长安大学辐射水量计算问题

1、摘要：本文整体来说，是地下水动力学中的关于潜水井一些探讨，把问题中的辐射井等效为潜水竖井。首先我们就潜水井的出水量，降落漏斗的最大半径，井位降深，流线等一些专有名词进行了解释，给出了相关公式的推导过程，以及该公式的使用范围。在合理的假设下我们把改问题从题目中抽出，建立最合理的数学模型，经过推导得到的公式，用于求解：出水量，降深，降落曲线，漏斗半径等。然后我们把模型计算的结果与数据三进行对比及检验，并证实了我们所建立的模型合理性、有效性，精准性。在模型评价时，我们正视该模型的缺点，并对其进行改进。本文根据问题一的要求，根据题目假设，首先判定地下水的流态，结果为层流；在此基础上，我们假设该潜水层符

2、合Dupuit公式条件，经过推导得出地下水降落曲线的数学公：，水平坐标在；，水平坐标在。并且求的漏斗半径，该半径可用于模型评价。问题二，对于求辐射井的水量计算公式，我们知道理论与实际总有点偏差，为了提高精准度，我们建立了二个模型：一等效大井法，二扇形含水层的井流镜像算法。在方法一中用到了Dupuit假设，和Dupuit公式，方法二中用到等效虚井镜像算法。对于方法一得到：； 对于方法二得到：。问题三是对模型的检验，在该问中我们知道K值的不确定性，让我们回无从下手，此处我们用灰色模型去确定K值，我们得到K值是0.098，对模型检验后，我们得知N4，N5这两个测点由于离竖井太远，从数据3可以观察到N

3、4N5这俩个观测点的水位降深甚微，因此我们不把N4，N5列入检验范畴之内。检验结果在后面给出。关键字：潜水井 层流 降落漏斗 Dupuit公式 辐射井 虚井镜像法一、问题重述辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。竖直大井一般有两个作用：一是通过竖井，设置施工平台，开凿不同深度和不同方向上的水平辐射管；二是汇集由水平辐射管流人的地下水，并设置潜水泵将这部分地下水排至地表。辐射井横剖面图辐射井纵剖面图辐射井具有很多优点，占用施工场地较小，出水量大等等。随着设备和工艺方法的改进，垂直大井可采用机械施工，成井效率大大提高

4、。水跃值小，井的寿命可以延长。适应性强，辐射井能够满足深基坑大面积降水的要求适用于各种地质条件下的地下降水。现具体研究下列问题：(1) 对辐射井的地下水降落曲线（面）建立数学模型；(2) 建立辐射井水量计算模型。(3) 利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验。（1） 影响辐射井出水量的主要因素有辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们构造辐射井地下水降落曲线（面）数学公式的过程中可以直接应用，随后结合辐射井工作纵剖面图及查阅到的资料，分析水

5、流流态，分类求解以时间t、辐射管延伸距离坐标x和角度为自变量、地下水水位高度为因变量的三元函数。（2） 对我们第一问中我们构造的辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式进行积分，求出任意时刻含水层的剩余含水量，利用求得的含水层总的含水量减去剩余含水量，即得到辐射井的出水量。再利用所查阅的资料中有关求辐射井出水量的方法内容与我们的方法进行对比，修正不足之处，进一步使我们的方法合理正确。（3） 利用题中给出的数据1、2、3，通过计算选出具有代表性的数据，分别改变函数的自变量t、x、，对公式进行检验。二、条件假设辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。为了更方便更现实地对辐射井理

6、论进行研究，我们做出下列条件假设：（1）假设潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布； 不考虑水和介质骨架的压缩性。（2）假设所研究辐射井为潜水完整井，无越流补给，也无入渗或蒸发。（3）假设辐射井作用范围内垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性（4）假设竖井的直径3.5米。水平辐射管的长度为120米，8根辐射管均匀的分布在距隔水底板1.2米平面上，辐射管的直径为0.12米。（5）假设黄土含水层的渗透系数在(米/小时),孔隙比（含水层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）为0.75%。（6）假设由实验已知，辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓

