第六章定积分

1、教学目的：掌握定积分的有关概念和基本性质难点：无限细分和累积的思维方法重点：微元法思想和定积分的基本性质教学内容：定积分是微积分学的重要内容之一，它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系，并且，定积分的计算主要是通过不定积分来解决的. 定积分在各种实际问题中有着广泛的应用在本章中，我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念，然后讨论它的性质、计算方法与应用一、问题的提出 1、曲边梯形的面积在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算. 但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.a=x0 x1 x2

2、 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1 x2y=f(x)xy设函数在上连续. 由曲线与直线、轴所围成的图形称为曲边梯形(如图). 为讨论方便，假定.由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大.为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点. 在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为. 由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小. 在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此,这个小曲边梯形的面积.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值,再求和,即得整个大曲边梯形面积的近似值.可

3、以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近.记，则当时，误差也趋于零. 因此，所求面积. (1)2、变速直线运动的路程设物体作直线运动，速度是时间的连续函数，且. 求物体在时间间隔内所经过的路程.由于速度随时间的变化而变化，因此不能用匀速直线运动的公式来计算物体作变速运动的路程. 但由于连续，当的变化很小时，速度的变化也非常小，因此在很小的一段时间内，变速运动可以近似看成等速运动. 又时间区间可以划分为若干个微小的时间区间之和，所以，可以与前述面积问题一样，采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程. (1) 分割：用分点将时间区间分成个小区间,其中第个时间段的长度

4、为，物体在此时间段内经过的路程为.(2) 求近似：当很小时，在上任取一点，以来替代上各时刻的速度，则.(3) 求和：在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值，再求和，得.(4) 取极限：令，则当时，上式右端的和式作为近似值的误差会趋于0，因此.(2)以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究二、定积分的定义定义 设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，. 再作和.若当时，上式的极限

5、存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作. 即.(3)其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为，则在时间区间上，物体经过的路程为.(4)同理，上图所示的曲边梯形面积可表为(5)对于由(3)式定义的定积分，需作如下几点说明：1、在可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点在小区间上如何选取，只要，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？可以证明（证明略）：定理 在闭区间上连续的函数必在上可积；在区间上有界且只有有限个间断点的函数也必在上可积.2、定积分是一个数，只取决

6、于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即此等式的正确性在几何上是显然，因为对非负函数，这三个积分表示同一个平面图形的面积，只是坐标变量的记号不同而已，而这对面积没有影响.3、定义定积分时已假定下限小于上限，为便于应用，规定当时，此规定说明：将积分上下限互换时，应改变积分的符号4、下面讨论定积分的几何意义：（1）、若，则积分表示如图所示的曲边梯形的面积，即（2）、若，则积分表示如图所示的曲边梯形面积的负值，即y=f(x)baOyxy=f(x)baOyx这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是而不是（3）、如果在上的值有正也有负，如下图，则积分表示介于轴、曲线及直线y=f(x)Oyx之间各

7、部分面积的代数和即在轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积：由定积分的几何意义可直观地得出一些简单的积分值如；三、定积分的基本性质以下介绍定积分的基本性质，假定所列定积分都是存在的，以下不一一说明性质1 函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和即这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前. 即 （为常数）性质3 不论三点的相互位置如何，恒有这性质表明定积分对于积分区间具有可加性性质4 若在区间上，则 推论1 若在区间上，则推论2例比较下列定积分和的大小.解 令故，即故从而原不等式成立.注0,0.性质5 (估值定理)设函数在区间上的最小值与最大值分别为与，

8、则证 因为，由性质4推论1得即 故 利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围.例2估计定积分的值解，由此有，于是由估值定理有例3估计定积分的值解设, 得 又所以在1,2内的最大值为 最小值为0，于是，由估值定理有性质6(定积分中值定理) 如果函数在区间上连续，则在内至少存在一点，使下式成立：, 这个公式称为积分中值公式.证 把性质5的不等式各除以，得由于在闭区间上连续，而介于的最小值最大值之间，故根据连续函数的介值定理(第2章)，在上至少存在一点，使，即Oxybxaf(x)y=f(x)显然，积分中值公式不论或都是成立的公式中，称为函数在区间上的平均值这个

