高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案理

1、1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方

2、向上的投影|b|cos_的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：a·b|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：a·b0x1x2y1y20.(5)|a·b|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| ·.3平面向量数量积的运算律(1)a·bb·a(交换律)(2)a·b(a·b)a·(b)(结合律)(3)(ab)·ca·cb·c

3、(分配律)4向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab(b0)abx1y2x2y10(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质aba·b0x1x2y1y20(a，b均为非零向量)(3)求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角)5向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换

4、的相关知识6向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体高频考点一平面向量数量积的运算例1、(1)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则·等于()A20 B.15 C9 D6(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为_；·的最大值为_(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，

5、t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因为(1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故·的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，·|·11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，(·)max|·11.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的

6、关系是相等还是互补【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，则·_. (2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·_.答案(1)22(2)2高频考点二用数量积求向量的模、夹角例2、(1)(2016·全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A.8 B.6C.6 (2)若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_.解析(1)由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)·b0，即4×3(2)×(m2

7、)0，解之得m8，故选D.(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)·c<0，即(2k3，6)·(2，1)<0，解得k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，此时2a3b与c反向，不合题意.综上，k的取值范围为.答案(1)D(2)【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，aba·b0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角

8、为钝角.【变式探究】 (1)(2016·全国卷)已知向量，则ABC()°°°°(2)(2016·全国卷)设向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_.解析(1)|1，|1，cosABC.由，0°，180°，得ABC30°.(2)由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m×11×20，得m2.答案(1)A(2)2【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角为锐角的充要条件是cos 0且两向量不共线；(2)求向

9、量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos_.(2)在ABC中，若A120°，·1，则|的最小值是()A.B2C.D6答案(1)(2)C解析(1)|a|3，|b|2，a·b(3e12e2)·(3e1e2)9e9e1·e22e99×1×1×28，cos.(2)·1，|·|&

10、#183;cos120°1，即|·|2，|2|222·22|·|2·6，|min.高频考点三平面向量与三角函数例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sinx，cosx)，mn.所以m·n0，即sinxcosx0，所以sinxcosx，所以tanx1.(2)因为|m|n|1，所以m·ncos，即sinxcosx，所以sin，因为0<x<，所以<x<，所以x，即x.【感悟提升】平面向量与三

11、角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等【变式探究】已知O为坐标原点，向量(3sin，cos)，(2sin，5sin4cos)，且，则tan的值为()ABC.D.答案A高频考点四向量在平面几何中的应用例4、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心答案C解析由

12、原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60°，E为CD的中点若·1，则AB_.(2)平面四边形ABCD中，0，()·0，则四边形ABCD是()A矩形B梯形C正方形D菱形答案(1)(2)D解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，·()·()2·

13、83;2|2|cos60°|21×|21.|0，又|0，|.(2)0平面四边形ABCD是平行四边形，()··0，所以平行四边形ABCD是菱形高频考点五、向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·0，则_.答案(1)2xy30(2)±解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)6×70，解得k2或k11.由

14、k<0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)·0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k±，即±.【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用aba·b0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题【变式探究】已知圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·

15、的最小值是()A5B6C10D12答案B解析圆(x2)2y24的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x25cos)2(y5sin)21，圆心M(25cos，5sin)，半径为1，CM521，故两圆相离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则·最小值是·，HCCM1514，HE2，sinCHE，cosEHFcos2CHE12sin2CHE，·|·|cosEHF2×2×6，故选B.高频考点六向量的综合应用例6、(1)已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是()A1B.C.D.(2)函数

16、ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·0，则函数f(x)的最小正周期是_答案(1)D(2)3 (2)由图象可知，M，N，所以··(xN，1)xN10，解得xN2，所以函数f(x)的最小正周期是2×3.【感悟提升】利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化【变式探究】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|·2，则点集P|，|1，R所表示的区域面积是()A2B2C4D4答案D解析由|·2，知，.当0，0，

17、1时，在OAB中，取，过点C作CDOB交AB于点D，作DEOA交OB于点E，显然.由于，(1)，(1)，1时，点P在线段AB上，0，0，1时，点P必在OAB内(包括边界)考虑|1的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，其面积为S4SOAB4××2×2sin4.1.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，则的值是 . 【答案】【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ，,则（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】因为故选D.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（