7、，远处陡峭。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。假设的合理性分析及说明：我们假设了所研究辐射井为潜水完整井，无越流补给，也无入渗或蒸发，即限定了辐射井不受外部环境的干扰，是一个封闭的系统。并限定潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性，即辐射井的结构不受排水而受到影响，是一个稳定的系统。并假设辐射井的作用范围内垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性，并且对辐射井的系列数据进行了正确的、结合了实际的设定。我们假设辐射井是一个封闭稳定的系统，在理论上研究辐射井，而非研究实际辐射井，突出了

8、辐射井的主要影响因素，忽略了次要的影响较小的因素，这样的假设是合理的、必须的、科学的。3、 符号约定：辐射井的出水量；：渗透系数；：潜水含水层厚度；：井中的水位降深；：辐射井的影响半径；：水力坡度；Re：雷洛数。4、 模型前的准备名词解析：1. 完整井：水井贯穿整个含水层，在全部含水层厚度上都安装有过滤器，并能全面进水的井。2. 潜水：地下水埋藏类型之一，即埋藏在第一个稳定隔水层之上的水。3. 水头：实际上是地下水压力的一种通俗说法。比如说地下水位的标高在-2.0m处，那么对于标高-3.0m处的地方，水头高度就是1.0m。那么此处的地下水压力就是101=10KPa。如果水头高度是10m，那么地

9、下水压力就是100KPa4. 水位降深：初始水头减去抽水t时间后的水头，也简称降深。用s表示。在井的附近的不同点，降深s一般不同，井中心最大，离井越远降深越小，形成漏斗状的水头下降区，称为降落漏斗。任意一点的水位降深可写作： 5. 降落漏斗：抽水时，井中心降深最大，离井越远，降深越小，总体上形成的漏斗状水头下降区。6. 流线：流线总是和渗透速度矢量相切的曲线。7. 孔隙度：空隙的体积与总体积的比值，并且有如下关系：，n 为渗透比，为实际平均流速8. 水力坡度：在渗流场中，大小等于梯度值，方向沿着等水头面的法线，并指向水头降低方向的矢量地下水动力学相关公式：1. 潜水井的Dupuit公式假设条件

10、：在问题假设条件的基础上，再做如下假设：(1) 流向井的潜水流是近似水平的；(2) 通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井的流量。数学模型及其解求解模型：对微分方程进行积分，得：通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q，所以得：即，将上式分离变量，得：按给出的定解条件取定积分：积分得：整理，得：或sw井中水位降深；Q：抽水井流量；K：渗透系数；rw：井的半径；R：影响半径；H0：井的高度 。上二式为潜水井的Dupuit公式。当有一个观测孔时：当有两个观测孔时：此式为潜水井的Thiem公式。水头方程：联立方程(2)/(1) 解得：此式为潜水位的分布方程。与流量和渗透系数无关。说明：由上式计算的浸

11、润曲线，在rH0区，低于实际浸润曲线。这是因为实际存在渗出面，和采用了Dupuit假设造成的。2. Dupuit公式的应用(1) 求含水层参数（渗透率）有两个观测孔时，需已知Q、s1、s2、r1 、r2潜水井： (2)预报流量或降深利用Dupuit公式.(3) 影响半径R的确定 对于潜水井：一个观测孔：两个观测孔：联立求得：3. Dupuit公式的讨论井径和流量的关系按Dupuit公式，流量与井径呈半对数关系，井径对流量的影响不太大。如井径增大一倍，流量约增加10，井径增大10倍，流量仅增加40左右。五、辐射井的地下水降落曲线数学公式的构造5.1地下水流态判断条件的确定5.地下水的流动特性地下