9、定理有明显的几何意义：对曲边连续的曲边梯形，总存在一个以为底，以上一点的纵坐标为高的矩形，其面积就等于曲边梯形的面积四、总结：1 定积分的概念：定积分是一种由近似到精确的无穷累积方法2定积分的几何意义：若，则积分表示如图52所示的曲边梯形的面积；若，则积分表示如图53所示的曲边梯形面积的负值；若在上的值有正也有负，积分表示介于轴、曲线及直线之间各部分面积的代数和. 即在轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积3可积性定理：在上连续的函数比在上可积4定积分的基本性质（上述性质16）五、作业：练习 3、4、5、6第二节微积分基本公式教学目的：掌握微积分基本公式和变上限积分的性质难点：变上限积分的性质与

10、应用重点：牛顿-莱布尼兹公式教学内容：由上一节可以看到，尽管定积分可以用“和式极限”来计算，但利用定义来计算定积分一般是相当复杂和困难的，有时甚至是不可能的. 因此，我们必须寻求计算定积分的简便方法. 不难注意到下面的事实：设变速直线运动的速度为，路程为，则在时间区间内运动的距离为；另一方面，由上节的分析可知，该距离应为.由此有 (1)即：在上的积分等于它的一个原函数在的增量. 这一结论是否具有普遍意义呢？下面来回答这个问题.f(x)F(x)xx+DxxbaxOy一、变上限的积分设函数在区间上连续，则在上连续，故积分存在，称为变上限的积分. 为避免上限与积分变量混淆，将它改记为. 显然，对上任

11、一点，都有一个确定的积分值与之对应(图56)，所以它在上定义了一个函数，记作即. (2)函数具有如下重要性质： 定理1 如果在区间上连续，则由(2)式定义的积分上限的函数在上可导，且有. (3)证 当上限在点处有增量时，由于在此区间连续，由积分中值定理得(介于与之间).故当时，. 再由的连续性得推论 若函数在区间连续，则变上限的函数是在上的一个原函数由推论可知：连续函数必有原函数. 由此证明了上一章给出的原函数存在定理例1 求下列函数的导数：(1) ; (2) .解 (1) .(2) .例2 设均可导，求的导数解注是的复合函数，它由，复合而成，求导时要用复合函数求导公式计算，的导数计算与完全相

12、似 例3求极限.解 此极限为型，用洛必达法则求解，故二、牛顿莱布尼茨公式现在我们来证明对任意连续函数与(1)式相应的结论成立.定理2 牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则 (4)证 由于与均为的原函数，由原函数的性质知上式中令，得；再令，得即公式(4)称为牛顿莱布尼茨公式.牛顿莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的，它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，因而被称为微积分基本定理. 这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法. 在运用时常将公式写出如下形式：(5)例4 计算.解 .例5 计算.解.例6 计算.解.例

13、7 求.解由区间可加性，得.xy=sinxpOy例8 求正弦曲线在上与轴所围成的平面图形(如图)的面积.解 这个曲边梯形的面积例9 设求.解 因为定积分是一个常数，所以，可设=A，故上式两边在0，1上积分得A=，移项后，得，所以三、总结：1变上限的积分如果在区间上连续，则有2牛顿莱布尼茨公式，其中是的一个原函数，而原函数可以用不定积分的方法求得四、作业：练习 3、5第三节定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法教学内容：由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在上一章中，我们已知道许多函数

14、的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的一、定积分换元法定理 假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且，则有 (1)本定理证明从略在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分例1 计算解 令，则当时，；当时，于是例2 计算解 令，则当时，；当时，故aaOxy显然，这个定积分的值就是圆在第一象限那部分的面积(如上图)例3 计算解法一 令，则当时，；当时，于是解法二 也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变即此例看

