高考辽宁理科科数学试题及答案word解析版

1、数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）【2014年辽宁，理1，5分】已知全集，则集合（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，故选D【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法（2）【2014年辽宁，理2，5分】设复数满足，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由，得：，故选A【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题（3）【2014年辽宁，理3，5分】已知，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故选C【点评】本题考查指数的运算

2、性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题（4）【2014年辽宁，理4，5分】已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则【答案】B【解析】A：若，则，相交或平行或异面，故A错；B若，则，故B正确；C若，则或，故C错；D若，则或或，故D错，故选B【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型（5）【2014年辽宁，理5，5分】设是非零向量，已知命题：若，则；命题：若，则，则下列

3、命题中真命题是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】若，则，即，则不一定成立，故命题为假命题，若，则，故命题q为真命题，则，为真命题，都为假命题，故选A【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断，的真假是解决本题的关键（6）【2014年辽宁，理6，5分】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）（A）144（B）120（C）72（D）24【答案】D【解析】3人全排，有种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种，故选D【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘

4、法原理，先排人，再插入椅子是关键（7）【2014年辽宁，理7，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，几何体的体积，故选B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键（8）【2014年辽宁，理8，5分】设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】等差数列的公差为，又数列为递减数列，故选C【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法

5、则等基础知识与基本技能方法，属于中档题（9）【2014年辽宁，理9，5分】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）（A）在区间上单调递减（B）在区间上单调递增（C）在区间上单调递减（D）在区间上单调递增【答案】B【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：即由，得，取，得所得图象对应的函数在区间上单调递增，故选B【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题（10）【2014年辽宁，理10，5分】已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为（）（A）（

6、B）（C）（D）【答案】D【解析】点在抛物线：的准线上，即准线方程为：，即，抛物线：，在第一象限的方程为，设切点，则，又导数，则在切点处的斜率为，即，解（舍去），切点，又，直线的斜率为，故选D【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题（11）【2014年辽宁，理11，5分】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】当时，不等式对任意恒成立；当时，可化为，令，则（*），当时，在上单调递增，；当时，可化为，由（*）式可知，当时，单调递减，当时，单调递增，；综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范

7、围是，故选C【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集（12）【2014年辽宁，理12，5分】已知定义在上的函数满足：；对所有，且，有若对所有，则的最小值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】依题意，定义在上的函数的斜率，不妨令，构造函数，满足，当，且时，；当，且，；当，且时，同理可得，；当，且时，；综上所述，对所有，对所有，恒成立，即的最小值为，故选B【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题第I

8、I卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年辽宁，理13，5分】执行右侧的程序框图，若输入，则输出【答案】【解析】由程序框图知：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，满足条件，跳出循环，输出【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法（14）【2014年辽宁，理14，5分】正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在阴影区域的概率是【答案】【解析】，正方体的的面积，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是【点评

9、】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键（15）【2014年辽宁，理15，5分】已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则【答案】12【解析】如图：的中点为，易得，在椭圆上，【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查（16）【2014年辽宁，理16，5分】对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为【答案】【解析】，由柯西不等式得，故当最大时，有，当时，取得最小值为【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）【2014年辽宁，

10、理17，12分】在中，内角，的对边，且，已知，求：（1）和的值；（2）的值解：（1）由得又，所以由余弦定理得又因为，所以解得或因为，（2）在中，由正弦定理得，所以因为，所以角为锐角【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键（18）【2014年辽宁，理18，12分】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日

11、销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差解：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”，（2）可能取的值为0,1,2,3相应概率为；的分布列为：0123因为，所以期望及方差【点评】在次独立重复试验中，事件发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法（19）【2014年辽宁，理19，12分】如图，和所在平面互相垂直，且，、分别为、的中点（1）求证：；（2）求二面角的正弦值解：解法一：（1）过作，垂足为，连由，可证出

12、所以，即，又，因此又，所以（2）在图1中，过作，垂足为，连结由，从而，又，由三垂线定理可知，因此，为二面角E-BF-C的平面角在中，由知，因此，从而，即二面角E-BF-C正弦值为解法二：（1）由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直BC的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系易得，因而，所以，因此，从而（2）在图2中，平面的一个法向量为，设平面的法向量，又，由，得其中一个设二面角E-BF-C大小为，且由题意知为锐角，则，因此，即所求二面角正弦值为【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证

13、能力和运算求解能力（20）【2014年辽宁，理20，12分】圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为（1）求的方程；（2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程解：（1）设切点坐标为（），则切线斜率为，切线方程为，即此时两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为由知当且仅当时有最大值，即有最小值，因此坐标为，由题意知，解得，故方程为（2）由（1）知的焦点坐标为，由此设的方程为，由P在上，得，解得，因此方程为，显然，不是直线，设的方程为，点，由，得，又是方程的根，因此，由得因，由题意

14、可知，所以（5）将（1）（2）（3）（4）代入（5）整理得，解得或，因此直线方程为或【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题（21）【2014年辽宁，理21，12分】已知函数，证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的解：（1）当时，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使得（2）考虑函数，令，则时，

15、,记,则由（1）得，当时，当时，在上是增函数，又，从而当时，所以在无零点在上是减函数，由，知存在唯一，使所以存在唯一的，使，因此存在唯一的，使，因为当时，故与有相同的零点，所以存在唯一的使得因为，所以【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22）【2014年辽宁，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，交圆于、两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点，作弦垂直，垂足为（1）求证：为圆的直径；（2）若，求证： 解：（1）为圆的切线，又，为直径（2）连接，在，由（1）【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题（23）【2014年辽宁，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线（1）写出的参数方程；（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程解：（1）设为圆上任意一点，按题中要求变换后的点根据题意