12、水在自然流动过程中，以层流和缓变流的形式运动。但是，地下水像辐射井做集水流动时，由于渗透流场内的水力坡度和渗透速度增大，地下水的流动是否保持层流和缓变流的运动形式，需要进行判断。根据大量抽水实验资料的分析研究，在孔隙含水层和裂缝含水层中、抽水井作用的汇点辐射流场内，在广大的降落漏斗的范围内基本保持层流与缓变流的运动形式，但在井壁附近的地下水可能由层流转化为混合流或紊流，以及出现明显的空间流动特征。5地下水流动状态的判断在低速流动时，液体质点互不干扰，液体的流动呈线性或层状，且平行于管道轴线；当流速大时，液体质点的运动杂乱无章，除了平行于管道轴线的运动外，还存在着剧烈的横向运动。因此，当渗透速度

13、超过某一临界值时，地下水就由层流转变为紊流。层流和紊流是两种不同性质的流态。层流时，液体流速较低，质点受粘性制约，不能随意运动，粘性力起主导作用；但在紊流时，因液体流速较高，粘性的制约作用减弱，因而惯性力起主导作用。实验表明，液体在圆管中的流动状态不仅与管内的平均流速有关，还和管径、液体的运动粘度有关，但是真正决定液流流动状态的是用这三个数所组成的一个称为雷诺数Re的无量纲数，即 液流流动时的雷诺数若相同，则它的流动状态也相同。另一方面液流由层流转变为紊流时的雷诺数和由紊流转变为层流的雷诺数是不同的，前者称为上临界雷诺数，后者为下临界雷诺数，后者数值小，所以一般都用后者作为判别液流状态的依据，

14、简称临界雷诺数，当液流的实际流动时的雷诺数小于临界雷诺数时，液流为层流，反之液流则为紊流。用这种方法判定抽水井辐射流场内地下水流动状态，在实用上有很多困难，难以得到预期效果，原因如下：a、不同水文地质工作者，由于实验条件不同而判断的层流上限的雷诺数有相当大的出入，缺乏统一标准。b、由于判断层流上限的雷诺数一般是在实验室（比较理想的条件）获得的，难以和自然界中各种水文地质条件相比。c、一般用巴浦洛夫斯基的公式计算雷诺数，该公式是以渗透速度V代替导管过水断面面积。以颗粒有效直径d代替导管直径当水的温度为10C时，雷诺数Re为。式中为孔隙比，为粘滞动力系数（厘泊，即克/厘米*秒）。由上表数据分析，雷

15、诺数不能很好的判断地下水的流动状态。经分析发现，对汇点辐射流场内地下水状态的判断，根据抽水试验的资料来判断比较直接可靠。假设：水流为层流。则水流稳定，用抽水井单位用水量和水位高度来判断水流状态。若几次抽水实验资料的引用单位流量相等或近似相等时，则地下水为层流运动，否则为紊流运动。5当具有一个观测孔时，按抽水孔的动水位高度和观测孔的水位高度可以得出潜水井的涌水量方程式为： （1-1）当具有两个观测孔时，按这两个孔的水位高度和，可以得出涌水量方程式为（1-2）设 （1-3)式中,均为常数，所以也是常数代入式 (1-4)如果有两次水位降深资料 （1-5) （1-6)以（1-5）式除（1-6）式，得（

16、1-7)同理，从1-2式，可导出 （1-8)设 （1-9) （1-10)用试算法代入不同的值（如），求出相应的和值，然后用图解法取直角坐标，以值为横坐标，与值为纵坐标，绘出和两条曲线，其交点则为所求的值。代表直线斜率，即直线仰角的正切，。因此，可以根据直线仰角的变化，判定地下水的流动状态。当时，,则地下水为层流；当时，,则地下水为紊流；当时，,则地下水为混合流。层流：（1-11)(1-12)紊流：(1-13) (1-14)混合流： (1-15) (1-16)从上述渗透公式中可以看出：当地下水为层流运动时，渗透流量或渗透速度与水力坡度的一次方成正比，两者为直线关系；当地下水为紊流运动时，渗透流量