15、出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限例4计算解注：去绝对值时注意符号 =例5计算解 设，则当时，；当时，=例6设在上连续，证明：(1) 若为奇函数，则；(2) 若为偶函数，则证 由于,对上式右端第一个积分作变换，有故(1) 当为奇函数时，故(2) 当为偶函数时，故利用例4的结论能很方便地求出一些定积分的值 例如二、定积分的分部积分法设函数与均在区间上有连续的导数，由微分法则，可得等式两边同时在区间上积分，有 (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中与是自变量的下限与上限例7 计算解 令，则故例8 计算解例9计算解 =例10 计算解即 注 ：移项得故

16、例11 计算解 先用换元法，令，则 当时，；当时， 于是再用分部积分法，得三、总结：1、定积分换元积分定理：假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且则有2、定积分分部积分法：设函数与均在区间上有连续的导数，则有3、对称区间上的积分：设在上连续，则有(1) 若为奇函数，则；(2) 若为偶函数，则四、作业：练习 1、2、3、5第五节定积分的应用教学目的：掌握定积分微元法、面积和旋转体体积求法难点：定积分微元法重点：面积和旋转体体积教学内容：在这一节里，我们讨论定积分在几何、物理等方面的一些应用我们在引入定积分概念时，曾经讨论了求曲

17、边梯形面积和变速直线运动路程的实际问题，采用的是“微分求和”的方法我们将区间分成个小区间，相应地，将所求的量分割成份很小的部分量在上任取一小区间，以近似代替、当分割无限细，的极限就是所求的量，即定积分实质上，所谓定积分就是由被积表达式从到累积之和我们把称为微元素在定积分应用问题中，先求出微元素，再求出定积分，即所求这种方法称为元素法，也称微元法在用元素法求解实际问题时，应注意要根据条件确定被积函数和积分区间一、平面图形的面积本节中将计算一些比较复杂的平面图形面积我们只讨论直角坐标系的情形我们已经知道，在区间上，一条连续曲线与直线，轴所围成的曲边梯形面积就是定积分这里，被积表达式就是面积元素如果

18、求两条曲线与之间所夹图形的面积(图510)，在区间上，当，则有或 (1)公式(1)对于下图所示情况也成立y=g(x)y=f(x)Oyxba如果求两条曲线之间所夹图形的面积，也可用类似的方法例1 求两条抛物线所围成图形的面积xOyy=x2y2=x(1,1)x x+Dx 解作两条抛物线的图形，如图所示解方程组得两组解及即两抛物线交点为下面求面积元素：取为积分变量区间上的任一小区间的窄条，其面积近似于高为，底为的窄矩形面积这样就得到面积元素于是，所求图形面积为定积分21y=xy=2xy=x2OS2S1yx(2,4)(1,1)本题也可按(1)式直接求解例2 求抛物线与直线所围图形的面积(如图)解 作出

19、图形，解两个方程组和得抛物线与两直线的交点分别为与故所求面积为例3 求抛物线与直线所围成图形的面积解 作出图形(如图)解方程组Oy=x-4xy+dyyy2=2x(8,4)(2,-2)y得抛物线与直线的交点和取坐标为积分变量，确定积分区间为于是面积元素所求图形面积为注：若上下边界均不需分段表示，可对积分；否则应区分左右边界，对积分例4 求椭圆的面积解 椭圆如图515所示因为椭圆关于两坐标轴都对称，所以，椭圆面积为第一xbax x+Dx Oy象限内的那部分面积的4倍，即为便于积分，在上式中利用椭圆的参数方程作换元令,则，当时，; 当时，于是特别，当时，得圆面积公式注 当曲边梯形的曲边可用参数方程表

20、示时，可以用例4的方法求其面积二、体积1、旋转体的体积一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴圆柱、圆锥、圆台、球体等都是旋转体现在我们计算由连续曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成旋转体的体yObay=f(x)xxx+dx积取为积分变量，为积分区间用垂直于轴的一组平行平面将旋转体分割成许多立体小薄片, 其断面都是圆，只是半径不同.任取的一个小区间上的一小薄片，它的体积近似于以为底面半径, 为高的扁圆柱体的体积(见上图)，即体积元素为于是，以为被积表达式，在区间上作定积分，便得所求旋转体体积 (2)这就是以轴为旋转轴的旋转体体积公式类似地，由连续