18、 ）A BC D【答案】B【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，则（ ）（A）20 （B）15 （C）9 （D）6【答案】C【解析】，所以，选C.【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】如图，由题意，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A13 B 15 C19 D21【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以

19、，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为.【答案】【解析】因为，当且仅当即时的最小值为.1（2014·北京卷）已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_【答案】【解析】ab0，ab，|.2（2014·湖北卷）设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_【答案】±3【解析】因为ab(3，3)，ab(3，3)，又(ab)(ab)，所以(ab)·(ab)(3)(3)(3)(3)0，解得±3.3（2014&#

20、183;江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _【答案】4（2014·全国卷）若向量a，b满足：1，(ab)a，(b)b，则|()A2 B.C1 D.【答案】B【解析】因为(ab)a，所以(ab)0，即2因为(b)b，所以(b)0，即b20，与20联立，可得20，所以.5（2014·新课标全国卷 设向量a，b满足|ab|，|ab|，则()A1 B2 C3 D5【答案】A【解析】由已知得|ab|210，|ab|26，两式相减，得4a·b4，所以a·b1.6（2014·山东卷）在AB

21、C中，已知·tan A，当A时，ABC的面积为_【答案】【解析】因为AB·AC|·|cos Atan A，且A，所以|·|，所以ABC的面积S|·|sin A××sin .7（2014·天津卷）已知菱形ABCD的边长为2，BAD120°，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若·1，·，则()A. B. C. D.【答案】C【解析】建立如图所示的坐标系，则A(1，0)，B(0，)，C(1，0)，D(0，)设E(x1，y1)，F(x2，y2)由BEBC得(x1，y1)(1，)

22、，解得即点E(，(1)由得(x2，y2)(1，)，解得即点F(，(1)又AE·AF(1，(1)·(1，(1)1，·(1, (1)·(1, (1).得.8(2013年高考湖北卷)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.CD9(2013年高考湖南卷)已知a，b是单位向量，a·bc满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B.C1，1 D1，2解析：由a，b为单位向量且a·b0，可设a(1,0)，b(0,1)，又设c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(y1)21，又|

23、c| ，故由几何性质得1|c| 1，即1|c| 1.答案：A10(2013年高考辽宁卷)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)a·b，求f(x)的最大值解析：(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x0，时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.11(2013年高考陕西

24、卷)已知向量a，b (sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解析：f(x)·(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcossin 2xsincos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，知当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(x)取得最小值.因此，f(x)在0，上的最大值是1，最小值是.1若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60°，则|a

25、b|等于()A2B2C4D12答案B解析|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos60°442×2×2×12，|ab|2.2已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m等于()A2B.C0D答案B解析a·b(1，)·(3，m)3m，a·b××cos，3m××cos，m.3设e1，e2，e3为单位向量，且e3e1ke2(k0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k的值为()A. B. C. D.答案A4若O为ABC所在平面内任一点，且满足()·(2

26、)0，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案C解析因为()·(2)0，即·()0，()·()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C.5.在ABC中，如图，若|，AB2，AC1，E，F为BC边的三等分点，则·等于()A. B. C. D.答案B解析若|，则222·222·，即有·0.E，F为BC边的三等分点，则·()·()··22·×(14)0.故选B.6在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足2，则·(

27、)的值为_答案4解析由题意得，AP2，PM1，所以·()·22×2×1×cos180°4.7如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60°，则|_.答案解析因为，60°，所以·|·|cos60°1×3×，又()，所以2()2(22·2)，所以2(139)，所以|.8在ABC中，若···，则点O是ABC的_(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)答案垂心解析··，·()0，·

28、0，OBCA，即OB为ABC底边CA上的高所在直线同理·0，·0，故O是ABC的垂心9已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解 (1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b2761，a·b6.cos，又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC&#

29、215;4×3×3.10在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cosB，sinB)，且m·n.(1)求sinA的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解(1)由m·n，得cos(AB)cosBsin(AB)sinB，所以cosA.因为0A，所以sinA.11已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由·0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，b0，y0，把a代入，得3y0，整理得yx2(x0