17、或渗透速度与水力坡度的平方根成正比，两者为抛物线关系；当地下水为混合流运动时，渗透流量或渗透速度与水力坡度的次方成正比，两者为指数曲线关系，称为流态指数。5.2最大影响半径的确定此处我们假设用一个大口井等效替代辐射井，于是得到大口井的最大影响半径；并以此半径作为辐射井的最大影响半径。首先我们来回顾一下模型准备中的内容，知道求潜水井的最大影响半径应用到如下公式：一个观测孔：两个观测孔：联立求得：等式中s1，s2，r1，r2，H0分别是距离竖井的观测井1的水位降深，观测井2的水位降深，观测井距离竖井的距离，及竖井的高度。或者由经验公式有：L 为水平辐射管的长度，K为渗透系数。从非稳定渗流理论来看，

18、在多数情况下影响半径是随抽水时间而变化的。如无相应的补给，它将随着连续抽水时间而变化的。如无相应的补给，它将随着连续抽水时间的延长而不断扩展。因此，要将绝对的影响半径是不科学的，只能根据开采条件选用一个适当的数值。5.3辐射井地下水降落曲线的构造 5图1（辐射井工作状况纵剖面图）（1）0段（辐射管延伸范围内）在沿辐射管断面上，初始时刻辐射井未进行工作，降落曲线为一条水平直线大于初始时刻，辐射井的地下水降落曲线在辐射管延伸范围内成凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭，在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点，并且随着时间的增加拐点在下降，拐点在下降，而且远井处曲线更加陡峭，并且范围增大

19、。（2）段（辐射管延伸范围外） 初始时刻辐射井未进行工作，降落曲线依然为一条水平直线。当大于初始时刻时，辐射井的地下水降落曲线在辐射管延伸范围外成凸形的抛物线，近辐射管的端点处水力坡度陡峭，远处平缓，在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点，并且随着时间的增加拐点在下降，拐点在下降，而且近辐射管的端点处曲线更加陡峭，并且范围增大。 5（1）0段（辐射管延伸范围内）辐射井的水位未开始降落时，距离井底的初始水位高和隔水底板与地面的高度差相等，即 （1-17）水位下降高度 （1-18）式中 地下水的实际渗透速度；水位下降所用时间。由达西渗透流速公式得： （1-19） （1-20） 根据式(1-1

20、2) 、(1-14) 和(1-16) 得知，其中，当地下水为层流运动时，；当地下水为紊流运动时，；当地下水为混合流运动时，。式中 该黄土含水层的孔隙比（含水层孔隙的体积与固定颗粒体积之比）；地下水的平均渗透速度（米/小时）；水力坡度，即单位渗径长度上的水头损失（无因次量）。又考虑到 （1-21）式中 地下水的水头差（米）；水平辐射管的长度（米）。 水头损失值 （1-22）式中 计算段管长（米）；辐射孔（管）的内径（米）；辐射管中的流速（米/秒）；/秒2；是由于水流与孔（管）壁摩擦而造成的水力阻力系数：式中 流速因数（米/秒）。 在实际计算中可由现成的表格中查取。当=100200毫米时，可取=0

21、.1。 联立式（1-17）、（1-18）、（1-19）、（1-20）、（1-21）、（1-22）和（1-9），可得随时间的变化距离井底的水位高： （1-23)当地下水为层流运动时，；当地下水为紊流运动时，；当地下水为混合流运动时，。其中：（1-24)（2）段（辐射管延伸范围外）根据水井的Dupuit公式，通过黄土含水层任一断面的流量相等，并等于抽水量，所以 （1-25)式中 指上的任意变量（米）。得： （1-26)将式（1-26）分离变量，得： 按给出的定解条件取定积分：式中 地下水某时的最低水位（米）；任意变量的积分下限（米）。积分得：整理，得：又因为；所以六、辐射井水量计算模型的建立等效大