21、曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成旋转体的体积为 (3)例5 求由椭圆绕轴旋转一周而成的旋转体(称旋转椭球体)的体积解 旋转椭球体可看作是由上半个椭圆及轴围成的图形绕轴旋转而成的旋转体取为积分变量，积分区间为，则体积元素为于是，旋转椭球体的体积当时，就是半径为的球体体积公式例6 求由抛物线，直线与轴所围成的平面图形(1)绕轴、(2)绕轴旋转一周所得立体的体积解 (1) 积分变量为，积分区间为绕轴旋转而成的旋转体体积(如下图)为(2,4)2y=x2xy Oy=x2Oxy2(2) 积分变量为，积分区间为绕轴旋转而成的旋转体体积应为圆柱体体积减去杯状的体积即2、平行截面面积为已知的立体

22、的体积设一立体被垂直于某直线(可设此直线为轴)的平面所截，截面面积是的连续函数, 立体位于过点且垂直于轴的两个平面之间(图519)虽然这类立体一般不是旋转体，但它的体积可仿旋转体体积的求法，用定积分来计算取为积分变量，积分区间为体积元素为于是，该立体的体积为 (4)Obaxxx+dx例7 一平面经过半径为的圆柱体的底面半径，且与底面交成定角(如图)求此平面截圆柱所得立体(楔形体)的体积解 取底面直径所在直线为轴，底面上过圆心且垂直于轴的直线为轴则底圆方程为立体中过点()且垂直于轴的截面是直角三角行，其面积为Oaxyx2+y2=R2xRa-Ry于是，楔形体体积为三、压力与功1、液体的压力在生产实

23、践中，我们常遇到水压力的计算问题，如计算水库闸门所受的压力等这些都可应用定积分来解决设闸门如图所示，当水齐闸门顶时，求闸门所受的压力习惯上，我们是这样选取直角坐标系的：设轴位于液面上即与闸门顶重合，沿水平方向；轴铅直向下两坐标轴与闸门位于同一平面上则闸门为由直线(轴)，轴与曲线所围图形取水深为积分变量，区分区间为ax+dxxy=f(x)NMxyO设闸门的面积为，则面积元素由物理学知道, 在水深处的压强为 (表示水的密度，表示重力加速度)，于是，压力元素因此，整个闸门所受的水压力为 (5)例8 设某水库的放水闸门为一梯形，如图所示(图中所示闸门尺寸以米为单位)求2m6mOyx10m水库水齐闸门顶

24、时闸门所受的水压力解 由于闸门关于轴对称，只要计算一半闸门的水压力，然后再二倍就得闸门所受总的水压力取水深为积分变量由图可知， 积分区间为，直线方程为因此，闸门所受的总的水压力为()1 6333 2、功我们知道，若物体在不变的力的作用下沿直线移动了距离，则此过程中力所作的功为如果力是变力，上面的公式显然不适用但当连续时，可以在点附近近似将力看作不变的力，因而在位移过程中，功的微元为由此可知，在变力作用下物体沿轴由点到点过程中，力所作的功为 (6)在其他情况下功的计算，也可类似地用微元法来处理例9 半径为1米的半球形水池，池中充满了水，把池内的水全部抽出需作多少功？xx+dxyxO解 建立坐标系

25、如图所示，圆的方程为选水深为积分变量，在上任意小区间上相应小薄圆柱体的水重近似为()将这小水柱体提到池口的距离为，故功微元为将功的微元在区间上累积，得所求功为四、总结：1、平面图形的面积求法：对x积分： (上边界-下边界再积分)；对y积分： (右边界-左边界再积分)2、旋转体的体积：以x轴为一直角边的曲边梯形绕x轴旋转：；以y轴为一直角边的曲边梯形绕y轴旋转：3、 平行截面面积为已知的立体的体积： 4、 物理应用：微元法五、作业：练习 2、3、4、6、7第五节无穷区间上的广义积分教学目的：掌握广义积分的基本概念难点：积分后极限的计算重点：无穷限广义积分教学内容：前面讨论的定积分，事实上有两个前提，一是积分区