1）求特征方程的根；（2）每个特征值，解齐次线性方程组的基础解系；（3）将基础解系向量组正交化，再单位化正交矩阵Q正交矩阵如果向量正交；如果一个非零向量组中的向量两两正交，则称为一个正交向量组与自身正交的向量只能是零向量；为正交向量组线性无关设A为一个n阶实矩阵，如果，则称A为一个n阶正交矩阵n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A可逆，且n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是如果A是正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵如果A，B是n阶正交矩阵、是n阶正交矩阵如果A是正交矩阵设A是n阶矩阵，是A的m个不同的特征值，分别是A的属于的特征向量线性无关特征值和特征向量求矩阵：矩阵A的所有特征值之和等于；矩阵A的所有特征值之积等于（若A不可逆0是A的特征向量）（ n阶矩阵A可逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零）矩阵可对角化n阶矩阵A