22、井法计算辐射井水量设想有一口大井，该井的出水量与要计算的辐射井的出水量相等，通过计算效果相等的大口井的出水量的办法，来推断辐射井的出水量。 根据潜水井的Dupuit公式可得，通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Q，所以 得：将上式分离变量，得：按给出的定解条件取定积分：积分得：整理，得：或该公式具有半经验性质，是专为确定出水量而总结出来的，并不能完全反应辐射井的渗流特性。国内外的学者对辐射井出水量的研究做了大量的工作, 取得了一定的成果。从现有的资料看, 关于辐射井涌水量的计算公式已有 20 多个, 大致可分为两类: 一是经验公式, 二是半理论半经验公式。经验公式中的 等效大口井法!计算公式如

23、下。潜水完整井（题目问题已经假设) 此式参见辐射井在银北灌区开发浅层地下水中的应用（当辐射管等长时）Q为辐射井出水量，K为渗透系数，S0为水位降深H为含水厚度，R为辐射井影响半径，L为辐射管长度。n为辐射管的长度在题目的图2中我们知道，OA和OB为水平辐射管的水流分界线，因此我假设OA和OB为该扇形区的隔水边界。在此基础上，我们假设在该扇形区的辐射管等效为一潜水井，那么有，由镜像法原理：当两边界为隔水边界时，全部虚井都是抽水井，对于潜水井含水层的抽水井有此式参见地下水动力学原理薛禹群编207-221七、对建立公式、模型的分析检验时间距离井底的水位高（m)（月.日.时）井位观测孔N1观测孔N2观

24、测孔N3当k=0.098时推算N3相对误差水高8076根据上表数据明显看出，对于N1、N2、N3、N4、N5五个观测孔，r(N5)R，故水位几乎保持不变，它对辐射井影响较小，几乎可忽略不计，而Rr(N4)R0,而且从数据表3观测值也可发现r(N4)对辐射井的影响很小，所以对于辐射井的研究，N4、N5数据没有太大意义，计算过程中不予考虑。将数据1带入第四章求解m的公式中，计算得到此辐射流流动状态是紊流。黄土含水层的渗透系数在(米/小时)之间，我们经过多组数据实验求证，当K=0.9800时，数据误差最小，因此选取当K=0.9800时，根据我们的辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式，推算出N3观测

25、孔距井底水位高度，用该推算数据与N1、N2、N3的数据进行数学计算，计算出相对误差，相对误差比较的小，且测量时间越短，相对误差越小，因此，我们构建的辐射井地下水降落曲线（面）的数学公式非常符合实际。八、模型的优缺点及改进方法8.1模型的优缺点1、虽然题设限制了辐射井的各项因素，但由于考虑到辐射流的流动状态对地下水降落曲线的影响，我们列写了辐射流流动状态的判断方法，如此一来，模型较为复杂，但是却大大提高了函数的精确度。2、通过对雷诺数的研究，分析判断了地下水流动状态，并对比使用了根据抽水试验的资料来判断潜水的流态，创新的得到了判断流态的方法，并且一目了然，比较直接可靠。3、在对最大影响半径R的研究中我们运用近似法得出计算模型，然后通过查阅到的经验公式与模型进行对比、检验，取得最优解。4、没有把角度角度系数对地下水降深曲线的影响放到研究中区，此处略去角度的影响。5、由于题设中给出的渗透系数是在(米/小时)之间取值，难以确定其最优值，只能通过大量数据的代入，减少其取值对精度的影响，得到最优解。但这种方法十分繁琐，因此我们对其进行了如下改进。8.2模型的改进 8由于之前理论推导的公式中，应该为一个定值，但在实际生活中经常在一个范围内取值，水文条件比实验室中所测出的要复杂的多，具体的取值要经过多次求最优解确定，所以对理论公式要进行优化。 8.GM（1,1）模型可以弱化